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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第五章 圆
5.2 与圆有关的位置关系
点、直线和圆的位置关系 点、直线和圆的位置关系 d与r的关系 dr
点与圆 设 圆 的 半径 为 r,点到 圆 心 的距离为d 点在圆内 点在圆上 点在圆外
直线与圆 设 圆 的 半径为 r，圆心 到 直 线的距离为d 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离
1.注意 (1)点与圆的位置关系有三种，不仅要明确图形的位置，还要掌握对应的数量关系. (2)点与圆上一动点距离的最大值和最小值都在该点与圆心连线所在的直线上取得. 2总结 点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系的判断的区别与联系. (1)区别：①点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系；②直线与圆的位置关系：通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系. (2)联系：都是与圆的半径的大小进行比较，从而确定位置关系，且位置关系均有3种.
切线的性质与判定 切线的性质与判定 分类 角度 切线的判定 切线的性质
切线与圆的公共点 与圆有唯一 一个公共点的直线是圆的切线 圆的切线与圆只有唯一一个公共点
切线与半径的关系 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 圆的切线到圆心的距离等于圆的半径
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
切线长及切线长定理 (1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. (2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 注意：切线与切线长的区别切线是直线，不可度量；切线长是圆外圆的切线上一点和切点之间线段的长度，可以度量.
三角形的外接圆与内切圆 1.确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆. 2.三角形的外接圆与内切圆. 三角形的外接圆三角形的内切圆定义经过三角形的三个顶点的圆.与三角形各边都相切的圆圆心三角形的外心，三角形三条边的垂直平分线的交点.三角形的内心，三角形三条角平分线的交点.性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.三角形的内心到三角形三边的距离相等.画法作三角形任意两边的垂直平分线，其交点即为圆心O，以圆心 O到任一顶点的距离为半径作⊙O即可.作三角形任意两角的平分线，其交点即为圆心O，以过点O作的任一边的垂线段的长度为半径作⊙O即可.
■考点一　点和圆的位置关系
◇典例1：在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，的半径，且，
∴ 点P在外．
故选：B．
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离d与半径r比较，若，则点在圆外，即可求解．
◆变式训练
1.已知的半径为，若点在圆内，则到圆心的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点在圆内，的半径为，
∴，
观察四个选项，只有，
故选：A．
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．因为点A在圆内，则点A到圆心的距离小于圆的半径，据此进行分析，即可作答．
2.已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（ ）
A．6 B．2 C．2或3 D．4或6
【答案】C
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离，最大距离，
∴直径，
即半径为3；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离，最大距离，
∴直径，
即半径为2．
故选：C．
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离．
■考点二 直线和圆的位置关系
◇典例2：已知的半径为，若圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．在圆内
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的半径为，若圆心O到直线的距离为，
∴，
∴直线l与相交；
故选C．
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系：若，则相交；若，则相切；若，则相离，进而问题可求解．
◆变式训练
1.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】C
【解析】【解答】解：过点C作，如图所示：
∵，，
∴在中，，
∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且，
∴与的位置关系是相交，
故选：C．
【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答．
2.在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【答案】C
【详解】解：如图，过点C作，
∵在中，，，，
∴，
，
，
解得：，
∵以点C为圆心，r为半径的与直线相切，
∴，
故选：C．
【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法， 熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
过点C作，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出的长，即为所求的r．
■考点三 切线的判定
◇典例3：如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线．
【答案】见详解
【详解】解：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径
∴是的切线；
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证．
◆变式训练
1.如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线．
【答案】见详解
【解析】【解答】证明：连接，
∵是的直径，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
是半径，
∴是的切线．
【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可．
2.如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线；
【答案】见解析
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键；
连结，根据，可得，根据，可得，由，可得，进而得出，即可得证．
■考点四 切线的性质
◇典例1：切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵=
∴
∵ 以为直径的与相切于点
∴
∴
故选：．
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用圆周角定理求出，再根据切线性质得出，最后结合三角形内角和求解．
◆变式训练
1.如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角的性质．连接，如图，根据切线的性质得，求得，根据圆周角的性质求得，进一步计算即可求出的度数．
2.如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的切线，是切点，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，．
故答案为：．
【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．
连接，根据切线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到，最后利用勾股定理求的长即可．
■考点五 切线的性质与判定的综合
◇典例1：如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，
是等腰三角形，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：，，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
．
【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
（1）连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理列方程求出即可．
◆变式训练
1.如图，为圆O的直径，点F 在圆O上，，点P 在的延长线上，与圆O相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
与半圆相切于点，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
∴；
（2）解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
（1）由切线的性质得，再证，，进而可得，即可证明结论；
（2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，即可求解．
2.如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，【
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是半圆O的切线．
（2）解：∵，，
∴，，
∵在中，，.
