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第4章 平面内的两条直线
课题　相交直线所成的角
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．在同一平面内的两条直线有几种位置关系？
2．平行于同一条直线的两条直线平行，即如果________________，那么________．
a∥b，c∥b
a∥c
答：重合、相交、平行3种．
直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
你发现了什么？
探究新知
对顶角及其性质
握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
1
2
3
4
A
B
C
D
O
对顶角：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的一对角叫作对顶角. 图中∠1 的对顶角是∠3.
定 义
阅读教材，完成下列内容．
如图，∠1和∠2是对顶角的图形有( )
A．1个　　　　　B．2个　　　　　
C．3个　　　　　D．4个
A
1．如图，∠1和∠3、∠2和∠4有什么关系？量一量或用其他的方法比较它们的大小．完成下面的问题．
C
O
A
B
D
4
3
2
1
猜想：对顶角相等.
你能利用有关知识来推导∠1 与∠3 的数量关系吗？
合作探究
解：因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180° (邻补角定义)，
C
O
A
B
D
4
3
2
1
所以∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2 (等式性质)，
[或者因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补(邻补角定义)，]
所以∠1＝∠3(等量代换)．
同理，∠2＝∠4.
∠2 = 180°－∠1 = 140°.
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
2. 如图，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，
∠3，∠4 的度数.
解：因为直线 a 与 b 相交于一点，
∠1 = 40°，
所以∠3 =∠1 = 40°，
所以∠4 =∠2 = 140°.
例题 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，
∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1＝40°，
∠BOC＝110° (已知)，
所以∠BOF＝∠BOC －∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70° (等量代换)．
练一练
1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC与∠BOD的和为124°，则∠AOC＝____，∠AOD＝____，∠BOC＝____．
62°
118°
118°
2. 如图，若 ∠1 +∠3 = 60°，则∠1，∠2，∠3，∠4 各角的度数分别为_____________________.
30°，150°，30°，150°
同位角、内错角、同旁内角
6
7
5
8
简称“三线八角”
如图，若再添加一条直线，即直线 EF 分别与两条直线 AB 和 CD 相交，构成了几个角？有什么特点？
C
D
B
A
F
E
4
3
1
2
观察∠1 与∠5 的位置关系：
同位角的概念
① 在直线 EF 的同旁右边
② 在直线 AB，CD 的同一侧上方
同位角
F
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
例题 下列图形中，∠1和∠2 是同位角的有（ ）
A
A. (1)，(2) B. (3)，(4)
C. (1)，(2)，(3) D. (2)，(3)，(4)
1
2
1
2
1
2
1
2
（1） （2） （3） （4）
观察∠3与∠5的位置关系：
内错角的概念
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
3
5
① 在直线 EF 的两侧
② 在直线 AB，CD 之间
内错角
1
3
2
4
5
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
例题 如图，与∠1 是内错角关系的是（ ）
B
观察∠4 与∠5 的位置关系：
同旁内角的概念
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
4
5
① 在直线 EF 的同旁
② 在直线 AB，CD 之间
同旁内角
1
1
A
B
C
D
1
2
2
2
1
2
例题 下列图形中，∠1 和∠2 是同旁内角的是（ ）
A
同位角
内错角
同旁内角
生活中的数学：三线八角手势记忆法
角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
这三类角都是没有公共顶点的
总 结
1.如图，∠1和∠3是_________；∠1和∠4是_________；∠2和∠5是__________；∠3和∠4是___________．
练一练
对顶角
内错角
同旁内角
同位角
2.如图，∠1和∠2是____________被___________所截形成的同位角，∠3和∠4是________________被__________所截形成的内错角，∠5和∠6是_____________被_________所截形成的同旁内角．
直线DE和BC
直线AC
直线BC和DE
直线BE
直线DE和BC
直线AB
如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1 与∠2 相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗
解 因为∠1 ＝∠3 （对顶角相等），
三条直线所成角的关系
∠1 ＝∠2 （已知），
所以∠2 ＝∠3 （等量代换）.
两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等.
归纳
如图，若∠1＝∠4，请说明下面3对角的大小关系(是相等还是互补)，并说明理由．
(1)∠2和∠3；
(2)∠3和∠5；
(3)∠5和∠6.
做一做
解：(1)∠2和∠3相等，理由：
(2)∠3和∠5互补，理由：
因为∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠4，
所以∠2＝∠3；
因为∠2＋∠5＝180°，且∠2＝∠3，
所以∠3＋∠5＝180°；
所以∠5＝∠6.
(3)∠5和∠6相等，理由：
因为∠3＋∠6＝180°，
∠3＋∠5＝180°，
所以∠5＝∠6.
课堂小结
相交直线
所成的角
对顶角
对顶角相等
三线八角
同位角、内错角、同旁内角
随堂检测
1. 如图，∠1 与∠ 2是同位角的对数有（ ）
D
A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对
2. 如图，∠DAB 和∠ABC 的位置关系是（ ）
A. 同位角
B. 同旁内角
C. 内错角
D. 以上结论都不对
C
A
D
B
C
E
3. 如图，∠1 和 ∠2 不能构成同位角的图形是
（ ）
D
4. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1) 写出∠AOC，∠BOE 的补角；
(2) 写出∠DOA，∠EOC 的对顶角；
(3) 如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB 的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解：(1)∠AOC 的补角是∠AOD 和∠COB；
∠BOE 的补角是∠EOA 和∠BOF.
(2)∠DOA 的对顶角是∠COB；
(3)∠BOD =∠AOC = 50°，
A
E
D
B
F
C
O
∠EOC 的对顶角是∠DOF.
∠COB = 180° ∠AOC = 130°.
5.如图，直线 AB、CD 被 EF 所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3、∠4的度数是多少
解：因为∠1 = 110°，∠1+∠2 = 180°
所以∠2 = 70°
所以∠3 =∠2 = 70°(对顶角相等)
因为∠1和∠4互补，
所以∠4 = 70°

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