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第6章　一次方程组
课题　简单的三元一次方程组及其解法
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1．二元一次方程组的概念是什么？
由两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
2．解二元一次方程组的方法有哪些？
消元法
代入消元法
加减消元法
探究新知
知识模块一　简单的三元一次方程组及其解法
自主探究
在 6.1 节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与负的场数。
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
胜了 10 ÷ 2 = 5（场）
方法一
平了 18 － 5×3 = 3（场）
负了 10－5－3 = 2（场）
胜一场：3 分
平一场：1 分
负一场：0 分
方法二
设胜了 x 场，平了 y 场，则负了（x － y）场.
依题意，得
x + y +（x － y）= 10，
3x + y = 18.
解得
x = 5，
y = 3.
所以胜了 5 场，平了 3 场，负了 2 场.
如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z，又将怎样呢？
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
x + y + z = 10， ①
3x + y = 18. ②
x = y + z. ③
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
归纳
在这个方程组中，x+y+z=10 和 x=y+z 都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做三元一次方程.
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
x + y + z = 10， ①
3x + y = 18. ②
x = y + z. ③
将③代入①和②，得到
2y + 2z = 10， ④
4y + 3z = 18. ⑤
解得
y = 3，
z = 2.
将 y = 3，z = 2 代入方程③，可以得到 x = 5.
x = 5，
y = 3，
z = 2 .
所以这个三元一次方程组的解是
合作探究
例1：下列是三元一次方程组的是(　　)
A． B．
C． D．
D
例2：解下列三元一次方程组．
把④分别代入方程①和③，得
整理，得
解得
代入④，得z＝7－3×1＋2×(－3)＝－2.
所以原方程组的解是
解：由方程②，得z＝7－3x＋2y，④
归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
知识模块二　三元一次方程组的简单应用
合作探究
例3：某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用？
解：设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，z公顷种蔬菜．
根据题意，得
解得
答：安排15公顷种水稻，20公顷种棉花，16公顷种蔬菜．
课堂小结
三元一次方程组
定义
含未知数的项的次数都是 1
含有 3 个未知数
解答思路
化“三元”为“二元”
一共有三个方程
随堂检测
1. 解方程组
则 x＝_____，y＝______，z＝_______.
【解析】通过观察未知数的系数，可采取 ① +② 求出 y， ②+ ③ 求出 z，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可.
6
8
3
2. 若 x＋2y＋3z ＝ 10，4x＋3y＋2z ＝ 15，则 x＋y＋z 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z = 25，所以 x+y+z = 5.
D
3. 解下列方程组：
（1）
解 由方程① ，得 y = 6－x －z . ④
将④分别代入②和③ ，得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得 y = 6－3－2 =1 .
所以原方程组的解是
（2）
解 由方程②，得 y = －11 + 5z . ④
将④分别代入方程①和③，得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得 y = – 11 + 5×2 = – 1 .
所以原方程组的解是

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