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第8章　三角形
课题　三角形的外角及外角和
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1．一个三角形有几个内角？三角形的内角和是多少？
一个三角形有3个内角。
三角形的内角和是180°。
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个　　　　B．2个　　　　
C．3个　　　　D．4个
B
探究新知
知识模块一　三角形的外角性质
自主探究
如图，在△ABC中，外角∠DBC的两个不相邻的内角是______和______．并在图中标出相邻内角和不相邻内角．
A
B
C
D
外角
不相邻的内角
相邻的内角
∠A
∠C
A
B
C
D
外角 + 相邻的内角 = 180°
外角
不相邻的内角
相邻的内角
外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
A
B
C
D
外角
依据三角形的内角和等于180°，我们有
∠ACB +∠BAC +∠ABC = 180°
∠CBD +∠ABC = 180°
由上面两个式子，可以推出
∠ACB +∠BAC = 180°–∠ABC
∠CBD = 180°–∠ABC
因而可以得到外角∠CBD 与两个不相邻的内角之间的关系：
∠CBD = ∠ACB +∠BAC
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的外角
A
B
C
D
外角
∠CBD = ∠C +∠A
外角
不相邻内角
相互转化
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
A
B
C
D
外角
∠CBD ______∠C
∠CBD ______∠A
判断：
∠CBD = ∠C +∠A
＞
＞
合作探究
例1：如图，已知∠C＝40°，那么∠A＋∠B＋∠CDE＋∠DEC的度数为_______.
280°
例2：已知BCD，CAE，AFB是直线，试比较∠1与∠2的大小．
解：∵BCD是直线(已知)，
∴∠2是△ABC的外角(外角的定义).
∴∠2＞∠BAC(三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角).
∵EAC，AFB是直线(已知)，
∴∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC＞∠1，
∴∠2＞∠1，即∠2比∠1大．
归纳
三角形的外角有两条性质：
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
知识模块二　三角形的外角和等于360°
自主探究
1
2
3
C
B
A
①观察图形，形成了几个外角？
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角，它们是一对对顶角.
求：∠1 +∠2 +∠3 =？
②如何求三角形的外角和？
∠1 +_______ = 180°，
∠2 +_______ = 180°，
∠3 +_______ = 180°.
∠ACB
∠BAC
∠ABC
三式相加，可以得到
∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____，
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540°
而
1
2
3
C
B
A
做一做
在右图中，有：
①
②
∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°
将①与②相比较，你能得出什么结论？
∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____，
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540°
①
②
∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°
∠1 +∠2 +∠3 = 360°
由此可知：
三角形的外角和等于 360°.
思考：还有其它的方法说明这一结论吗？
1
2
3
C
B
A
解：过点 A 作 AD∥BC，
1
2
3
C
B
A
D
E
∴∠1 = ∠EAD，∠3 = ∠BAD
（ ）.
又∵∠2 +∠BAD +∠EAD = 360°，
∴ ∠1 +∠2 +∠3 = 360°.
两直线平行，同位角相等
∴ △ABC 的外角和等于360°.
如图，试说明△ABC的外角和等于360°.
合作探究
例3：如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C的的度数为(　　)
A．40°　　　　B．60°　　　　
C．80°　　　　D．100°
C
例4：如图，已知△ABC中，BE、CF分别是△ABC的两条高且相交于点D.
(1)若∠A＝70°，求∠BDC的度数；
解：(1)在△ABE中，∠A＝70°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°－∠A＝20°，
∴∠BDC＝∠ABE＋∠BFD＝20°＋90°＝110°；
(2)若∠BDC＝120°，求∠A的度数．
(2)∵∠BDC＝120°，∠BFD＝90°，∠BDC＝∠FBE＋∠BFD，
∴∠FBE＝30°.
在△ABE中，∠A＝180°－90°－30°＝60°.
课堂小结
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
三角形的外角和等于 360°
随堂检测
1. 说出下列各图中∠1 的度数.
30°
60°
1
①
45°
50°
1
②
35°
120°
1
③
∠1 = 90°
∠1 = 95°
∠1 = 85°
2. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠BCD = 35°.
（1）求∠EBC 的度数；
（2）求∠A 的度数.
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.
C
B
D
E
A
C
B
D
E
A
解：(1)∵ CD⊥AD（已知），
∴∠CDB = ________.
∵∠EBC = ∠CDB +∠BCD
（________________________
_________________________），
∴∠EBC =_______+ 35°=_______
（等量代换）.
90°
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
90°
125°
C
B
D
E
A
(2)∵ ∠EBC =∠A +∠ACB
（________________________
__________________________），
∴∠A =∠EBC –∠ACB（等式的性质）.
∵∠ACB = 90°（已知），
∴∠A =_______– 90°=_______
（等量代换）.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
125°
35°
你还能用其
他方法解决这一问题吗？
3.如图，AB//CD，∠ABD与∠BDC的平分线相交于点E，求∠BED的度数.
A
B
C
D
E
解：因为AB//CD，
所以∠ABD+∠BDC=180°，
因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
所以∠EBD= ∠ABD ，∠BDE=∠BDC，
所以∠EBD+ ∠BDE=90°，
在△BED中， ∠EBD+ ∠BDE+∠E=180°，
所以∠BED= 180°－ 90°=90°.
A
B
C
D
E

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