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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第六章空间与图形
6.3 解直角三角形
求 三 角函数值 锐角三角函数的定义 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边. 定义具体内容正弦Rt△ABC中,∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sin A,即 余弦Rt△ABC中,∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作 cos A,即
特殊角的三角函数值 锐角A 锐角三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
解直角三角形 如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C 所对的边. 直角三角形数学语言三边之间的关系 (勾股定理)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°边角之间的关系
解直角三角形的类型及解法 已知条件 解法步骤 图示
两边 两直角边(如a，b) 由 求出∠A,∠B=90°－
斜边，一直角边(如c,a) 由 求出∠A,∠B=90°－
一边一角 一直角边和一锐角 锐角，邻边 (如∠A,b)
锐 角，对边 (如∠A,a)
锐角三角函数的实际应用 应用相关概念图示仰角、俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，所成的角叫做仰角，视线在水平线下方时，所成的角叫做俯角.坡度 (坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母表示为 坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则 tanα ，坡度越大，坡面就越陡.方向角一般是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向开始旋转，旋转到目标的方向时所成的角(一般指锐角)即为方向角，通常表达为北(南)偏东(西)××度. 【注意】特殊的方向角东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，西北方向是北偏西45°，西南方向是南偏西45°.
■考点一　锐角三角形函数
◇典例1：在中，，，的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
∵在中，，，
∴
∴．
故选A．
【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，熟记余弦的定义是解题的关键．
先根据勾股定理求出的长，再由求解即可．
◆变式训练
1.如图，在中，于点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误；
故选C．
2.如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，过点B作于点D，根据题意得，即可得出答案．
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点D，
∵，，
∴，
∴，
即点B到直线的距离是．
故答案为：B．
■考点二 特殊锐角三角函数
◇典例2：（2025·连州模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值、绝对值、二次根式、负整数指数幂的混合运算．先代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式、绝对值、的性质化简，再加减即可．
◆变式训练
1.若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
解得，
故选：D．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，当正切值为时，对应的角度为，由此建立方程求解即可．
2.若，则的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
由特殊角的三角函数值可知此时，
此时，
则的形状是钝角三角形，
故选C．
【分析】根据非负数的性质得到，再由特殊角的三角函数值求出的度数，再判断即可．
■考点三 利用网格求锐角三角函数
◇典例3：如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（ ）
A．2 B．0.5 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图：
由题知，，，，
由勾股定理，得，
．
故选：D．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；
根据勾股定理，可得的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
◆变式训练
1.如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
,
∴是直角三角形，，
∴，，，
故选：A．
【分析】根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可．此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出的长解答．
2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由网格线的特征得共线，
∵，，，
∴，
∴，
【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．
■考点四 平面直角系与锐角三角函数
◇典例1：如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　）
A． B．（8，12） C． D．（6，10）
【答案】B．
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠OBC+∠OAC＝180°，
∵∠EAC+∠OAC＝180°，
∴∠EAC＝∠OBC，
∵AC＝10，，
∴，
∴EA＝6，
∴，
∴OD＝EC＝8，
∵OB＝17，
∴BD＝9，
∵，
∴CB＝15，
∴，
∴C（8，12）．
故选：B．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，结合题意得出∠EAC＝∠OBC，继而得出EC＝OD＝8，解Rt△CDB，得出CD＝12，即可求解．
◆变式训练
1.（2025·阳春模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝　 　．
【答案】32
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴设AD=4x，则OA=5x，
∴OD==3x，
∵点A落在反比例函数上，
∴4x·3x=12，
解得：x=1（负值舍去），
∴4x=4，3x=3，
∴A（3，4），
∴OA=5x=5，
∵四边形AOCB为菱形，
∴AB=OA，
∴B（8，4），
∵点B落在反比例函数上，
∴，
故答案为：32．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由，设AD=4x，则OA=5x，OD=3x，根据点A落在反比例函数上得出x的值，代入求得OA的长，再根据菱形的性质可得出B点的坐标，进而得出结论.
