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(共32张PPT)
第一章 整式的乘法
课题 完全平方公式
第1课时　完全平方公式
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
(1)(x＋1)(x＋1)＝___________________；
(2)(x－1)(x－1)＝___________________；
(3)(2x＋3y)(2x＋3y)＝________________；
(4)(5a＋3b)(5a＋3b)＝__________________．
计 算
x2＋2x＋1
x2－2x＋1
4x2＋12xy＋9y2
25a2＋30ab＋9b2
导入新课
一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？
a
a
b
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
完全平方公式
做一做，完成填空．
(a＋2)2＝_______________＝______________＝a2＋____＋22；
(a＋3)2＝______________＝_______________＝a2＋____＋32；
(a＋4)2＝______________＝________________＝a2＋____＋42.
(a＋2)(a＋2)
a2＋2a＋2a＋22
4a
(a＋3)(a＋3)
a2＋3a＋3a＋32
6a
(a＋4)(a＋4)
a2＋4a＋4a＋42
8a
自主探究
(a＋b)2＝_____________ ＝_____________＝_________________；
(x＋y)2＝____________ ＝_____________＝________________．
合作探究
(a＋b)(a＋b)
a2＋ab＋ab＋b2
a2＋2ab＋b2
(x＋y)(x＋y)
x2＋xy＋xy＋y2
x2＋2xy＋y2
完全平方公式：
归 纳
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或
减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央”
(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2.
(x－y)2＝x2－2xy＋y2.
公式特征
积为二次三项式；
积中的两项为两数的平方；
另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式.
运用完全平方公式计算
分析两式的结构特点：
（2）(3m+n)2 ;
这两式都是二项式[两数和(差)]的平方，符
合完全平方公式．可以用完全平方公式计算．
自主探究
＝a +2·a· ＋
＝a +a＋
（1）解:将完全平方公式1中的x用a代入，y用 代入,可得
(3m + n)2
（2）解:将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入,可得
= ( 3m )2 + 2·3m·n + n2
= 9m2 + 6mn + n2
计算：(1)（x － 2y） ； 　(2)（2xy+x） ；
(3)(－2x＋1)2；　 (4)(2x2－3y2)2.
合作探究
解：(1)原式＝ （x ） －2· （x ） ·2y＋(2y)2
＝x2－2xy＋4y2；
(2)原式＝(2xy)2＋2·(2xy)·（x）＋ （x）
＝4x2y2＋x2y＋x2；
(3)原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·1＋12
(4)原式＝(2x2)2＋2·(2x2)·(－3y2)＋(－3y2)2
＝4x2－4x＋1；
＝4x4－12x2y2＋9y4.
运用完全平方公式化简求值
1．已知x＋y＝1，xy＝－2，求下列各式的值．
(1)x2＋y2；(2)(x－y)2.
解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－2xy
＝(x＋y)2－2xy
＝12－2×(－2)
＝5；
(2)原式＝x2－2xy＋y2
＝(x＋y)2－4xy
＝x2＋2xy＋y2－4xy
＝12－4×(－2)
＝9.
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构
特点及结果两方面）
随堂检测
1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a － b)2，则 A =（　　）
A． － 3ab
B． － ab
C．0
D．ab
A
(1) (6a + 5b)2；
(2) (4x－3y)2；
(3) (2m－1)2；
(4) (－2m－1)2.
2. 运用完全平方公式计算：
= 36a2 + 60ab + 25b2.
= 16x2－24xy + 9y2.
= 4m2－4m + 1.
= 4m2 + 4m + 1.
第一章 整式的乘法
课题　完全平方公式
第2课时　完全平方公式的运用
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
(1)(a＋____)2＝a2＋2ab＋____；
(2)[a＋_______]2＝a2－2ab＋____；
(3)(a＋b)2__(－a－b)2(选填“＝”或“≠”)；
(4)(a＋b)2＝(a－b)2＋____．
计算
b
b2
(－b)
b2
＝
4ab
探究新知
完全平方公式的计算
自主探究
怎样计算（ － x － ） ？
两个公式中的字母分别表示什么？
完全平方公式在计算化简中有什么作用？
解：数或代数式；
解：使计算简便．
合作探究
计算下列各题：
(1)(－2x－3)2；
解：原式＝[－(2x＋3)]2
(2)(－x＋1)2；
解：原式＝(－x)2＋2·(－x)·1＋12
＝4x2＋12x＋9；
＝x2－2x＋1；
(3)(x－2y)2；
(4)(7a＋3b)2.
解：原式＝x2－2·x·2y＋(2y)2
＝x2－4xy＋4y2；
解：原式＝(7a)2＋2·7a·3b＋(3b)2
＝49a2＋42ab＋9b2.
完全平方公式的综合运用
自主探究
怎样计算 1042，1982 更简便呢？
(1) 1042；
因此 1042 = (100 + 4)2
= 1002 + 2×100×4 + 42
= 10000 + 800 + 16
解：由于1042 = (100＋4)，于是可运用完全平方公式1.
= 10816.
(2) 1982；
因此 1982 = (200－2)2
= 2002－2×200×2 + 22
= 40000－800 + 4
解：由于1982 = (200－2)2，于是可运用完全平方公式2.
= 39204.
合作探究
例题 ( a + b + c )2.
解：原式 = [(a + b) + c]2
方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
1．计算：
(1)1052； (2)962.　　　　　　　　
解：(1)1052＝(100＋5)2
(2)962＝(100－4)2
＝10000＋1000＋25
＝11025；
＝9216.
＝10000－800＋16
2．计算：(1)20162－4030×2016＋20152；
解：原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2
＝1；
(2)(3x＋2y－5z＋1)(－3x＋2y－5z－1).
解：原式＝[(2y－5z)＋(3x＋1)][(2y－5z)－(3x＋1)]
＝(2y－5z)2－(3x＋1)2
＝4y2－20z＋25z2－9x2－6x－1.
3．(1)已知x＝y＋4，则代数式x2－2xy＋y2－25的值为____；
(2)若m2＋6m＝2，则(m＋3)2的值为____；
(3)若m2＋n2＝6n－4m－13，则m2－n2的值为____．
－9
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课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，可尝试先添括号，
变形成符合公式的要求再用
常用
结论
3. 弄清完全平方公式和平方差
公式的不同（从公式结构特
点及结果两方面）
a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab，
4ab = (a + b)2 - (a - b)2.
随堂检测
1.运用完全平方公式计算：
(1) 962； (2) 2032.
解：原式 = (100－4)2
解：原式 = (200 + 3)2
= 1002－2×100×4 + 42
= 10000－800 + 16
= 9216.
= 2002 + 2×200×3 + 32
= 40000 + 1200 + 9
= 41209.
2. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2.
解：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 52 - 2×(-6) = 37，
a2 - ab + b2 = a2 + b2 - ab = 37 - (-6) = 43.

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