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第8章　三角形
课题　三角形的内角和
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旧知回顾
1．什么叫三角形？
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.
A
B
C
2．什么叫三角形的外角？三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系？
那三角形的内角和等于多少？
在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角戏的内角；
三角形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫三角戏的外角.
探究新知
知识模块一　三角形的内角和
自主探究
将三角形纸片分别按特殊的方法进行剪拼、折叠等操作，你能发现什么？
观察
剪拼法
可以将其中两角剪下并移至另一顶点处拼接成一个角.
折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
2
1
2
2
3
3
钝角三角形
1
1
1
3
3
锐角三角形
1
1
2
2
3
3
直角三角形
2
折叠法
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示△ABC 的三个内角，证明∠1 +∠2 +∠3 = 180°.
A
B
C
1
2
3
你还有其他方法吗？
A
B
C
1
2
3
解：如图，延长 BC 至点 E，以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠2，
E
D
∵CD // BA，
∴∠1 =∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°，
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180°（等量代换）.
则 CD// BA（同位角相等，两直线平行）.
A
B
C
1
2
3
∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）.
证明：过点 A 作直线 l ，使 l ∥BC.
∵ l ∥BC ，
∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等）.
4
5
　 通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
借助平行线的“移角”功能，将三个角转化成一个平角.
思考
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
A
B
C
在△ABC 中，
∠A +∠B +∠C = 180°
几何语言：
合作探究
例1：在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数是(　 　)
A．45° B．60°
C．75° D．90°
C
例2：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，求∠C的度数．
解：(180°－20°)÷(4＋1)＝32°.
答：∠C的度数是32°.
知识模块二　直角三角形的两个锐角互余
自主探究
A
C
B
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC .
直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边。
直角边
直角边
斜边
如图，在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，∠A 与∠B 有什么关系？
A
C
B
∠A +∠B +∠C = 180°.
由三角形的内角和等于180°，得
直角三角形的两个锐角互余.
思考
又∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°– 90°= 90°.
A
C
B
直角三角形的两个锐角互余。
如图，在Rt△ABC中，
几何语言：
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°
合作探究
例3：在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，那么△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
D
例4：已知AD是△ABC的高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为____________．
解题思路：在例4中，分类考虑AD在△ABC内部和外部两种情况．
80°或40°
解：∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE，∠C＝90°，
例5：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠D.求∠E的度数．
且∠A＋∠ABC＋∠C＝∠D＋∠DBE＋∠E＝180°，
∴∠E＝∠C＝90°.
课堂小结
三角形的
内角和
三角形的内角和等于 180°
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
随堂检测
1. 已知 △ABC 中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝_____.
2. 直角三角形一个锐角为 70°，另一个锐角是_______.
3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B= 36°，
∠C= 76°，则∠DAC 的度数为_____.
34°
5.如图，已知△ABC中，BE、CF分别是△ABC的两条高且相交于点D.
(1)若∠A＝70°，求∠BDC的度数；
解：(1)在△ABE中，∠A＝70°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°－∠A＝20°，
∴∠BDC＝∠ABE＋∠BFD＝20°＋90°＝110°；
(2)若∠BDC＝120°，求∠A的度数．
(2)∵∠BDC＝120°，∠BFD＝90°，∠BDC＝∠FBE＋∠BFD，
∴∠FBE＝30°.
在△ABE中，∠A＝180°－90°－30°＝60°.

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