2.（2025·深圳模拟）如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
连接，交于点，过点作轴，
根据对称可得，
∴，，
∴，
∵，则，
解得：，
∵，则，
解得：，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正切定义可得OB，再根据勾股定理可得AB，连接，交于点，过点作轴，根据对称可得，再根据三角形面积可得，再根据正弦定义可得，则，即，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
■考点五 解直角三角形
◇典例1：如图，在中， ，若，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中， ，，
∴，
∴设，，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可．
◆变式训练
1.如图，在中，，，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
在中，，
因为，
所以，
则．
在中，，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．
过点作的垂线，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题．
2.如图，在中，， ，，则的面积为（ ）
A．14 B．12 C．10.5 D．21
【答案】C
【解析】【解答】解：过点作于点D，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确构造直角三角形．
过点作于点D，先解，再解，求出即可．
■考点六 解直角三角形的实际应用
◇典例1：（2025·清新模拟）综合与实践：在一次“测量不可到达物体高度”的综合实践活动中，某小组选择在学校实验楼顶测量学校围墙外面的一栋高楼的高度，测量过程及相关数据如下表：
课题 测量学校围墙外面的一栋高楼的高度
工具 测角仪，秒表，实心球
示意图
操作步骤 如图，小组成员首先在教学楼的顶楼观测点A处测得校外一栋高楼的底部C处的俯角为，测得高楼的顶部D处的仰角为． 然后在观测点A处让一个实心球自由下落，重复操作10次，实心球下落时间（单位：s）分别是：1.97，2.01，2.03，2.00，2.03，1.98，1.99，2.00，2.01，1.98．
物理知识 物体自由下落的高度（单位：m）与下落时间（单位：s）的关系是
参考数据 ，，，，，
请你根据上表中的数据计算：
（1）实心球下落时间的平均值；
（2）计算校外的高楼的高度．
【答案】（1）解：，
实心球下落时间的平均值为；
（2）解：把代入，得，
即的高度为，
在中，由，得，
，
作于点M，
在中，由，得，
，
，
答：校外高楼的高度约为．
【解析】【分析】
（1）求这组数据的平均数即可得出答案；
（2）先求出的高度为，然后在中，利用正切定义得出BC的长，再在在中，利用正切定义得出DM的长，进一步即可得出CD=CM+DM=AB+DM.
◆变式训练
1.（2025·广州模拟）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：______.
（2）求此时无人机距离地面高度．
【答案】（1）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
∴，
在中，，，
，
由（1）可知，，
∴，
在中，，，
，
，
∴，
答：此时无人机距离地面的高度为．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出，，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用锐角三角函数求出AD的值，最后计算求解即可.
2.（2025·东莞模拟）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计)
（1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号）
（2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得：，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作过点E作于点H，
∴．
∵，
∴，
当时，；
当时，；
∴，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约．
【解析】【分析】
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，由三个角为90的四边形得为矩形，由矩形的性质可得，，从而得到，利用的三角函数值可得长，在计算线段的和差即为支点C离桌面l的高度，解答即可；
（2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了；解答即可．
■考点七 锐角三角函数的综合运用
◇典例1：矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点．
(1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值；
(2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值．
【答案】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
由折叠可知：，
．
∴，
在中，，
，
，
；
（2）解：如图，的延长线交于点，
四边形为矩形，
∴，
∴
∵点E为线段的中点，
∴
∵
∴
，
∵折叠
∴
∴
∴．
设，则，
则，
在中，，
即，
解得，
∴
．
【分析】（1）先根据矩形的性质得，因为折叠，得，则，
运用勾股定理得，再证明，故把数值代入进行计算，即可作答．
（2）的延长线交于点，结合矩形的性质，证明，同理得，运用勾股定理得，解得，再代入数值到，即可作答．
◆变式训练
1.（2025·河源模拟）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作半圆的切线交延长线于点，过点作于点，交半圆于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
，
．
是半圆的切线，
．
．
，
．
．
．
．
．
平分．
（2）解：在中，，
．
设，则．
．
．
解得，
．则．
，
．
在中，，
．
．
如图所示，连接，
为直径，
．
．
．
．
，即，
．
．
【解析】【分析】（1）连接，由OA=OC得出，然后由切线的性质得到，然后证明出，即可求解；
（2）根据正弦的定义得到，设，则，勾股定理求出，然后在中，解直角三角形求出，由直径所对的圆周角为直角可得于是得到进而判断即可证明出，得到，然后代值求解即可解答．
2.【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长．
【答案】（1）解：，
，
，
，
∵四边形为正方形，为对角线，
，
，
∵四边形为正方形，为对角线，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：连接交于点O，
，
，
∵在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质．
（1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可；
（2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解．
1．（2025·从化模拟）如图，在中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
先利用勾股定理求出斜边的长，再解求出的值即可．
2．（2025·深圳） 如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为(　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在△ABC中，sinA=.