∴，
，
即，
解得．
【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方法并使用面积相等法是解决本题的关键．
（1）根据平行线的判定可得，再根据垂直即可证明；
（2）先根据边长结合勾股定理可求解的长度，再由面积相等法即可求解．
■考点六 切线长定理的应用
◇典例1：如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，，
∴，，，
∴的周长为
，
故选：C．
【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可．
◆变式训练
1.如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案．
2.如图，，是的切线，，为切点，若，，则的周长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：、是的切线，、是切点，
，，，
，
，
是等边三角形，，
，
，，
，
的周长.
故答案为：．
【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质，证明为等边三角形是解题的关键.
由切线的性质得出，，，证是等边三角形，，得出，，即可得出答案．
■考点七 三角形的外接圆
◇典例1：三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴该三角形为直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10，
∴此三角形的外接圆半径是5．
故选：C
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答．
◆变式训练
1.如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
则，
则，
解得：．
故选：B ．
【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接，根据垂径定理推出被垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可．
2.如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的半径．
【解答】（1）证明：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴，
如图：连接，设的半径为r，则，
∵，
∴，解得：，
∴的半径为．
【分析】本题主要考查了垂径定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由垂径定理可得，即是线段的垂直平分线，则，即可证明结论；
（2）由垂径定理可得，根据勾股定理可得，如图：连接，设的半径为r，则，最后根据勾股定理列方程求解即可．
■考点八 三角形的内切圆
◇典例1：如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，，
，，，
，
与的切点分别为 D，E，F，
，，，，，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
的半径长为2，
故选：B．
【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案．
◆变式训练
1.如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点为的外心，，
∴，
∴，
∵点为的内心，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理．由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解．
2.如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，
则，，，
∵，
∴四边形是正方形，
设半径为r，，
，，，
，
，，
，
，
的内切圆的半径为1；
故答案为：1．
【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
■微专题五 构建辅助圆（定点定长、定弦对定角作圆、四点共圆）
◇典例1：如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即，
解得：CF=，
∴此时三角形ACE的面积==6，
故选：A．
【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
◆变式训练
1.如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵菱形的边长为4，，为边上的中点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，
如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，
∴，
∴，
∴，
即线段长度的最大值是，
故选：C．
【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得．
2.如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
■微专题五 构建辅助圆求最值（点圆最值和线圆最值）
◇典例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，
根据勾股定理，
∴最短时，取得最小值，
∵当时，线段最短，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值．
◆变式训练
1.如图，等边的边长为4，的半径为2，D是上的动点，与相切于E，的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，，作于H，
∵与相切于E，
∴，
∵的半径为2，
∴，
当D与H重合时，最小，
∵等边的边长为4，
∴，
∴，
∴的最小值为：，
故选：C．
【分析】连接，，作于H，根据切线的性质得，当D与H重合时，最小，根据勾股定理得出，即可得出的最小值．
2.如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ．
【答案】/
【解析】【解答】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
1．（2025·南沙模拟）如图是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵切于点，是半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别切于点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A。
【分析】根据切线的性质，可得 ，进而可得，易得，再根据切线长定理可得，最后再根据三角形内角和，即可求出的度数。
2．（2025·白云模拟）如图，是的弦，是的切线，经过圆心．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【解答】连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，由等腰三角形的性质“等边对等角”可得，然后由三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠AOC=∠B+∠OAB求出∠AOC的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求解．
3．（2025·东莞模拟）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：D.
