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第一章 整式的乘法
课题　运用乘法公式进行计算和推理
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．填空．
(1)(x＋3)2＝_________________；　　　　　　
(2)(m－n)2＝_________________；
(3)(2a＋3b)(2a－3b)＝_____________；
(4)(x＋3y)(x－3y)＝______________．
x2＋6x＋9
m2－2mn＋n2
4a2－9b2
x2－9y2
2．如何计算(a＋b＋c)(a－b－c)，写出计算过程．
解：原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]
＝a2－(b＋c)2
＝a2－b2－2bc－c2.
探究新知
运用乘法公式进行计算
自主探究
根据式子特征，灵活运用乘法公式。
怎样计算下列各题？
（3）(x + y + 4)(x + y - 4).
（1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)；
（2）(a + 3)2 (a - 3)2；
讨论：选择什么 方法呢？
例题 用乘法公式计算下列各题
= x4 - 81.
= 16x4 - 72x2 + 81.
运用什么运算律？
积的乘方的逆用
(2) (2x + 3)2(2x - 3)2
交换律
总结： 要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）.
平方差公式
= x4 - 1.
（1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)；
交换律
解：原式 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1)
= (x2 - 1)( x2 + 1 )
做一做
（2）(a + 3)2 (a - 3)2.
= a4 - 18a2 + 81.
逆用积的乘方
平方差公式
完全平方公式
解：原式 = [(a + 3)(a - 3)]2
= (a2 - 9)2
运用乘法公式计算．
合作探究
1．(x＋2y)2－(x－2y)2.
2．(3x－2y)(3x＋2y).
解：原式＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2
＝8xy.
解：原式＝(3x)2－(2y)2
＝9x2－4y2.
3．(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y).
解：原式＝[(x＋2y)(x－2y)](x2－4y2)
＝x4－8x2y2＋16y4.
＝(x2－4y2)(x2－4y2)
4．(x2＋x－3)(x2－x－3).
解：原式＝[(x2－3)＋x][(x2－3)－x]
＝(x2－3)2－x2
＝x4－6x2＋9－x2＝x4－7x2＋9.
乘法公式的综合运用
自主探究
1．对于任意的整数n，能整除(n＋2)(n－2)－(n＋3)(n－3)的整数是( )
A．2　　　　　　B．3　　　　　　
C．4　　　　　　D．5
D
2．计算：(a＋3b)2－2(a＋3b)(a－3b)＋(a－3b)2.
解：原式＝a2＋6ab＋9b2－2a2＋ 18b2＋a2－6ab＋9b2
＝36b2.
先化简再求值：
(x＋y)2－(x＋2y)(x－2y)－2y(x＋2y)，其中x＝20252，y＝－1.
合作探究
解：原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋4y2－2xy－4y2
当y＝－1时，原式＝(－1)2＝1.
＝y2.
乘法公式的灵活运用
十位数字是a、个位数字是5的两位数的平方是多少？
自主探究
(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25
＝100a(a＋1)＋25.
1.计算：(1)852；　(2)952.
合作探究
解：(1)852＝100×8×9＋25
(2)952＝100×9×10＋25
＝7225；
＝9025.
2 运用乘法公式计算: (x + y)3
解：(x + y) = (x + y)( x + y)
= (x + y)(x + 2xy + y2)
= x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3
= x + 3x y + 3xy + y .
3 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长.
解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21，
化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21，
即 4x = 20，
解得 x = 5.
答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m.
课堂小结
运用乘法公式进行计算注意事项：
灵活运用公式进行求值计算.
有时会结合其它运算法则；
先观察式子的特点，选取适当的乘法公式；
随堂检测
1.运用乘法公式计算 ：
x4 - 16
-4x
x4 - 2x2 + 1
（1）(x - 2)(x + 2)(x2 + 4) =
（2）(x - 1)2 - (x + 1)2 =
（3）(x + 1)2(x - 1)2 =
2.一个正方形的边长增加了 2 cm，它的面积就增加了 16 cm2，求这个正方形原来的边长.
答：这个正方形原来的边长为 3 cm.
解：设正方形原来的边长为 x cm.
列方程，得 (x + 2)2 = x2 + 16，
解得 x = 3.
x2 + 4x + 4 = x2 + 16，
4x = 12，
3.先化简，再求值：
2b2 + (a + b)(a - b) -(a - b)2，其中 a = - 3，b = .
解：原式 = 2b2 + a2 - b2 - a2 + 2ab - b2 = 2ab.
当 a = - 3，b = 时，
原式 = 2×(- 3)× = - 3.

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