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2025-2026学年上学期九年级1月质量检测数学试题
一．选择题（每小题4分，满分40分）
1．已知实数x，y满足y4，则以x，y为边的等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．12 C．10 D．8或10
2．下列事件为必然事件的是（　　）
A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
B．明天会下雪
C．开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．购买一张彩票中奖一百万元
3．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0的根的情况，说法最恰当的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有实数根
5．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣5
6．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
7．已知抛物线y＝x2﹣8，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围为（　　）
A．x＜8 B．x＞0 C．x＞8 D．x＜0
8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（　　）
A．a tanα B．a sinα C． D．
9．如图，△ABC和△DEF是位似三角形，OD＝3OA，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
10．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，分别连接DE，EF，DF，AE，AE与AE相交于点O．有下列四个结论：
①；
②
③当AB＝AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；
④当∠ABC＝90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
二．填空题（每小题4分，满分24分）
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝　 　 ．
12．已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，则k的值为　 　 ．
13．小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡行走了13米，那么他上升的高度是 　 　 米．
14．已知直角三角形的两条边长为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线等于 　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　 ．
16．如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，把EB绕点E逆时针旋转15°交BC于点F，过点C作CG⊥EF于点G，连接BG，若CF＝2BF，，则BC＝　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解一元二次方程：2x2+3x﹣4＝0．
19．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则∠DEF＝　 　 °，AC＝　 　 ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似．若相似，请说明理由．
20．（8分）如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O．
（1）在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，C和F是对应点，且点F落在线段OC上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，，求BC的长．
21．（8分）现有A，B两个不透明的盒子，A中有4个完全相同的黑色棋子，B中有2个完全相同的白色棋子．
（1）从A中摸出两个棋子放入B中，再从B中随机摸出一个棋子，则摸出棋子颜色为黑色的概率为 　 　 ．
（2）在（1）的基础上，求从B中一次摸出2个棋子都是白色的概率．
22．（10分）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（2）当﹣3≤x≤0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
23．（10分）项目化学习
项目主题：测量树的高度．
分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板…确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高度．
成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
测量工具 标杆，皮尺
测量方案 选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上．这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据 线段AB表示树，标杆EF＝3.2m，观测者的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，观测者的脚到树底端的距离DB＝14m，观测者的脚到标杆底端的距离DF＝2m．
…
请同学们继续完善上述成果展示：
任务一：根据测量数据，求出树AB的高度；
任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识 　 　 ．（写出一个即可）
24．（13分）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．
（1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”：　 　 ．
（2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的两根为，x4＝　 　 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为　 　 ，请证明你的结论．
（3）已知关于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，．请利用（2）中的结论，直接写出关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2023的两根．
25．（13分）（1）如图1，AD是△ABC的中线，点E是AB边上一点，作EF∥BC交AC于F，交AD于G．证明：AD平分EF．
（2）如图2，AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，连结BM并延长与AC交于点N，求的值．
（3）如图3，若，，求的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D C B D D D C
二．填空题
11．5．
12．7．
13．5．
14．2.5或2．
15．1＜x＜3．
16．3．
三．解答题
17．解：原式
．
18．解：2x2+3x﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴，
∴．
19．解：（1）根据图形可得：∠FEM＝90°，∠DEM＝45°，
∴∠DEF＝90°+45°＝135°，
AC2；
故答案为：135；2；
（2）△ABC与△DEF相似，理由如下：
在△ABC中，AB＝2，BC2，AC2，
在△DEF中，EF＝2，DE，DF，
∵，，，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
20．解：（1）以D为圆心，DC长为半径画弧，交线段OC于点F，再作CF的垂直平分线交BC于点E，则点E即为所求，如图所示，点E即为所求：
（2）如图，设DE交AC于点G，
由作图可得，DE垂直平分CF，
∴DE⊥CF，
∴∠DGC＝90°，
∴∠EDC+∠GCD＝90°，
∵矩形纸片ABCD，
∴，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠GCD＝90°，
∴∠ACB＝∠EDC，
∴△ABC∽△ECD，
∴，
∴BC＝2CD，
设CD＝a，则BC＝2a，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴，
解得a＝2（负值已舍去），
∴BC＝2×2＝4．
21．解：（1）摸出棋子颜色为黑色的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中2个棋子都是白色的结果数为2，
所以摸出2个棋子都是白色的概率．
22．解：（1）抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点坐标为（﹣1，4），
当x＝0时，y＝﹣（x+1）2+4＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
根据对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线必过点（﹣2，3），
当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；
过以上五点描点、连线作出抛物线，如图，
（2）∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点坐标为（﹣1，4），且a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣1时，y有最大值为4；
当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3+1）2+4＝0，
当﹣3≤x≤0时，0≤y≤4．
23．解：任务一：如图，过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形，
∴CH＝DF＝2m，CG＝BD＝14m，CD＝HF＝GB＝1.7m，
∴EH＝EF﹣HF＝3.2﹣1.7＝1.5m，
由题意得EF∥AB，
∴△CEH∽△CAG，
∴，即，
∴AG＝10.5m，
∴AB＝AG+BG＝10.5+1.7＝12.2m，
答：树AB的高度为12.2m．
任务二：求树的高度时所利用的数学知识有相似三角形的性质与判定（答案不唯一）．
24．解：（1）由“友好方程”的定义可知，
一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”为﹣8x2+2x+1＝0，即8x2﹣2x﹣1＝0，
故答案为：8x2﹣2x﹣1＝0；
（2）由（1）可知，一元二次方程x2+2x﹣8＝0的友好方程为8x2﹣2x﹣1＝0，
解得，
观察可知，；
所以猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系是互为倒数．
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2
“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为x3，x4．
∴x1 x4 1，x2 x3 1．即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）已知关于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，．
那么x2﹣bx﹣2023＝0的两个根分别是x3＝﹣1，x4＝2023，
将（x﹣1）2﹣bx+b＝2023整理为：（x﹣1）2﹣b（x﹣1）﹣2023＝0，
那么有x﹣1＝﹣1或x﹣1＝2023，
即x5＝0，x6＝2024．
∴关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2023的两根为x＝0或x＝2024．
25．（1）证明：如图1，∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵EF∥BC交AC于F，交AD于G，
∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，
∴，，
∴，
∴1，
∴EG＝FG，
∴AD平分EF.
（2）解：如图2，作DG∥BN交AC于点G，
∵AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，
∴BD＝CD，AM＝MD，
∴1，1，
∴CG＝NG，AN＝NG，
∴AN＝NG＝CG，NC＝NG+CG＝2AN，
∴，
∴的值是．
（3）解：如图3，作DH∥BF交AC于点H，
∵，
∴，
∴FC＝mFH，
∵EF∥DH，，
∴，
∴AH＝nAF，
∴AF+FH＝nAF，
∴AFFH，
∴AC＝FC+AF＝mFHFHFH，
∴，
∴的值是．
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