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第2章 实数
课题　无理数、用计算器求平方根动物
湘教版 七年级 数学（下）
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观察与思考 将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？
正方形的面积为 8 cm2，
由于 22 = 4，32 = 9，
又 4＜8＜9，
且面积较大的正方形的边长也较大，
因此面积为 8 cm2 的正方形的边长不是整数.
思考：正方形的边长怎么表示呢？是个什么样的数呢？
探究新知
探究无理数的概念和它的本质特征
活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？
因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.
从“数”的角度：
因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
所以 12 < a2 < 22.
所以 1< a < 2，故 a 不是整数.
追问2：a 可能是分数吗？
① a 是分母为 2 的分数吗？
② a 是分母为 3 的分数吗？
（） =
（） =
（） =
（） =
（） =
（） =
③ a 是分母为 4 的分数吗？
④ a 是分母为多少的分数？
归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数.
（） =
（） =
观察下列结果：
12 = 1， 22 = 4；
1.42 = 1.96 1.52 = 2.25
1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164
1 .414 =1.999396， 1.415 =2.002225;
1.4142 =1.99996164， 1.4143 =2.00024449;
… …
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围;
(2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数
解：由于12<2，2<22，所以1<<2.
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围;
由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5.
同理可得，1.41<<1.42，
1.414<<1.415，1.4142<<1.4143.
(2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数
若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
定义
事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数.
像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
无理数
无理数
正无理数
负无理数
分 类
π = 3.141592653…
= 1.732050807…
= 2.236067977…
常见的无理数的有以下三种形式：
化简后含有 π 的数；
归 纳
开不尽方的数开方所得结果；
有规律但不循环的数，如1.01001000100001…
（相邻两个1之间依次增加一个0）
1．写出一个大于1且小于2的无理数________________ ．
2．在－5，－0.1，，中，____是无理数．
3．有下列各数：3.14，π，0，，3.14， 3.1414414441….
其中____________________　是有理数，_______________________是无理数．
自主学习
(答案不唯一)
3.14，0，，3.14
π，3.141441444 1…
正确使用计算器求一个数的算术平方根
问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？
例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
自主学习
3.14，3.142 ，3.1416，... 都是 π 的近似值，称它们为近似数.
怎么求一个正数的算术平方根或它的近似值呢？
1 用计算器求下列各式的值.
(1)
(2) （精确到小数点后面第三位）
1
2
0
4
=
8
=
解：(1) 依次按键：
(2) 依次按键：
显示：32
所以=32
显示：2.828427125
所以=2.828
2．用计算器求的近似值(精确到小数点后第三位)．
解：依次按键：
显示结果：7.141428429.
所以≈7.141.
1
5
=
由于(±)2 = a，则对于任意一个非负数 a，先
开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a.
归纳总结
= a 成立吗？ 若不成立，请举例说明.
当 a≥0 时， = a 成立.
当 a＜0 时， = a 不成立.
用计算器分别计算：， ，
，，
合作探究
你能发现什么规律？
解： ＝0.03，
＝0.3，
＝3，
＝30，
＝300.
被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍．
课堂小结
→
无理数
化简后含有 π 的数
有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0）
开不尽方的数开方所得结果
用计算器计算
↓
概念
…...
随堂检测
【解析】无限不循环小数是无理数，其中， 003 . . . (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1) 是无理数，其它是有理数.
A
1. 下列各数： ，0,0.23 ， ， 003. . . (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
.
(1) 有限小数是有理数. ( )
(2) 无限小数都是无理数. ( )
(3) 无理数都是无限小数. ( )
(4) 有理数是有限小数. ( )
2. 判断题：
╳
√
√
╳
3. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为 25 的正方形
B.面积为 的正方形
C.面积为 8 的正方形
D.面积为 1.44 的正方形
C
4. 面积为 6 cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值（精确到 0.001 cm）.
解： 正方形的面积是 6 cm2，因此它的边长为 cm.
用计算器计算 ：显示 2.4494897，
所以 .

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