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第4章 平面内的两条直线
第4章小结与复习
湘教版 七年级 数学（下）
知识图谱
相交线与平行线
图形的平移
平移的基本性质
平移的应用
对顶角
垂线与垂线段
垂线的基本事实
点到直线的距离
同位角、内错角、同旁内角
平行线的概念及其基本事实
平行线的性质与判定
三角形
四边形
圆
定义、命题、定理
点、线、面、角
图形的变化
图形与坐标
图形的性质
图形与几何
平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线.
对顶角的概念与性质
有共同的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 这样的两个角叫作对顶角.
1
2
3
4
对顶角相等
角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
这三类角都是没有公共顶点的
图形 已知 结果 依据
AB∥CD
∠1=∠2
两直线平行，( )相等
两直线平行，
( )相等
两直线平行，
( )互补
∠2=∠3
∠2+∠4=180°
同位角
内错角
同旁内角
平行线的性质：
文字叙述 符号语言 图形
平行线的判断：
( )相等，
两直线平行
( )相等，
两直线平行
( )互补，
两直线平行
因为
所以 AB∥CD
因为
所以AB∥CD
因为
所以AB∥CD
∠1=∠2
∠2=∠3
∠2+∠4=180°
同位角
内错角
同旁内角
平移的概念：
把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫作平移.
原来的图形叫作原像，在新位置的图形叫作该图形在平移下的像.
平移的特点：
平移不改变图形的形状和大小.
平移还不改变直线的方向.
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫作__________. 其中一条直线叫作另外一条直线的______. 它们的交点叫作______.
互相垂直
垂足
垂线
垂线的概念
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
关于垂直的两个结论
a
b
l
设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，
线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的________.
垂线段
垂线与垂线段有何区别和联系？
区别：垂线是直线，垂线段是线段.
联系：垂线段是垂线的一部分.
垂线段最短
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质与垂线段
连接两点的线段的长度叫作两点间的距离.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫作点到直线的距离.
点到直线的距离
两条平行线的所有公垂线段都相等.
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段.
公垂线段的概念及性质
我们把两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
两条平行线间的距离
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
知识模块一 相交线与对顶角
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD＝3∠AOF，∠AOC＝120°，求∠BOE.
解：因为∠AOC＝120°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝60°.
因为∠AOD＝3∠AOF，
所以∠AOF＝∠AOD＝20°，
所以∠BOE＝∠AOF＝20°.
归纳：在相交线中，根据平角的定义与对顶角相等求角度是常用的方法，解题时应注意把握．
知识模块二　平移
如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为(　 　)
A．16　　　　　　B．8　　　　　　
C．10　　　　　　D．12
C
归纳：平移不能改变图形的形状和大小，图形平移前后的对应角、对应边相等．
知识模块三　平行线的性质
如图，AB∥CD，∠BED＝90°. 试说明∠B与∠D之间的关系，并说明理由．
解：∠B＋∠D＝90°.
理由：过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以EF∥AB∥CD，
所以∠BEF＝∠B，∠FED＝∠D，
所以∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D.
又因为∠BED＝∠BEF＋∠FED＝90°，
所以∠B＋∠D＝90°.
归纳：由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．掌握常见题型辅助线的作法，能提高解题速度．
F
A
B
E
C
D
知识模块四　平行线的判定
如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1＝∠2，试说明：AB∥DC.
解：因为DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，
所以∠CDE＝∠ADC，∠1＝∠ABC.
因为∠ADC＝∠ABC，所以∠CDE＝∠1.
因为∠1＝∠2，所以∠CDE＝∠2，
所以AB∥DC.
归纳：我们已经学过的判定两条直线平行的方法有五种：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
知识模块五 平行线的性质与判定的综合运用
如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE，试说明：EF是∠AED的平分线．
解：因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠DBC.
因为ED∥BC，所以∠BDE＝∠DBC，
所以∠ABD＝∠BDE.
因为∠FED＝∠BDE，
所以EF∥BD，∠ABD＝∠FED.
因为EF∥BD，所以∠AEF＝∠ABD，
所以∠AEF＝∠FED，
所以EF是∠AED的平分线．
归纳：本题综合考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定等知识点，解题过程中结合平行线的性质与判定，紧紧围绕角之间的相等关系进行转化．
知识模块六　垂线
如图，已知AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，试说明：AB∥CD.
解：因为AE⊥BC，FG⊥BC，
所以AE∥FG，
所以∠A＝∠1.
又因为∠1＝∠2，
所以∠A＝∠2，
所以AB∥CD.
归纳：平面内直线有两种特殊位置关系：平行与垂直，在解题时应把握它们的性质，灵活处理．
课堂小结
平面内两条直线的位置关系
两条直线相交
对顶角相等
垂线，点到直线的距离
两条直线被第
三条直线所截
两直线平行
两直线平行的性质
两直线平行的判定
同位角、内错角、同旁内角
两直线平行的判定
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行的性质
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，内错角相等
平行线间的公垂线段(距离)都相等
随堂检测
1. 下列说法错误的是（ ）
A.同位角不一定相等
B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等
D.同旁内角互补则两直线平行
B
2. 同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两直线不平行，则一定相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
3. 下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
B
解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°，
∠3 的度数为 8x°，根据题意可得
x°+ x°+ 8x°= 180°，解得 x = 18.
即∠1 = ∠2 = 18°.
而∠4 = ∠1 +∠2（对顶角相等），
故∠4 = 36°.
4. 如图所示，l1， l2 ， l3交于点 O，∠1 =∠2，∠3:∠1 = 8:1，求∠4 的度数.
4
1
2
3
O
（
）
）
（
5. 如图，有一条河，C 是河边 AB 外一点：
(1)过点 C 要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图.
(2)现欲用水管从河边 AB，将水引到 C 处，请在图上测量并计算出水管至少要多长？( 本图比例尺为 1∶2000 )
解：如图：
(1)过点 C 画一平行线平行于AB.
(2)过点 C 作 CD 垂直于 AB 交 AB 于点 D.
然后用尺子量 CD 的长度，再按1∶2000的比例求得实际距离即可.

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