【分析】根据A是切点，由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，即可求出的度数，由等腰三角形的性质得出，然后再根据三角形的外角定理：，据此即可求解
4．（2025·博罗模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：当x=0时，=6，
当y=0时，，
∴x=8，
∵ 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
∴A（-8，0），B（0，6）
∴OA=8，OB=6，
在Rt△AOB中，AB==10，
如图，设
设与直线相切于点D，连接PD、PB，
∴PD⊥AB，PD=PO=PM，
∵，
∴
即
∴PD=3
∴OM=2PD=6，
∴AM=OA－OM=2，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的图像与x轴、y轴分可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 根据可得，进而即可得出答案.
5．（2025·天河模拟）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵分别与圆相切于两点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用圆周角定理可求出∠AOB的度数，利用切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理即可求出答案．
6．（2025·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点，P是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】连接BP，OM
M为AP的中点，O为AB的中点，
为的中位线，
．
当点P为BC延长线与⊙C交点时BP最大，即OM 最大，
直线与双曲线交于A、B两点，
，
解得，
．
，
，
圆的半径为1，
，
，
故选：D．
【分析】
连接BP，OM，由于正比例函数的图象与反比例函数的图象都是中心对称图形，则O是AB中点，则OM是的中位线，当CB取最大值时，OM最大，显然当PB经过圆心C时最大，此时先联立直线与双曲线求得A、B两点的坐标，再利用两点距离公式求出BC的长，则PB的最大值等于BC与1的和即可．
7．（2025·广州）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是　 　；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为　 　．
【答案】；
【解析】【解答】解：如图
∵过点可以引的两条切线，，
∴点P在圆外
∴d>6
∵PA，PB分别切圆于点A，B
∴OP平分∠AOB
∴∠APO=∠BPO
∵OC∥PA
∴∠POC=∠APO
∴∠POC=∠CPO
∴PC=OC
∵PA=x，CD=y
∴PC=OC=y+6
∴BC=PB-PC=x-(y+6)=x-y-6
连接OB
∴半径OB⊥PB
∴∠OBC=90°
∴OC2=BC2+OB2
∴(y+6)2=(x-y-6)2+62
∴
故答案为：；
【分析】根据切线性质可得点P在圆外，根据点与圆的位置关系可得d>6，再根据切线性质可得OP平分∠AOB，则 ∠APO=∠BPO，根据直线平行性质可得∠POC=∠APO，则∠POC=∠CPO，即PC=OC，根据边之间的关系可得PC=OC=y+6，BC=PB-PC=x-y-6，连接OB，根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
8．（2025·广东）如图，点O是 斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D. 求证： AD平分∠BAC.
【答案】证明：如图， 连接OD，
∵BC切⊙O于 D
∴OD⊥BC
∵△ABC为直角三角形
∴AB⊥BC
∴OD∥AB
∴∠ODA=∠BAD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠OAD
∴∠BAD=∠OAD
∴AD平分∠BAC
【解析】【分析】： 利用圆的切线性质、平行线判定及性质、等腰三角形性可以证明。
连OD，构建切线与半径的垂直关系；由BC切⊙O于D，得OD⊥BC；
因 △ABC是Rt△，AB⊥BC，结合OD⊥BC，推出OD∥AB；由OD平行AB得∠ODA = ∠BAD；又OD = OA（半径相等），得∠ ODA = ∠OAD，从而∠BAD =∠OAD，证得AD平分∠BAC。
9．（2025·广州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
【答案】解：（1）AD⊥CP，如图所示，
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
即△PCF是等腰三角形；
（3）连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴=，
∴AE=BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE=7，
∴AB=BE=14，
∵∠PAC=∠PCB，∠CPB=∠APC，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴，
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴(4k)2+72=(3k+7)2，
∴k=6 (k=0不合题意，舍去)．
∴PC=4k=4×6=24．
【解析】【分析】（1）根据尺规作图：过直线CP外一点A作PC的垂线，先以A为圆心画弧与PC相交；再分别以交点画弧交于一点，连接这点和A点，即可解答；
（2）由圆周角定理和垂线的定义得到∠DAC=∠PCB；由切线的性质和等边对等角可得∠BCP=∠CAO，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF，即可解答；
（3）利用等腰直角三角形的性质求出AB=14，利用AA可判定△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，由tan∠ABC=，可得，进而可得到，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理PC2+OC2=OP2建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长，解答即可.
