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第2章 实数
第2章小结与复习
湘教版 七年级 数学（下）
数与代数
数与式
方程与不等式
函数
有理数
实数
代数式
平方根、算术平方根
立方根
实数的相反数和绝对值
实数大小的比较
无理数范围的大致估计
简单的近似计算
知识图谱
平方根
概念
性质
算术平方根
开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数
0 的平方根就是0 本身
负数没有平方根
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方
两个非负性
被开方数为非负数
算术平方根为非负数
如果有一个数 r，使得r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根
立方根
概念
如果有一个数 b，使得b3 = a，那么 b 叫作 a 的一个立方根
性质
每一个数有且只有一个立方根. 一个正数有一个正
的立方根，一个负数有一个负的立方根，0 的立方根是0
开立方
求一个数的立方根的运算，叫作开平方
实数
概念
有理数和无理数统称为实数
分类
实数
有理数
无理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
有限小数或无限循环小数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
实数
正实数
负实数
_______
正有理数
正无理数
正整数
正分数
负有理数
负无理数
负整数
负分数
按概念
按性质符号
零
实数与数轴
(1) 实数和数轴上的点是一一对应的关系
(2) 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则同样适用
注意事项
把数扩充到实数后，我们现在说的“数”，通常指实数.
在实数范围内，负实数没有平方根. 求一个正实数的平方根时，不要漏掉其中的负平方根.
在实数范围内，任何实数有且只有一个立方根.
乘法公式也适用于系数为实数的多项式.
探究新知
实数的分类及运算
例1：下面几个数：0.1237，1.010010001…，－，3π，，，其中，无理数的个数为( )
A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　
C．3　　　　　　　D．4
·
·
C
例2：下列说法正确的是( )
A．的平方根是±3
B．3的立方根是±3
C． ＝±1
D．－ 是5的平方根的相反数
A
1. 把下列各数填在相应的横线上：
（1）正数：_____________________________；
（2）负数：_____________________________；
（3）有理数：___________________________；
（4）无理数：____________________________.
0.686 886 888 6…（相邻两个 6 之间 8 的个数逐次加 1）.
0.7
0
0.686 886 888 6…
0.686 886 888 6…
练一练
1
例2 若 a，b 为实数且 +|b-1|=0，则 (ab)2026 =___.
【解析】先根据非负式的性质求出 a，b 的值，再根据乘方的定义求出 (ab)2026 的值. ∵ + |b - 1| = 0，∴a + 1 = 0，且 b - 1 = 0. ∴a = -1 ，
b = 1.∴(ab)2026 = (-1×1)2026= (-1)2026 = 1 ， 故填 1.
数形结合变式练习
例3：如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是( )
A．－ B．2 －C．1－ ．1＋
B
例4：已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：|2c－a|＋|c－b|－|a＋b|－|a－c－b|.
解：根据数轴，可得c0，a－c－b<0，
原式＝a－2c＋b－c－a－b＋a－c－b
＝a－b－4c.
估计并比较无理数的大小
例5：通过估算，比较与的大小．
解：＝，≈＝，
因为>，
所以>.
课堂小结
实数
无理数的概念和形式
实数和数轴上的点一一对应
实数的相反数、倒数、绝对值
实数的运算及估算
平方根的定义及性质
算术平方根的定义及性质
立方平方根的定义及性质
随堂检测
1.下列说法正确的有（ ）
① -64 的立方根是 -4；
② 49 的算术平方根是±7；
③ 的立方根是 ；
④ 的平方根是 .
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
A
2. 的平方根是（ ）
A. 4 B. 2 C.±2 D.±4
C
3 .实数 π， ，0，-1 中，无理数是( )
A. π B. C. 0 D. -1
4. 若 | a | = -a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在( )
A. 原点左侧 B. 原点或原点左侧
C. 原点右侧 D. 原点或原点右侧
B
6. 规定用符号[ x ]表示一个实数 x 的整数部分，例如：[ 3.14 ] = 3， = 0. 按此规定 [ +1 ]
的值为_______.
5. 满足 -的整数 x 是__________.
4
- 1,0,1
7. 计算.
-2

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