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第4章 平面内的两条直线
课题　垂线
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．　　　　相等，两直线平行；　　　　相等，两直线平行；　　　　　互补，两直线平行．
2．直角等于　　　，一个平角的度数等于两个直角的度数和．
同位角
内错角
同旁内角
90°
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
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探究新知
垂线的概念
观 察
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
A
B
C
D
在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
如图，直线 AB 与 CD 交于点 O，当∠AOC＝90°
时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和平角的性质，可知当∠AOC＝90°时，
∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°.
垂直的定义：
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线.
A
B
C
D
观察直线AB与直线CD（如图）有什么位置关系，∠AOD的度数是多少？
解：AB与CD互相垂直，∠AOD＝90°.
1．如图，平面内三条直线交于点O，∠1＝30°，∠2＝60°，AB与CD的关系是( )
A．平行　　　　　　　　　　
B．垂直
C．重合
D．以上均有可能
练一练
B
2．如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )
A. 20°
B．40°
C．50°
D．60°
C
在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，
这两条直线平行吗？为什么？
a
b
c
b⊥a，c⊥a
b∥c
猜想：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
垂线与平行线的关系
(1) 在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
1
2
因为 b⊥a，c⊥a（已知），
所以 b∥c
(同位角相等，两直线平行).
所以∠1 = ∠2 = 90°
(垂直的定义).
解法1：如图，
a
b
c
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
a
b
c
1
2
解法2：如图，
所以∠1 =∠2 = 90° (垂直的定义).
所以 b∥c (内错角相等，两直线平行).
(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l⊥b 吗
解：因为 l⊥a，
a
b
l
1
2
所以∠1 = 90°.
因为 a∥b，
所以 ∠2 = ∠1= 90°
因此 l⊥b.
(两直线平行，同位角相等)，
几何语言：
a
b
c
1
2
反之，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
总 结
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
所以 b∥c
(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
1.下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c
C．若a∥b，b∥c，则a⊥c
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
练一练
D
2.如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝33°，求∠C.
解：因为DA⊥AB，CD⊥DA，所以AB∥CD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
又∠B＝33°，所以∠C＝147°.
所以∠B＋∠C＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
垂直的运用
例1 在如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1 ＝ 60°，求∠2 的度数．
解: 因为 BD，AE 都垂直于 CG，
所以 BD∥AE (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
从而∠2 ＝∠1 ＝ 60°(两直线平行， 同位角相等)．
例2 如图，在△ABC中，CD⊥ AB于点 D，∠1＝∠2，求∠BEF的度数．
解: 因为 CD⊥AB，
所以∠BDC = 90°.
又因为∠1 =∠2，
所以 DC∥EF （同位角相等，两直线平行）.
所以∠BEF =∠BDC = 90° （两直线平行，同位角相等）.
1．如图，GF⊥BC于点F，DE⊥AB于点E，AC⊥AB，∠ADE＝∠CGF，那么AD与BC垂直吗？请说明理由．
解：AD⊥BC.
练一练
理由：因为DE⊥AB，AC⊥AB，
所以DE∥AC（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
所以∠ADE＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠ADE＝∠CGF，所以∠CAD＝∠CGF.
所以AD∥GF（同位角相等，两直线平行）.
又因为GF⊥BC，所以AD⊥BC（在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条）.
2．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠1＝∠2，请问DG∥BC吗？如果平行，请说明理由．
解：DG∥BC.
理由：因为CD⊥AB，EF⊥AB，
所以CD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠3（等量代换），
所以DG∥BC（内错角相等，两直线平行）.
课堂小结
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角时，则称这两条直线互相垂直.
垂线
定义
性质
随堂检测
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对补角
C
2. 如图，AB⊥CD，垂足为 O，EF 为过点 O 的一条直线，则∠1 与∠2 的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余
C. 互补 D. 互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
B
3.如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是 .
C
A
B
O
E
1
2
D
垂直

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