1．（2025·阳春模拟）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵与边相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∠ODF=∠AFD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接OD，根据切线的性质得到，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，即可得解.
2．（2025·渭源模拟）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的切线，
．
，
由四边形是的内接四边形，，
得
由，
得．
故选：C．
【分析】先连接，根据切线的性质可得，然后根据内接四边形的对角互补求出，然后根据三角形的内角和和等边对等角得到的度数．
3．（2025·海珠模拟）如图，是的直径，直线与相切于点，过，分别作，，垂足分别为点、，连接、，若，，则的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
直线与相切于点，
，
，，
∴△ADC∽△CEB，，
，
由相似得：，
，
，，
，
故选：C．
【分析】
连接，由切线的性质得，而，，从而有△ADC∽△CEB，
进而有，EB=4，由勾股定理，求得，，所以．
4．（2025·广东模拟）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
又∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
同理，∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
．
∴．
又∵，
∴．
∵的周长为，即，
∴，可得，
解得．
故选：C
【分析】根据切线长定理可得，，，根据三角形周长可得=10，即可求出答案.
5．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴则圆与直线的关系是相离．
故答案为：B
【分析】过点D作于点H，根据直角三角形的基本性质，可得以及勾股定理：，代入数据求出AC的值，然后再根据等面积方法： ，可得 ， 进而可求出，最后再根据圆和直线相交的特点，即可求解。
6．（2025·深圳模拟） 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧AC的中点，过点D作的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD．若BE=4AE=4，则的半径为（　　）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F
∵D为劣弧AC的中点
∴DA=DC，∠DBA=∠DBC
∵DE⊥BA，DF⊥BC
∴DE=DF
在Rt△ADE和Rt△CDF中
∴△ADE≌△CDF(HL)
∴CF=AE
在Rt△BDF和Rt△BDE中
∴△BDF≌△BDE
∴BF=BE
∵BE=4AE=4
∴AE=1，BF=4
∴BC=BF+CF=5
故圆的半径为
故答案为：B.
【分析】作DF⊥BC于点F，由D为中点知线段关系DA=DC和角度关系∠DBE=∠DBC，证明两组全等三角形可得BC的长，即可得半径.
7．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：，
．
如图所示，，取的中点，连接，则，
点在以为直径的上，的半径为，
连接，则当点在线段上时，取得最小值，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
，即的最大值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，可求出OG的长，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长.
8．（2025·东莞模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，由对称性得：
∵是的中点，
∵的长的最大值为3，则长的最大值为：
如图上图所示，当过圆心时，最长，过作轴交于点，
在直线上，
设，则即
在中，由勾股定理得：
代入数据得：
整理得：
解得：(舍去)，或
∵在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
【分析】连接，由对称性得：，根据线段中点可得，则长的最大值为6，当过圆心时，最长，过作轴交于点，设，则即，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
9．（2025·罗湖模拟）如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图，
，，
垂直平分，
，
为的切线，
，
为的直径，
，
∴，
四边形为矩形，
，
.
（2）解：垂直平分，
，
四边形为矩形，
，
在中，
，，
，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
即的半径为．
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，先证出四边形为矩形，再利用矩形的性质可得∠E=90°，即可得到；
（2）先利用矩形的性质可得，再利用勾股定理求出BH的长， 设的半径为，则，， 利用勾股定理可得， 再求出r的值即可.
