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第8章　三角形
课题　用正多边形铺设地面
——用相同的正多边形
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1.多边形的内角和公式是______________________
___________,任意外角和等于______。
2.在平面内，____相等、____也都相等的多边形叫做正多边形.
(n – 2)·180°（n 3，n
为正整数）
360°
边
角
探究新知
知识模块一　用相同的正多边形铺设地面
自主探究
生活中常常用瓷砖严丝合缝、不留空隙地铺满墙面或地面. 从数学的角度看，就是用几何图形不留空隙、不重叠地铺满平面的一部分，这就是平面图形的镶嵌.
探索
使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既不留下一丝空白，又不互相重叠呢？
与正多边形的内角大小有关
请根据下图，完成表格.
正多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
正多边形的内角和 …
正多边形每个内角的大小 …
180°
60°
360°
90°
540°
108°
720°
120°
900°
128.6°
(n – 2)×180°
60°×6 = 360°
正三角形
60°
60°
60°
60°
60°
60°
正四边形
90°
90°
90°
90°
90°×4 = 360°
正六边形
120°
120°
120°
120°×3 = 360°
从正三角形、正方形、正五边形、正六边形···中选用其中一种镶嵌，哪几种正多边形能够进行平面镶嵌？
正五边形
108°
108°
108°
108°×3 = 324°
正八边形
135°
135°
135°
135°×3 = 405°
归纳
使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就可以铺满地面.
如果用 x 表示正多边形的一个内角的度数，a 表示正多边形的个数，那么上面的结论可表示为：
ax = 360°
合作探究
例1：如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是(　　)
A．正三角形 B．正四边形
C．正六边形 D．正八边形
D
例2：有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙，不重叠地铺设的地砖有 ．(只填写序号)
①②④
例3：如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2 025个这样的三角形构成的图形的周长是 .
2 027
知识模块二　不能单独用相同的正多边形铺设地面
自主探究
如图，将图中相邻两行正三角形分开，添一行正方形.
60°
90°
90°
60°
60°
它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满地面.
正三角形、正方形、正六边形两两结合是否都能铺满地面呢？所选正多边形的内角度数与个数有怎样的数量关系？
正三角形和正六边形：
60°
120°
60°
120°
或
···
正方形和正六边形可以结合吗？
把正三角形、正方形、正六边形三者结合在一起呢？请你试试看.
你还能想到别的拼法吗？
90°
90°
120°
60°
说说下面这些图形是用那些正多边形拼成的？
正十二边形
正三角形
正十二边形
正方形
正六边形
正八边形
正方形
150°
150°
60°
150°
120°
60°
135°
135°
90°
60°
90°
90°
60°
60°
60°
120°
60°
120°
90°
90°
120°
60°
你发现了什么？
150°
150°
60°
150°
120°
60°
135°
135°
90°
150°
120°
60°
正十二边形的一个内角：
正方形的一个内角：
正六边形的一个内角：
= 150°
= 90°
= 120°
和为360°，即一个周角
各个正多边形围绕一点拼在一起的几个内角的和为 360°.
多种正多边形组合起来能铺满地面的条件：
设每一个公共顶点不同的正多边形分别有 m 个、n 个、···，正多边形的一个内角度数分别为 α、β、···，若几种正多边形组合起来能铺板地面，则：
mα + nβ + ··· = 360°
合作探究
例4：为什么用相同的正五边形不能铺满地面？
解：∵正五边形的每个内角是180°－＝108°，360°除以108°不能得到整数，
∴用相同的正五边形不能铺满地面．
例5：小明的爸爸在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好．但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是( )
A．正三角形　　　　 B．正方形
C．正八边形 D．正六边形
C
课堂小结
用一种或多种正多边形铺设地面，能将地面铺满的条件：
围绕一点拼一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(360°).
随堂检测
1．只用下列正多边形，能铺满地面的是（ ）
A.正五边形 B.正八边形
C.正六边形 D.正十边形
C
2．只用下列正多边形，不能铺满地面的是（ ）
A.正方形 B.等边三角形
C.正十一边形 D.正六边形
C
3．用正六边形的瓷砖铺满地面时，（ ）个正六边形围绕一点拼在一起。
A.3 B.4
C.5 D.6
A
4.填空题：
在一个顶点处，正n边形的内角之和为_______时，此正n边形可铺满整个地面，没有空隙。
360°
5.判断题：
任意一种正多边形都能铺满地面．（　）
任意一种等腰三角形都能铺满地面．（　）
任意一种梯形都能铺满地面．（　）
只要多边形的各边相等，就一定能铺满地面．（　）
×
√
√
×

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