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第五章 轴对称与旋转
课题　旋转
湘教版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．距离为8cm的两个点A和A′关于直线MN成轴
对称，则点A到直线MN的距离为　　cm.
2．如图，线段AB，CD关于直线EF对称，则
AC⊥　　，BD⊥　　，AO＝　　，BO′＝　　．
4
EF
EF
CO
DO′
情景导入
这些运动有什么共同的特点？
探究新知
旋转的概念
B
O
A
45
°
问题 观察下面的现象，它有什么特点？
(1)钟表上的指针是怎样走动的呢？
(2)电风扇启动后，它的叶片是怎样运动的呢？
答：(1)钟表上的指针绕中心旋转；
(2)电风扇的叶片绕电机的中心旋转；
(3)汽车上的雨刮器是怎样运动的呢？
汽车的雨刮器绕支点旋转．
把图形 (Ⅰ) 上的每一个点与定点的连线绕点 O 按同一个方向旋转角 α，得到图形 (Ⅱ) .
知识要点
Ⅰ
图形的这种变换叫作旋转.
这个定点 O 叫作旋转中心.
角 α 叫作旋转角.
α
Ⅱ
O
α
Ⅰ
Ⅱ
O
原位置的图形 (Ⅰ) 叫作原像，新位置的图形 (Ⅱ) 叫作图形 (Ⅰ) 在旋转下的像.
原像
像
图形 (Ⅰ) 上的每一个点 P 与它在旋转下的像点 P′ 叫作在这个旋转下的对应点.
P
P′
转动的方向分为顺时针与逆时针
例 1 已知 O 为 △ABC 外一点，以点 O 为旋转中心，把△ABC 顺时针旋转 120°，画出旋转后的三角形.
A′
C′
B′
A
C
B
O
（1）连接 OA，OB，OC；
（2）将 OA，OB，OC 绕点 O 顺时针旋转 120°，分别得到 OA′，OB′，OC′；
（3）连接 A′B′ ，B′C′ ，C′A′ 则△A′B′C′ 就是所要画的三角形.
A′
C′
B′
A
C
B
O
旋转中心
旋转方向
旋转角度
旋转的三要素
归 纳
温馨提示：
① 旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”被称为旋转的三要素；
② 旋转变换不改变图形形状和大小.
练一练
1．如图，将左边的长方形绕点P旋转一定角度后，得到位置如右边的长方形，则旋转的角度是( )
A．30°　　　　　B．60°　　　　　
C．90°　　　　　D．180°
C
2．如图，△ABC是由△EBD旋转得到的，旋转中心是点　　．
B
旋转作图
图形旋转时，旋转的三要素：
旋转中心
旋转方向
旋转角度　
画一画：如图，画出线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转 60° 后的线段．
作法：
X
C
(1) 如图，以 AB 为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX = 60°；
(2) 在射线 AX 上取点 C，使得 AC = AB.
则线段 AC 即为所求．
明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；
旋转作图的基本步骤：
找出关键点；
作出关键点的对应点；
作出新图形；
写出结论.
总 结
在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A′B′C′.
解：如图．
合作探究
.
O
A′
C′
B′
A
B
C
A
B
C
B′
A′
．
M
．
．
．
．
45°
绕点 C 逆时针旋转 45°
△ABC 如何运动到△A′B′C 的位置？
N'
N
M′
旋转的性质
B'
A'
C'
A
B
C
O
AO = A'O，BO = B'O，CO = C'O
∠AOA' =∠BOB' =∠COC'
观察下图，你能找到相等的角和线段吗？
D
E
A
B
F
C
O
1. 对应点到旋转中心的
距离相等；
2. 两组对应点分别与旋
转中心的连线所成的
角相等，都等于旋转角；
3. 旋转中心是唯一不动的点；
旋转的性质
4. 旋转保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
例2 如图，将△ABC 按逆时针方向旋转 45°，得到△AB′C′ .
（1）图中哪一点是旋转中心？
C′
B′
A
C
B
点 A 是旋转中心.
（2）∠B′AB 和∠C′AC 有什么关系？它们的度数是多少？
B 与 B′， C 与 C′ 是对应点.
因为两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角.
所以∠B′AB =∠C′AC = 45°.
C′
B′
A
C
B
（3）AB 与 AB′ ，AC 与 AC′ 有什么关系？
因为对应点到旋转中心的距离相等，
所以 AB = AB′ ，AC = AC′.
（4）BC 与 B′C′ 有什么关系？
因为旋转保持任意两点间距离不变，
所以 BC = B′C′.
C′
B′
A
C
B
（5）∠BAC 和∠B′AC′ 有什么关系？
因为保持对应角的大小不变，
所以∠BAC =∠B′AC′.
C′
B′
A
C
B
如图，将△ABC绕点O旋转后得到△A′B′C′，用刻度尺和量角器测量后你会发现，AO　　A′O，∠AOA′　　∠BOB′　　∠COC′，AB　　A′B′，∠A　　∠A′，S△ABC　　S△A′B′C′.
自主探究
＝
＝
＝
＝
＝
＝
合作探究
如图，△A′B′C′是△ABC绕点O旋转180°后的图，看一看，数一数，在整个图中，有多少对形状和大小都相同的三角形，把它们写出来．
解：8对，它们是：①△ABD与△A′B′D′，②△AOD与△A′OD′，③△BCD与△B′C′D′，④△COD与△C′OD′，⑤△ABC与△A′B′C′，⑥△BCO与△B′C′O，⑦△COA与△C′OA′，⑧△OAB与△OA′B′.
旋转性质的应用
阅读教材，思考下列问题：
C′
B′
A
C
B
(1)如何确定旋转中心？
答：每个点与定点的连线绕定点旋转，这个定点是旋转中心；
(2)∠B′AB与∠C′AC的角度是如何确定的？
旋转角度的大小就是∠B′AB和∠C′AC的度数．
C′
B′
A
C
B
合作探究
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且AE＝2，△ABF是△ADE的旋转图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
解：(1)旋转中心是点A；
(2)因为△ABF是由△ADE旋转而成的，B是D的对应点，所以∠DAB＝90°就是旋转角；
(3)AF＝AE＝2.
课堂小结
旋转
定义
三要素：
旋转中心，旋转方向和旋转角度.
性质
旋转前后的图形形状和大小不变；
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角.
随堂检测
1. 下列现象中属于旋转的有 ( )
① 地下水位逐年下降；② 传送带的移动；
③ 方向盘的转动； ④ 水龙头开关的转动；
⑤ 钟摆的运动； ⑥ 荡秋千运动.
C
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2. 下列说法正确的是 ( )
A. 旋转改变图形的形状和大小
B. 平移改变的是图形的位置
C. 图形可以向某方向旋转一定距离
D. 由平移得到的图形也一定可由旋转得到
B
3. △A′OB′ 是△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转得到的. 已知∠AOB = 20°，∠A′OB = 24°，AB = 3，OA = 5，则 A′B′ = ，OA′ = ，旋转角等于 °.
3
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