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第4章 平面内的两条直线
课题　两条平行线间的距离
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．什么是点到直线的距离？
答：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
2．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，哪条最短？
答：垂线段最短．
导入新课
1. 什么是点到直线的距离？
2. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？
探究新知
公垂线、公垂线段、平行线间的距离等概念
画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离.
如图，l1∥l2，在直线 l1 上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D.
A
C
C
D
l1
l2
于是， AB⊥l1，CD⊥l1 .
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的________.
连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的____________.
公垂线
公垂线段
如图，直线 AB 与 CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线.
线段 AB ， CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段.
比较线段 AB 与 CD 的长度，AB = CD.
再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？
两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
两条平行线的所有公垂线段都相等.
公垂线段性质：
平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离.
由上述结论可以进一步猜测：
证明：如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段，
从而线段AB的长是直线l1与l2之间的距离.
又线段AB的长度是点A到直线l2的距离，
因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A
到直线l2的距离.
你能证明吗
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
自主探究
1．两条平行线的公垂线段有( )
A．1条　B．2条　　C．3条　　D．无数条
2．两条平行线间的距离是指它们的( )
A．公垂线 B．公垂线段
C．公垂线段的长度 D．以上都不对
阅读教材，完成下列内容．
D
C
合作探究
1．如图，直线AB∥CD，点P是AB上的动点，当点P的位置变化时，△PCD的面积将( )
A. 变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
C
2．如图，已知AB∥CD，点P为AB上一点，请过点P作AB与CD的公垂线段．
解：如图，线段PE就是所求作的公垂线段．
A
C
B
P
D
E
┒
平行线间的距离
解：因为 AB∥DC，DE⊥AB，
例 1 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段 AE 与 CF 相等吗
D
A
B
C
F
E
所以 DE⊥DC.
又AB∥DC，BF⊥CD，
于是 BF⊥AB. 因而DE∥FB.
又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，
从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段.
故 DF = EB. 又AB = DC，
所以 AB - EB = DC - DF，即 AE = CF.
例 2 设 a，b，c 是三条互相平行的直线，如图所示.已知a 与b 的距离为 5 ，b 与c 的距离为 2 ，求a 与c 的距离．
解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥c，分别与 b，c 相交于 B，C 两点．
因为a，b，c 是三条互相平行的直线，
所以∠1 =∠2 =∠3 = 90°，
即 AB⊥b，AC⊥a .
因此，线段 AB，BC，AC 分别是平行线 a 与
b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段.
又 AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 ，
因此 a 与 c 的距离是 7 .
自主探究
1．若a∥b，直线a上一点A到直线b的距离为3，则直线a与b之间的距离( )
A．等于3 B．大于3
C．不小于3 D．小于3
A
2．已知直线a∥b∥c，且a与b之间的距离为6cm，b与c之间的距离为10cm，那么a与c之间的距离为多少？
解：①当b在a，c之间时，
a与c之间的距离为6＋10＝16(cm)；
②a在b，c之间时，
a与c之间的距离为10－6＝4(cm).
所以a与c之间的距离为4cm或16cm.
平行线间的距离的应用
自主探究
1．如图，MN∥AB，P，Q为直线MN上的任意两点，△PAB和△QAB的面积有什么关系？为什么？
因为S△PAB＝·AB·PC，
S△QAB＝·AB·QD，
所以△PAB和△QAB的面积相等．
解：分别过P，Q两点作PC⊥AB，QD⊥AB，垂足为C，D.
因为MN∥AB，PC⊥AB，QD⊥AB，
所以PC＝QD.
2．如图，DE∥BC，AF⊥DE于点G，DH⊥BC于点H，且AG＝4cm，DH＝4cm，试求点A到BC的距离．
解：因为AF⊥DE，DE∥BC，
所以AF⊥BC.
因为DE∥BC，且DH⊥BC，GF⊥BC，
所以DH＝GF＝4cm，
所以AF＝AG＋GF＝4＋4＝8(cm).
即点A到BC的距离是8cm.
课堂小结
两条平行线间的距离
概念
性质
公垂线
公垂线段
平行线间的距离
两条平行线的公垂线段都相等
随堂检测
2. 点 P，M 分别在直线 AB 和直线 CD 上，且 AB∥CD，点 P 到 CD 的距离为 5 cm，则点 M 到 AB 的距离 ( 　)
A. 大于 5 cm B. 小于 5 cm
C. 等于 5 cm D. 不能确定
1. 两平行线的公垂线段有多少条 （ ）
A. 1 条 B. 2 条
C. 无数条 D. 一条也没有
C
C
3. 如图，a⊥c，b⊥c，c 交 a，b 于A、B 两点，d 交 a，b 于 C、D 两点，且 d 与 c 不平行，则 AB CD（填“＞”“=” “＜”）.
4. 如图，长方形 ABCD 的宽 AD 的长度是 2 cm，点 P 到 AB 的距离是 1.6 cm，那么点 P 到 CD 的距离是________.
＜
3.6 cm
6. 已知 a∥b∥c，a 与 b 之间的距离为 3 cm，b 与 c 之间的距离为 4 cm，则 a 与 c 之间的距离为　　　　cm.
5. 如图，已知直线 MN∥PQ，BC = 4 cm，若△ABC 的面积为 6 cm ，则平行线 MN，PQ 的距离是　　 cm.
3
7 或 1

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