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第一章 整式的乘法
第1章小结与复习
湘教版 七年级 数学（下）
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整式的乘法
幂的运算
单项式的乘法
乘法公式
多项式的乘法
平方差公式（a+b）（a-b）=a -b
完全平方公式
（a+b） =a +2ab+b
（a-b） =a -2ab+b
法则名称 文字表示 式子表示 逆用
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
am·an = am+n
(m、n为正整数)
am+n = am·an
(m、n为正整数)
(am)n = amn
(m、n为正整数)
amn = (am)n
(m、n为正整数)
(ab)n = anbn
(m、n为正整数)
anbn = (ab)n
(m、n为正整数)
知识回顾
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
1. 幂的运算性质
2.整式的乘法：
单项式乘单项式：
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式.
单项式乘多项式：
m(a + b + c) = ma + mb + mc
法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式乘多项式：
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
公式 名称 平方差公式 完全平方公式
文字 表示
式子 表示
公式的常用变形
两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差。
(a+b)(a-b) = a - b
两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)这两数积的2倍。
(a±b)2 =a ±2ab+b
a = (a+b)(a-b) + b
b = a - (a+b)(a-b)
a + b = (a+b)2 -2ab
或a + b = (a-b)2 +2ab
(a+b)2 =(a-b)2 +4ab
3. 乘法公式
1.同底数幂的乘法和幂的乘方容易混淆，进行运算时要注意区分。
注意事项
2.多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，注意不要漏乘。
3.平方差公式和完全平方公式都是多项式乘法的重要公式，其中的字母x，y可以用任何数或者任意多项式代入。
探究新知
幂的运算性质与单项式乘法
1．计算：
(1)[(－3a2b3)3]2；　　　　　　
(2)(2x－3y)2·(3y－2x)4·(2x－3y)3；
解：(1)原式＝729a12b18；
(2)原式＝(2x－3y)2[－(2x－3y)]4·(2x－3y)3
＝(2x－3y)9；
解：原式＝(9×9)10× （-2×）9 × （）10 × （）8 ×
(3)(－81)10×（-）9× （）10 × （）8 × .
＝910×910×(－2)9× （）9 × （）10 × （）8 ×
＝－4.
2．有理数x，y满足条件|2x－3y＋1|＋(x＋3y＋5)2＝0 ，求代数式(－2xy)2·(－y2)·6xy2的值．
解：由题意，得
2x－3y＋1 ＝0 ，
x＋3y＋5 ＝0 ，
解得
x= － 2 ，
y= － 1 ．
所以（ －2xy)2 ·(－y2)·6xy2 ＝4x2 y2 ·(－y2)·6xy2
＝ －24 x3y6
＝ －24 × (－2)3 × (－1)6
＝192
3．若xm+2n＝16，xn＝2(x≠0)，求xm＋n的值．
解：因为xm+2n＝16，所以xm·(xn)2＝16.
因为xn＝2，所以xm＝4，
所以xm＋n＝xm·xn＝4×2＝8.
多项式乘法
1．计算：(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y).　　　　　　　　　　　　　　
解：原式＝6x2＋9xy＋4xy＋6y2－3x2－4xy＋ 9xy＋12y2　　　　　　　　　　　　　　
＝3x2＋18xy＋18y2.　　　　　　　　　　　　　　　
2．先化简，再求值．
(1)5x(2x＋1)－(2x＋3)(5x－1)，其中x＝3；
解：原式＝10x2＋5x－10x2＋2x－15x＋3
当x＝3时，原式＝－8×3＋3＝－21；
＝－8x＋3.
(2)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝.
解：原式＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2－x2＋4y2－4y2
当x＝－2，y＝时，
＝－x2＋8xy.
原式＝－(－2)2＋8×(－2)×＝－12.
乘法公式的运用
1．化简：(2x＋3y)2－(4x－9y)(9y＋4x)＋(2x－3y)2.
解：原式＝4x2＋12xy＋9y2－16x2＋81y2＋4x2－12xy＋9y2
＝－8x2＋99y2.
【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再进行整式的加减运算.
2．用简便方法计算．
(1)20002－4000×1999＋19992；
解：原式＝20002－2×2000×1999＋19992
＝(2000－1999)2
＝1；
(2)999×1001.
解：原式＝(1000－1)×(1000＋1)
＝1000000－1
＝999999.
3．已知a＋b＝3，ab＝－12，求①a2＋b2，②a2－ab＋b2，③(a－b)2.
解：①原式＝(a＋b)2－2ab
＝32－2×(－12)
＝33；
②原式＝(a＋b)2－3ab
③原式＝(a＋b)2－4ab
＝32－3×(－12)
＝45；
＝32－4×(－12)
＝57.
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公
式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.
课堂小结
幂的运算
乘法公式
整式的乘法
积的乘方
平方差公式
多项式与单项式相乘
完全平方公式
整式的乘法
单项式与单项式相乘
多项式与多项式相乘
同底数幂的乘法
幂的乘方
随堂检测
(1) (2x+5)(x － 1)
解：(2x+5)(x － 1)
= 2x·(x － 1) +5 (x － 1)
= 2x2 － 2x +5x － 5
= 2x2+3x － 5
(2) (x － 11)(x+11)
解：(x － 11)(x+11)
= x2 － 112
= x2 － 121
1.计算
(3) (－ 7x － 1)(－ 1+7x)
解：(－ 7x － 1)(－ 1+7x)
= (－ 1 － 7x)(－ 1+7x)
= (－ 1)2 － (7x)2
= 1 － 49x2
(4) (－ 4a － 5b)2
解：(－ 4a － 5b)2
= (4a+5b)2
= (4a)2+2·4a·5b+(5b)2
= 16a2+40ab+25b2
2.计算：
5002 － 499×501
解: 5002 － 499×501
= 5002 －(500 － 1)×(500+1)
= 5002 －(5002 － 1)
= 5002 － 5002+1
= 1
3.已知am=4，an=5(m，n是正整数)，求a2m+n的值。
解：
a2m+n
= a2m· an
= (am)2 · an
= 42 · 5
= 80

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