故答案为：D .
【分析】直接由正弦的定义求解即可.
3．（2025·深圳模拟）如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为(　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，∠ACB=90°，∠BAC=，AB=6米，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=sina=
∴BC=6sina米.
故答案为：A .
【分析】由题意可得，∠ACB=90°，∠BAC=a， AB=6米，然后由正弦函数的定义，即可解答.
4．（2025·蓬江模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
由勾股定理，得，，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
故答案为：D．
【分析】
根据网格的特殊性可由勾股定理得AC、AB、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判定得到为直角三角形，再由正切函数的定义，计算即可解答．
6．（2025·深圳模拟）河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：堤高，迎水坡的坡比为，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据坡度的定义“坡度=铅直高度：水平距离”可得，将BC的值代入计算即可求解．
7．（2025·兴宁模拟）在中，，，， 则边的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在中， ，
∴
故答案为：B．
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数sinA=可求解．
8．（2025·深圳模拟）如图，在四边形ABCD中，，以为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接DB、DE， 设AB =m，
∴CD=3AB=3m，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙D的切线，
∵⊙D与BC相切于点E，
∴BC⊥DE， EB=AB=m， ∠CBD=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD=3m，
∴CE=CB-EB=3m-m=2m，
∵∠CED=90°，
，
故答案为：B.
【分析】连接DB、DE， 设AB=m， 由 得CD=3AB=3m， 再证明AB是⊙D的切线， 而⊙D与BC相切于点E，则BC⊥DE， 由切线长定理得EB=AB=m， ∠CBD=∠ABD， 由AB∥CD， 得∠ABD=∠CDB， 则∠CBD=∠CDB， 所以CB=CD=3m， CE=2m， 由勾股定理得 即可求得 于是得到问题的答案.
9．（2025·广州模拟）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故答案为：D．
【分析】
过A点作AN⊥DF于N，根据菱形的性质得到AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，可判断△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即可得tan∠ABE，解答即可．
10．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
【答案】0
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
11．（2025·深圳三模）如图，投影仪镜头看成一个点到投影墙的距离为，得到的像为经测量，镜头到像顶端的仰角为，到像底端的俯角为，则像的高度约为　 　结果精确到参考数据：，
【答案】
【解析】【解答】解：
如图，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=ADtan30°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=ADtan11.3°，
∴BC=ADtan30°+ADtan11.3°≈3×0.58+3×0.20≈2.3.
则像BC的高度约为2.3m
故答案为：2.3.
【分析】根据锐角三角函数，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中求出BD和CD的值，
12．（2025·清新模拟）如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD与FE交于P点．若，则PF的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=3，∠B=∠A=90°．
在Rt△BCE中，，
∵BC=3，
∴BE=1，
∴AE=AB-BE=2．
在Rt△BCE中，，
∴.
∵∠AEP=∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠AEP=∠BCE，
∴．
∵AE=2，
∴．
在Rt△AEP中，，
∴．
故答案为：．
【分析】观察图形可知：PF=EF-PE，故而可分别求出EF和PE的长。先根据求出BE，然后根据勾股定理求得CE，也就是EF的长度，再根据∠AEP=∠BCE，在Rt△AEP中，求出EP，进而得出PF的长即可。
13．（2025·四会模拟）计算：．
【答案】解：原式
【解析】【分析】根据零次幂、二次根式、绝对值的运算法则，然后再根据特殊角的正弦值，最后再将各个式子进行相加减即可求解。
14．（2025·广州模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，）
【答案】解：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴该舞狮者“采青”成功．
【解析】【分析】过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再根据正弦定义即可求出答案.
