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第8章　三角形
课题　多边形的外角和
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旧知回顾
一般地，由 n 条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们通常所说的多边形.
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫做正多边形.
什么叫多边形？
n边形的内角和是多少？
n 边形的内角和等于(n – 2)·180°（n 3，n为正整数）
探究新知
知识模块一 多边形的外角和
自主探究
问题 如图，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
1. 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
2. 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
互补
900°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
= 360 °
= 5 个平角和－五边形内角和
= 5×180°－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
3. 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
与 n 边形的每个内角相邻的外角分别有两个， 这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为 n 边形的外角和．
n 边形外角和
=360 °
= n 个平角和-n 边形内角和
= n×180 °－(n－2) × 180°
E
B
C
D
1
2
3
4
n
A
任意多边形的外角和等于 360°.
多边形外角和公式：
合作探究
例1：如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数是________．
360°
例2：已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是____．
10
知识模块二 多边形内角和与外角和综合运用
自主探究
思考 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？
分析：设多边形是n变形，则其内角和是(n－2)·180°，外角和是360°，建立等量关系，列方程求得n值．
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)·180°＝5×360°，
解得n＝12.
因此，这个多边形是十二边形．
合作探究
例3：一个多边形的内角和与外角和的比是7∶2，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)180°∶360°＝7∶2，解得n＝9.
因此，这个多边形的边数为9.
例4：如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和．
解：设多边形的一个外角为x°，则一个内角为(x＋36)°.
根据题意，得x＋x＋36＝180，
解得x＝72.
360°÷72°＝5，(5－2)×180°＝540°.
因此，这个多边形是五边形，内角和是540°.
课堂小结
多边形
多边形的内角和
多边形的外角和
多边形的外角和等于______
360°
多边形的内角和等于
________________
(n - 2)×180°
随堂检测
1. 一个多边形的每一个外角都等于 45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
解：360°÷45°= 8，
180°– 45°= 135°.
因此，这个多边形是八边形，它的每一个内角是 135°.
2. 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
解：根据多边形的外角和可知，
多边形的外角最多可以有 3 个钝角，
所以多边形的内角最多可以有 3 个锐角.
3. 如图，用 n 个完全相同的正五边形进行拼接，使相邻的两个正五边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正 n 边形，则 n 的值等于______.
10
4. 将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则∠1 +∠2 +∠3 =______.
102°
1
3
2

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