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第2章 实数
1 课题　平方根
湘教版 七年级 数学（下）
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小明将一个长为2，宽为1的长方形纸片，剪拼成了一个正方形．你发现正方形的面积是多少？它的边长呢？
2
1
解：正方形的面积＝×2＝2
不知道这个正方形的边长．
平方根概念及其性质
探究新知
探究平方根及算术平方根的概念及其性质
1.平方根概念：
1
如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根．
0的平方根就是0 本身，记作 ，即 ＝ 0 ；
2.平方根的性质
任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根．
整数有两个平方根，且他们为互为相反数。
3．开平方的概念：
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方．这个非负数叫作被开方数．
求下列各数的平方根：
（1）121；（2）2；
解：（1）由于（±11） =121，
因此121的平方根是±11，
即±=±11.
（2）2=，
因此的平方根是±，即±=±.
带分数要先化成假分数，再求平方根。
由于（ ± ） =，
（3）1.69；（4）-（-9）
解：（3）由于（±1.3） =1.69，
因此1.69的平方根是±1.3，
即±=±1.3.
（4） － （ － 9） =729，
由于（±27） =729，
因此729的平方根是±27，
即±=±27.
一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个： r 与－r ．我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作根号
a ；a的负平方根记作－ ，读作负根号a ．
算术平方根的概念：
例如，9的平方根是3 与－3 ，即± ＝±3 ．
算术平方根概念及其性质
2
算术平方根具有双重非负性
a 的算术平方根
算术平方根的性质
非负数
非负数
例题1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.49.
解：(1) 由于 102 = 100，因此=10.
(2) 由于（） = ，因此 .
(3) 由于 0.72 = 0.49，因此 .
解：因为 | m － 1| ≥0， ≥0，
例题2 若 |m － 1| + = 0，求 m + n 的值.
又 | m － 1| + = 0，
所以 | m － 1 | = 0， = 0.
所以 m = 1，n = － 3. 所以 m + n = 1 + (-3) = － 2.
方法归纳：几个非负式的和为 0，则每个式均为 0，初中阶段学过的非负式有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
1．36的平方根是____；的平方根是____．
2．81的算术平方根是____； 的算术平方根是____．
自主学习
±6
±
9
3．一个数的平方根包括它本身，这个数是______；一个数的平方根是它本身，这个数是____．
4．的算术平方根是____．

0或1
0
2
1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2. 只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0.
联系：
区别：
1. 个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
2. 表示法不同：平方根表示为± ，
而算术平方根表示为 .
平方根和算术平方根的计算
合作探究
1．求下列各数的平方根：
(1)196；
解：由于(±14)2＝196，
因此196的平方根是14和－14，
即±＝±14；
(2)2.56.
解：由于(±1.6)2＝2.56，
因此2.56的平方根是1.6和－1.6，
即＝±1.6.
2．若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，则m的值为____．
1
3．求下列各数的算术平方根：
(1)121；

(2)6.25.
解：由于112＝121，因此＝11；
解：由于2.52＝6.25，因此＝2.5.
4．a的算术平方根是4，b是36的算术平方根，则a－b＝____．
10
3.若 =0 ，则 a = ；
2.若 （m-7） =0 ，则 m = ；
4.若|a - 3|+ ，则代数式(a + b)2025 =___.
1.若 |a + 3| = 0 ， 则 a = ；
-3
7
5
-1
到目前为止，表示非负的式子有：| a |≥0，a2 ≥0， ≥0.
做一做
课堂小结
平方根的概念
正数的平方根
负数的平方根
0 的平方根
正平方根
→
→
（没有）
（就是 0 本身）
负平方根
算术平方根
↑
随堂检测
1. 分别求 64，6.25 的平方根，并用式子表示.
2. 分别求 81，0.16 的算术平方根.
解：81 的算术平方根是 9， .
解：64 的平方根是 8 与 -8， ±±8
6.25 的平方根是 2.5 与 -2.5，±±2.5
0.16 的算术平方根是 0.4，
3. 已知一个自然数的算术平方根是 a，则按从小到大 排该自然数的后一个自然数的算术平方根是（ ）
A. a + 1 B.
C. a2 + 1 D.
D
解析：一个自然数的算术平方根是 a，那么这个自然
数就是 a2，按从小到大排该自然数的后一个自然数就是 a2 + 1，它的算术平方根是 .
4.已知 3(x － 1)2 = 363 ，求 x 的值．
解：因为 3(x － 1)2 = 363，
所以 (x － 1)2 = 121，
所以 x = 12 或 x = －10.
x － 1 = ± ，
x － 1 = 11或x - 1 = －11，

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