1．（2025·广州模拟）2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：，
在中，，，
∴．
故答案为：A ．
【分析】根据题意可知，在中，利用解直角三角形进行计算即可解答．
2．（2025·高州模拟）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形，
故答案为：C
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
3．（2025·荔湾模拟）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：作于点，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理求出AB、AC的长，作CD⊥AB于点D，利用割补法由△ABC所在直角梯形的面积分别减去△ABC周围两个直角三角形的面积可算出△ABC，根据三角形面积计算公式求出CD，再利用正弦函数的定义，进行求解即可．
4．（2025·深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　　）
A．40cm B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接AC，作BD⊥AC于点D，则∠ADB=90°
∵，
∴AC=2AD，∠A=30°
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接AC，作BD⊥AC于点D，则∠ADB=90°，根据等腰三角形性质可得AC=2AD，∠A=30°，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．（2025·清城模拟）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∴斜坡的坡度为；
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值，然后再根据正切函数的定义，对AB进行求解即可。
6．（2025·罗湖模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫可沿射线BE方向调节．已知，车轮半径为30cm，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到1cm，参考数据：）
A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm
【答案】A
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于点P
由题意可得：AP=30，BC=70，
∴
∴坐垫离地面高度约为：AP+CH=30+68.6=98.6≈99
故答案为：A
【分析】作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于点P，解直角三角形即可求出答案.
7．（2025·罗湖模拟）如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，设射线交于点，连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设射线交于点，连接，根据圆周角定理可得是的直径，即得，由正方形的性质可得，利用勾股定理求出GD=4，根据余角的性质可得∠DCE=∠G，可得，据此即可求解.
8．（2025·雷州模拟）计算：　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：
．
故答案为：6．
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
9．（2025·东莞模拟）5个全等的方块如图放置在中，则的值是　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：．
故答案为：1.
【分析】利用平行线的性质可知，然后求出tan∠1·的值，可得到tan∠C的值.
10．（2025·广州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用等角的同名三角函数值相等及锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
11．（2025·汕尾模拟）如图，是的内接正三角形，点D在弧上，则的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵是的内接正三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由圆周角定理得到，最后利用特殊角的三角函数值进行求解即可.
12．（2025·惠城模拟）计算：
【答案】解∶

【解析】【分析】本题主要对二次根式化简，特殊三角函数值，绝对值以及负指数幂的运算进行考查，先对各部分进行化简，，再进行求和原式．
13．（2025·广州模拟）【综合与实践】
要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
课题 测量学校旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点为镜子，眼睛看到镜子中的旗杆顶端． 先测量观测台的高，再在观测点处测得旗杆顶端点的仰角，旗杆底端点的俯角．（其中于） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端在同一直线上．
测量数据 ，． ，，． ，，．
（1）根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第______小组和第______小组；
（2）请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度．
【答案】（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，
理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，
第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：一，三；
（2）解：选择第二小组的方案，由题意得：
，，，，
在中，，，，
∴，
在中，，，
，
∴，
答：学校旗杆的高度为．
【解析】【解答】解：（1）第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，
理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，
第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：一，三；
【分析】
（1）根据相似三角形的性质得到，但第一小组没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度；根据相似三角形的性质得到，但第三组没有测量线段或的长度所以第三小组的数据无法算出大楼高度；逐一判断即可解答；
（2）对方案二，解直角三角形利用正切的值先求出，根据进而求出，即可求出，解答即可．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第六章空间与图形
6.3 解直角三角形
求 三 角函数值 锐角三角函数的定义 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边. 定义具体内容正弦Rt△ABC中,∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sin A,即 余弦Rt△ABC中,∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作 cos A,即
特殊角的三角函数值 锐角A 锐角三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
解直角三角形 如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C 所对的边. 直角三角形数学语言三边之间的关系 (勾股定理)两锐角之间的关系 边角之间的关系
解直角三角形的类型及解法 已知条件 解法步骤 图示
两边 两直角边(如a，b) 由 求出∠A,∠B=90°－
斜边，一直角边(如c,a) 由 求出∠A,∠B=90°－
一边一角 一直角边和一锐角 锐角，邻边 (如∠A,b)
锐 角，对边 (如∠A,a)
锐角三角函数的实际应用 应用相关概念图示仰角、俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 时，所成的角叫做仰角，视线在水平线 时，所 成的角叫做俯角.坡度 (坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母表示为 坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则 tan α ，坡度越大，坡面就越陡.方向角一般是以观测者的位置为中心，将 或 方向作为起始方向开始旋转，旋转到目标的方向时所成的角(一般指锐角)即为方向角，通常表达为北(南)偏东(西)××度. 【注意】特殊的方向角东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，西北方向是北偏西45°，西南方向是南偏西45°.
