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2025-2026学年第一学期期末质量监测
初三数学评分标准
一、选择：30分
1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.C 10.B
二、填空：18分
11.-3 12. 13.
14.60° 15. 16.
三、解答题：72分
17．（8分）
（1）解：
.........................................2分
，
，； .........................................4分
（2）解：
.........................................2分
，
． .........................................4分
（5分）
解：（1）∵A（0，2），B（6，5）
设抛物线解析式为 .........................................1分
∵A（0，2）在抛物线上
∴代入得， .........................................2分
∴抛物线的解析式为 .........................................3分
（2）当时，
解得，（不合题意，舍去）.........................................4分
∴
答：该同学把铅球推出（）m远 .........................................5分
（5分）
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1　（1，1）　，B1　（0，4）　，C1　（2，2）　； .........................................3分
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
解:（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为：＝2π． .........................................5分
（6分）
解：（1）方程是“黄金方程”． 理由如下： .........................................1分
在方程中，，，，
∴，
故方程是“黄金方程”． .........................................2分
（2）∵方程是“黄金方程”，
∴，
∵2是此方程的一个根，
∴将代入方程 ，得，
得方程组，解得，
∴该方程为．
故答案为：． .........................................3分
（3）∵方程是“黄金方程”，
∴， .........................................4分
又∵m是此方程的一个根，
∴，即， .........................................5分
将代入，
得一元二次方程，解得或．
故m的值为1或． .........................................6分
（6分）
解:（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y＝中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣； .........................................1分
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2）， .........................................2分
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+1； .........................................3分
（2）如图，
y＝﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1， .........................................4分
∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ
＝×1×4+×1×6
＝2+3
＝5． .........................................5分
（7分）
解：（1）设降价x元，则
.........................................2分
解得， . ........................................3分
∵要减少库存，∴x=20，
∴x应降价20元 .........................................4分
（2）设商场盈利w元
. .........................................5分
元
当，元 .........................................7分
（7分）
解：据题意可得，，
， .........................................2分
． .........................................3分
，，，
，
， .........................................5分
． ........................................6分
答：树高为． .........................................7分
（8分）
（1）解：（人），
；
故答案为：50，28.8； .........................................2分
（2）（人），
补全图形如下：
.........................................4分
（3）画树状图如下：
.........................................6分
共有12个等可能的结果，恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个，
∴P(恰好选中一名男生和一名女生)． .......................................8分.
（8分）
（1）直线BE与⊙O相切， .........................................1分
理由：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°， .........................................2分
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS）， .........................................3分
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切； .........................................4分
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3， .........................................6分
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6． .........................................8分
（12分）
（1）解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，解得
所以直线 的解析式为 ； .........................................2分
把 代入 得 ，
所以抛物线解析式为 ； .........................................3分
（2）解：解方程组 得 或 ，......................................... 5分
所以 ......................................... 6分
.........................................8分
（4）∵S△COB＝S△AOC - S△AOB = ×2×4 - ×2×1=3
∴S△AOD＝S△COB＝3 .........................................9分
设D(t , t2)
∴×2×t2 = 3 .........................................10分
∴t = ± .........................................11分
∵点D在第一象限
∴t =
∴ .........................................12分
答案第1页，共2页学校 班级 姓名 考试号(或学号) . ××××××××××××××××××密 封 线 内 请 勿 答 题××××××××××××××××
2025-2026学年第一学期期末质量监测试卷
初三数学
2026.1
注意事项：
1．全卷共4大页，三大题，满分120分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场、座号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、错选或多选均不得分。）
1．一元二次方程x2=1的解是 （ ）
A. B. C. D.
2．如图，△ABC旋转至△CDE，点D在BC上，∠ACE=60°，则旋转角为 （ ）
A.30°
B.40°
C.45°
D.60°
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ）
A B C D
4．在下列事件中，必然事件的是 （ ）
A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
B．从地面发射1枚导弹，未击中空中目标
C．明天太阳从东方升起
D．购买1张彩票，中奖
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=25°，则∠BOC的度数是 （ ）
A.25° B.50° C.65° D.75°
第5题 第8题
6．下列对抛物线的描述不正确的是 （ ）
A.开口向下 B.y有最大值
C.对称轴是直线 D.顶点坐标为（3，）
7．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 （ ）
A.且 B. C.且 D.
8．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C.则AB= （ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
9．如图，正方形OABC的边长为4，则该正方形绕点O顺时针旋转45°后，B点的对应点坐标为（ ）
A.（4，4） B.（0，） C.（，0） D.（4，0）
（第9题图） （第10题图）
如图所示是抛物线y = ax2+bx+c(a<0)的部分图像，其顶点坐标为(1,n)，且与轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①a-b+c > 0；②3a+c > 0；③b2 = 4a(c-n)；④一元二次方程ax2+bx+c = n-2没有实数根．其中正确的结论个数是 （　 　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
11．若x＝3是一元二次方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c＝________.
12．四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上面的恰好是中心对称图形的概率是___________.
13．抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是___________ .
14．正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为__________.
15．圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y＝(x＞0)的图象，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点(A1，A2，A3在反比例函数图象上)，以此作图，我们可以建立一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为_____________．
（第16题图）
三、解答题（本大题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解下列方程：（每小题4分，共8分）
(1)； (2)．
18．（5分）在体育测试时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）.
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）这名男同学把铅球推出多少米
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1　 　，B1　 　，C1　 　；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
20.（6分）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由；
(2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”；
(3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
22．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元
（2）每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利最多
23．（7分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
24．（8分）某中学为了提高学生对航天的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完整的统计图表．
请根据图表信息解答以下问题：
(1)本次调查随机抽取了____名参赛学生的成绩，在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是____度；
(2)补全频数分布直方图；
(3)成绩前四名的学生中正好是两名男生和两名女生，若从这四名学生中任意选两人为该校的航天知识宣传员，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
26. （12分） 如图，直线 过x轴上一点 A(2,0)，且与抛物线 相交于B，C两点，B点的坐标为 (1,1)．
（1）求直线 的表达式及抛物线 的表达式．
（2）求点C的坐标．
（3）点P(m,y1) 在直线 上，点Q(m,y2) 在抛物线 上，若 ，直接写出m的取值范围．
（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 ，求点D的坐标．

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