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第五章 轴对称与旋转
课题　轴对称
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．图中有两条对称轴的是　　．（填序号）
③⑤
2．如图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
解：有5条对称轴．
作法：分别连接五角星五个顶点和对面的点．如图．
探究新知
轴对称变换及其性质
探索新知
如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，点 P 的对应点是 P′ ，线段 PP′ 交直线 l 于点 D. 线段 PP′ 与对称轴 l 之间有什么关系？
所以将△ABC 连同直线 l 沿对称轴 l 折叠，就得到△ A′B′C′ 连同直线 l.
因此 l ⊥ PP′ ，且 l 平分 PP′，即直线 l 垂直平分线段 PP′ .
因为△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称.
在这个轴对称下，点 P 的对应点是点 P′，点 D 的对应点是点 D 自身.
于是线段 PD 与线段 P′D 重合，∠1 与∠2 重合.
从而 PD = P′D ，∠1=∠2 = 90°.
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
归 纳
特别地，若点 P 与点 P′ 关于一条直线对称，则线段 PP′ 被这条直线垂直平分.
反过来，若线段 PP′ 被一条直线垂直平分，则点 P 与点 P′ 关于这条直线对称.
P
P′
l
A′B′
AB =_______，
BC =_______，
∠ABC =__________.
B′C′
∠A′B′C′
如图，将△ABC 沿直线 l 折叠，在这个轴对称下，点 A 的对应点是点 A′，点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′.
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
归 纳
练一练
1．如图，已知点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，线段P1P2分别交OA，OB于点D，C，P1P2＝6cm，则△PCD的周长为( )
A．3cm　　　
B．6cm　　　
C．12cm　　　
D．无法确定
B
2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠A′的度数为　　．
50°
PP′被l垂直平分，则△ABC与△A′B′C′关于l对称．
合作探究
分析：
猜想：
将△ABC沿直线l折叠后，发现△ABC与△A′B′C′完全重合．
1.阅读教材，完成下题。
2.下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
B
作一个图形关于某直线对称的图形
问题1：如何画一个点关于某条直线的轴对称图形？
﹒
l
p
﹒
p′
O
作法：
(1) 过点 P作 l 的垂线，垂足为点 O；
(2) 在 l 另一侧的垂线上截取 O P ′ = O P.
则点 P ′ 就是点 P 关于直线 l 的对应点.
怎样过直线l外一点P作关于这条直线的对称点P′？
问题2：如何画一条线段的对称图形？
已知线段 AB，画出 AB 关于直线 l 对称的线段.
A
B
(图1)
(图2)
(图3)
A
B
l
l
A
B
l
A′
A′
A′
B′
(B′)
B′
例1 如图，已知△ABC 和直线 l，作出与△ABC 关于直线 l 对称的图形.
A
B
C
分析：△ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线 l 的对应点，连接这些对应点，就能得到要画的图形.
合作探究
作法：（1）过点 A 画直线 l 的垂线，垂足为点 O，在垂线上截取 OA′ = OA，A′ 就是点 A 关于直线 l 的对应点；
（3）连接 A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′ 即为所求.
（2）同理，分别画出点 B，C关于直线 l 的对应点 B′，C′；
A
B
C
A′
B′
C′
O
几何图形都可以看作由点组成的.对于某些图
形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对应点，连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.
作轴对称图形的方法
练一练
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
解：(1)△A1B1C1如图；
A
B
C
A1
B1
C1
(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点三角形A2B2C2，使A2B2＝C2B2.
线段A2C2和△A2B2C2如图．
（符合条件的△A2B2C2不唯一）
A
B
C
A2
C2
B2
课堂小结
轴对称的性质
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
轴对称变换
作图方法
(1) 找关键点；
(2) 作垂线；
(3) 截取等长；
(4) 依次连线.
随堂检测
1. 如图，若△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，线段 BB′ 交直线 MN 于点 O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. AC ＝A′C′
B. BO ＝B′O
C. AA′⊥ MN
D. AB∥B′C′
D
2. 如图，画△ABC 关于直线 m 对称的图形.
m
A
B
C
(A′)
C′
B′
3. 如图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.
B
A
C
D
E
F
G
H
l
4. 如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 成轴对称. 指出它们的对应顶点，并分别找出三对相等的边和相等的角.
A′
A
B′
C′
B
C
N
M
A 和 A′
B 和 B′
C 和 C′
AB =A′B′
BC =B′C′
AC =A′C′
∠ABC =∠A′B′C′
∠BCA =∠B′C′A′
∠BAC =∠B′A′C′

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