■考点一　锐角三角形函数
◇典例1：在中，，，的值为（ ）．
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在中，于点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（ ）
A．5 B． C．3 D．
■考点二 特殊锐角三角函数
◇典例2：（2025·连州模拟）计算：．
◆变式训练
1.若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.若，则的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
■考点三 利用网格求锐角三角函数
◇典例3：如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（ ）
A．2 B．0.5 C． D．
◆变式训练
1.如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　）
A． B． C． D．
■考点四 平面直角系与锐角三角函数
◇典例1：如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　）
A． B．（8，12） C． D．（6，10）
◆变式训练
1.（2025·阳春模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝　 　．
2.（2025·深圳模拟）如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则　 　．
■考点五 解直角三角形
◇典例1：如图，在中， ，若，则的值为( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在中，，，，则 ．
2.如图，在中，， ，，则的面积为（ ）
A．14 B．12 C．10.5 D．21
■考点六 解直角三角形的实际应用
◇典例1：（2025·清新模拟）综合与实践：在一次“测量不可到达物体高度”的综合实践活动中，某小组选择在学校实验楼顶测量学校围墙外面的一栋高楼的高度，测量过程及相关数据如下表：
课题 测量学校围墙外面的一栋高楼的高度
工具 测角仪，秒表，实心球
示意图
操作步骤 如图，小组成员首先在教学楼的顶楼观测点A处测得校外一栋高楼的底部C处的俯角为，测得高楼的顶部D处的仰角为． 然后在观测点A处让一个实心球自由下落，重复操作10次，实心球下落时间（单位：s）分别是：1.97，2.01，2.03，2.00，2.03，1.98，1.99，2.00，2.01，1.98．
物理知识 物体自由下落的高度（单位：m）与下落时间（单位：s）的关系是
参考数据 ，，，，，
请你根据上表中的数据计算：
（1）实心球下落时间的平均值；
（2）计算校外的高楼的高度．
◆变式训练
1.（2025·广州模拟）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：______.
（2）求此时无人机距离地面高度．
2.（2025·东莞模拟）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计)
（1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号）
（2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，）
■考点七 锐角三角函数的综合运用
◇典例1：矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点．
(1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值；
(2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值．
◆变式训练
1.（2025·河源模拟）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作半圆的切线交延长线于点，过点作于点，交半圆于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
2.【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________；
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长．
1．（2025·从化模拟）如图，在中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·深圳） 如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为(　　）
A． B．3 C． D．
3．（2025·深圳模拟）如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为(　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2025·蓬江模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2025·深圳模拟）河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·兴宁模拟）在中，，，， 则边的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图，在四边形ABCD中，，以为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·广州模拟）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
10．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
11．（2025·深圳三模）如图，投影仪镜头看成一个点到投影墙的距离为，得到的像为经测量，镜头到像顶端的仰角为，到像底端的俯角为，则像的高度约为　 　结果精确到参考数据：，
12．（2025·清新模拟）如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD与FE交于P点．若，则PF的值为　 　．
13．（2025·四会模拟）计算：．
14．（2025·广州模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，）
1．（2025·广州模拟）2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
2．（2025·高州模拟）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
3．（2025·荔湾模拟）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都是格点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　　）
A．40cm B． C． D．
5．（2025·清城模拟）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·罗湖模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫可沿射线BE方向调节．已知，车轮半径为30cm，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到1cm，参考数据：）
A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm
7．（2025·罗湖模拟）如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·雷州模拟）计算：　 　．
9．（2025·东莞模拟）5个全等的方块如图放置在中，则的值是　 　．
10．（2025·广州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为　 　．
11．（2025·汕尾模拟）如图，是的内接正三角形，点D在弧上，则的值是　 　．
（2025·惠城模拟）计算：
13．（2025·广州模拟）【综合与实践】
要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
课题 测量学校旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点为镜子，眼睛看到镜子中的旗杆顶端． 先测量观测台的高，再在观测点处测得旗杆顶端点的仰角，旗杆底端点的俯角．（其中于） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端在同一直线上．
测量数据 ，． ，，． ，，．
（1）根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第______小组和第______小组；
（2）请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度．
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