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(共18张PPT)
1.证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力；（重点）（难点）
2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
复
习
回
顾
1.什么是点到直线的距离？
O
P
l
从直线外一点，作直线的垂线，垂线段的长度为点到直线的距离.
2.什么是角平分线？
3.角平分线上的点有什么性质？
复
习
回
顾
你能尝试证明这一性质吗？
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
知识点 角平分线的性质与判定
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.
求证：PD=PE.
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E
D
C
P
O
B
A
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS）.
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
想一想
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上.
角平分线是一条射线，在角的外部也有到角两边距离相等的点，但不在这个角的角平分线上.所以是假命题.
这个命题应怎样改，才是真命题呢？请你修改一下，并证明.
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
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1
E
D
P
O
B
A
已知：如图，点 P 为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，
∴∠ODP=∠OEP=90°．
∴PD=PE，OP=OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）．
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．
∴OP平分∠AOB．
如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE = AD= ×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
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知识拓展
角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中都提到了“距离相等”，你认为这两个“距离”含义相同吗？
不相同.
线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离；
而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离.
知识拓展
角平分线的画法（尺规作图）：
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使OC平分∠AOB.
O
A
B
作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径作弧分别交OA，OB于点D，E；
A
D
E
（2）分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，交于点C；
1
2
C
（3）作射线OC.
OC就是∠AOB的角平分线.
总结归纳
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
1. 如下图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4 ，则AC的长是 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
A
2. 如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
解：互相垂直.理由如下：
∵AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAE= ∠CAF.
∴∠CAD+∠CAE= ∠BAC+ ∠CAF= （∠BAC+∠CAF）= ×180°=90°.
即∠DAE=90°.∴AD⊥AE.
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3.如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置(比例尺1 ∶20 000).
解：把公路、铁路看成两条相交直线，相交点为O，作其夹角（A区所在角）的角平分线OB，再OB上截取OC=2.5 cm，C点即为所求目标.
1.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.正确的是 （ ）
A.①和② B.②和③　
C.①和③ D.全对
A
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，则下面四个结论：①若AD⊥BC，则EM＝EN；②若EM＝EN，则∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，则AM＝AN； ④若EM＝EN，则∠AEM＝∠AEN.其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
3. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点F，E，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG，DF=EG，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，
∴PD=PE.
∵P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

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