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第五章 圆
5.2 与圆有关的位置关系
点、直线和圆的位置关系 点、直线和圆的位置关系 d与r的关系 dr
点与圆 设 圆 的 半径 为 r,点到 圆 心 的距离为d 点在 点在 点在
直线与圆 设 圆 的 半径为 r，圆心 到 直 线的距离为d 直线与圆 直线与圆 直线与圆
1.注意 (1)点与圆的位置关系有三种，不仅要明确图形的位置，还要掌握对应的数量关系. (2)点与圆上一动点距离的最大值和最小值都在该点与圆心连线所在的直线上取得. 2总结 点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系的判断的区别与联系. (1)区别：①点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系；②直线与圆的位置关系：通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系. (2)联系：都是与圆的半径的大小进行比较，从而确定位置关系，且位置关系均有3种.
切线的性质与判定 切线的性质与判定 分类 角度 切线的判定 切线的性质
切线与圆的公共点 与圆有唯一 一个公共点的直线是圆的切线 圆的切线与圆只有唯一一个公共点
切线与半径的关系 到圆心的距离等于 的直线是圆的切线 圆的切线到圆心的距离等于圆的
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
切线长及切线长定理 (1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上， 和 之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. (2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的 切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的 . 注意：切线与切线长的区别切线是直线，不可度量；切线长是圆外圆的切线上一点和切点之间线段的长度，可以度量.
三角形的外接圆与内切圆 1.确定圆的条件： 的三点确定一个圆. 2.三角形的外接圆与内切圆. 三角形的外接圆三角形的内切圆定义经过三角形的三个 的圆.与三角形各边都 的圆圆心三角形的外心，三角形三条边的 的交点.三角形的内心，三角形三条 的交点.性质三角形的外心到三角形的三个 的距离相等.三角形的内心到三角形 的距离相等.画法作三角形任意两边的垂直平分线，其交点即为圆心O，以圆心 O到任一顶点的距离为半径作⊙O即可.作三角形任意两角的平分线，其交点即为圆心O，以过点O作的任一边的垂线段的长度为半径作⊙O即可.
■考点一　点和圆的位置关系
◇典例1：在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断
◆变式训练
1.已知的半径为，若点在圆内，则到圆心的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
2.已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（ ）
A．6 B．2 C．2或3 D．4或6
■考点二 直线和圆的位置关系
◇典例2：已知的半径为，若圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．在圆内
◆变式训练
1.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2.在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
■考点三 切线的判定
◇典例3：如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线．
◆变式训练
1.如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线．
2.如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线；
■考点四 切线的性质
◇典例1：切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为 ．
2.如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ．
■考点五 切线的性质与判定的综合
◇典例1：如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
◆变式训练
1.如图，为圆O的直径，点F 在圆O上，，点P 在的延长线上，与圆O相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2.如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长．
■考点六 切线长定理的应用
◇典例1：如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
◆变式训练
1.如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
2.如图，，是的切线，，为切点，若，，则的周长是 ．
■考点七 三角形的外接圆
◇典例1：三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
◆变式训练
1.如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
2.如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的半径．
■考点八 三角形的内切圆
◇典例1：如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
◆变式训练
1.如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
■微专题五 构建辅助圆（定点定长、定弦对定角作圆、四点共圆）
◇典例1：如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
◆变式训练
1.如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　）
A． B．4 C． D．
2.如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
■微专题五 构建辅助圆求最值（点圆最值和线圆最值）
◇典例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
◆变式训练
1.如图，等边的边长为4，的半径为2，D是上的动点，与相切于E，的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．3
2.如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ．
1．（2025·南沙模拟）如图是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
2．（2025·白云模拟）如图，是的弦，是的切线，经过圆心．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·东莞模拟）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·博罗模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·天河模拟）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为　 　．
6．（2025·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点，P是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
7．（2025·广州）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是　 　；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为　 　．
8．（2025·广东）如图，点O是 斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D. 求证： AD平分∠BAC.
9．（2025·广州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
1．（2025·阳春模拟）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·渭源模拟）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·海珠模拟）如图，是的直径，直线与相切于点，过，分别作，，垂足分别为点、，连接、，若，，则的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．（2025·广东模拟）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
5．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
6．（2025·深圳模拟） 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧AC的中点，过点D作的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD．若BE=4AE=4，则的半径为（　　）
A．5 B． C．2 D．1
7．（2025·东莞模拟）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　 　
8．（2025·东莞模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为　 　．
9．（2025·罗湖模拟）如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
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