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第8章　三角形
课题　用多种正多边形铺设地面
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用一种正多边形铺地面，可以铺满平面的只有正三角形、正方形和正六边形三种.
三块
四块
六块
60°×6 = 360°
120°×3 = 360°
90°×4 = 360°
探究新知
知识模块一　用两种正多边形组合铺设地面
自主探究
问题 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任取两种进行组合是否能铺满地面呢？
正方形、正三角形
90°+90°+60°+60°+60°=360°
2×90°+3×60°=360°
正六边形、正三角形
120°+120°+60°+60°=360°
2×120°+2×60°=360°
正十二边形、正三角形
150°+150°+60°=360°
2×150°+1×60°=360°
正八边形、正方形
135°+135°+90°=360°
2×120°+2×60°=360°
正五边形、正十边形
围绕一点能拼成 360 ，但能扩展到整个平面，即铺满地面吗？
144°+108°+108°=360°
1×144°+2×108°=360°
尽管能围绕一点拼成 360 ，但不能扩展到整个平面.
归纳
用两种正多边形铺满地面的条件：必须使边长相等且xα＋yβ＝360°(其中α，β分别表示这两种正多边形每个内角的度数，x，y分别表示这两种正多边形的个数)有正整数解．
注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面.如：正五边形与正十边形的组合.
自主探究
例1：边长相等的多边形的组合中，能够铺满地面的是(　　)
A．正六边形与正方形　　B．正八边形与正方形
C．正五边形与正八边形 D．正五边形与正六边形
B
例2：在用边长相等的正三角形和正六边形的地砖拼地板时，在每个顶点周围有a块正三角形的地砖和b块正六边形的地砖(ab≠0)，求a＋b的值．
解：正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个内角为120°.
根据题意，得60a＋120b＝360，
∴a＋2b＝6.
∵a，b为正整数，
∴a＝2，b＝2，或a＝4，b＝1.
∴a＋b＝4或5.
知识模块二　用多种正多边形组合铺设地面
自主探究
问题 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任取多种进行组合是否能铺满地面呢？
正六边形、正方形、正三角形
120°+90°+90°+60°=360°
1×120°+2×90°+1×60°=360°
正十二边形、正方形、正六边形
150°+120°+90°=360°
1×150°+1×120°+1×90°=360°
正十二边形、正方形、正三角形
150°+90°+60°+60°=360°
1×150°+1×90°+2×60°=360°
归纳
用多种正多边形铺设地面：
模型：正多边形 1 的个数×正多边形 1 的内角度数 +正多边形 2的个数×正多边形 2 的内角度数 + … + 正多边形 n的个数×正多边形 n 的内角度数 = 360
关键：围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为 360 .
合作探究
例3：现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能密铺地面，则第三种正多边形是(　　)
A．正十二边形　 B．正十三边形
C．正十四边形 D．正十五边形
D
例4：用三种正多边形铺设地面，其中的两种是正方形和正五边形，则第三种正多边形的边数是( )
A．12　　　　　　　B．15　　　　　　　
C．18　　　　　　　D．20
D
课堂小结
围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为 360 .
多种正多边形拼成平面条件
随堂检测
1. 现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若选
择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A. 正七边形 B. 正五边形
C. 正六边形 D. 正八边形
D
2. 用正三角形和正六边形铺成平面，共有不同的拼法是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B

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