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第7章 一元一次不等式与不等式组
课题：不等式及其解集
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
问题1：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续下去了，这是什么原因呢？
因为重量不同；
解：x＞50.
问题2：一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50 km，要在12：00以前驶过A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x km，能用一个式子表示吗？
探究新知
不等式的概念
(1) a 与 b 的差是负数. ____________
(2) x 的 5 倍与 1 的差大于 x 的 3 倍. __________
(3) 2x 与 3 的和不大于5. __________
问题1 用适当的式子表示下列关系：
a – b < 0
5x – 1 > 3x
2x + 3 ≤ 5
不大于，即小于或等于，用“≤”表示；不小于，即大于或等于，用“≥”表示.
问题2 闪电的温度大约是28 000℃，比太阳表面的温度的4.5倍还要高. 设太阳表面温度为t ℃，那么 t 应满足的关系式是_________________.
4.5 t < 28 000
问题3 某种药品每片 0.25 g，说明书上写着：“每日用量0.75 ~ 2.25 g(包括0.75 g和2.25 g)，分 3 次服用”. 设某人一次服用 x 片，那么 x 应满足的关系式是________________________.
0.75 ≤ 0.25x ×3 ≤ 2.25
a – b < 0
5x – 1 > 3x
4.5 t < 28 000
2x + 3 ≤ 5
0.75 ≤ 0.25x ×3 ≤ 2.25
用不等号（＞、≥、＜、≤ 或 ≠ ）表示不等关系的式子叫作不等式.
特别提醒: 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换.
归纳总结
范例1.下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数为 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．1
B
仿例1.下列按要求列出的不等式不正确的是____．(填序号)
①x的3倍与1的差不小于2，3x－1≥2；
②x与4的和至少是x的3倍，x＋4＞3x；
③x的不大于x的，x≤x；
④a的倍与4的和最多是3，a＋4≤3.
②
仿例2.根据下列数量关系，列出不等式：
(1)x与2的和是负数；
(2)m与1的相反数的和是非负数；
(3)a与－2的差不大于它的3倍；
(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍．
解：(1)x＋2＜0；(2)m－1≥0；
(3)a＋2≤3a；(4)a2＋b2≥2ab.
练习
1.下列式子：① -2 > 0；② 4x + y < 1；③ x + 3 = 0 ；④ y – 7 ；⑤ m - 2.5 ≤ 3 ；⑥ x ≠ -3.其中是不等式的有
( )
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
C
① a 与 5 的和小于 7② a 的 4 倍大于 8；
③ a 的一半小于3.
2.用不等式表示下列数量关系.
① a + 5 < 7；
② 4a > 8；
③ a < 3.
列不等式的基本步骤:
① 认真审题，找出问题中要对比的量，并能用代数式表示出来；
② 找出问题中表示不等关系的关键词，并用不等号将具有不等关系的量连接起来.
知识延伸
基本语言 符号表示
a 是正数
a 是非负数
a 大于b
a 不小于b
a、b 同号
常用的不等式基本语言与符号表示:
a > 0
a ≥ 0
a > b
a ≥ b
ab > 0 (或 )
基本语言 符号表示
a 是负数
a 是非正数
a 小于b
a 不大于b
a、b 异号
a < 0
a ≤ 0
a < b
a ≤ b
ab < 0 (或 )
不等式的解与解集
观察下面的不等式，说说你的发现.
1 < 2
-3 > -4
5x – 1 > 3x
2x + 3 ≤ 5
t – 2 ≥ 3t - 1
6 > -6
不含未知数：
含有未知数：
1 < 2
-3 > -4
6 > -6
5x – 1 > 3x
2x + 3 ≤ 5
t – 2 ≥ 3t - 1
不等式中可以含未知数也可以不含未知数.
2x + 3 ≤ 5
x取值 2x+3的值
0
2x + 3 = 2×0 + 3 = 3
< 5
1
2x + 3 = 2×1 + 3 = 5
= 5
2
2x + 3 = 2×2 + 3 = 7
> 5
当 x 取某些值(如 0，1)时，不等式 2x + 3 ≤ 5 成立.
当 x 取另外一些值(如 2)时，不等式 2x + 3 ≤ 5 不成立.
思考
1.判断下列给出的数中哪些能使2x + 3 ≤ 5 成立：
-1，0.5，1.5，-2
当x = -1 时
2x + 3 = 2×(-1) +3 = 1 <5
成立
当x = 0.5时
2x + 3 = 2×0.5 +3 = 4 <5
成立
当x = 1.5时
2x + 3 = 2×1.5 +3 = 6 > 5
不成立
当x = -2时
2x + 3 = 2×(-2) +3 = -1 <5
成立
2.你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？找出后在数轴上标出来，你有什么发现？
x取值 2x + 3 的值
-0.5
2x + 3 = 2×(-0.5) + 3 = 2
< 5
-2.5
2x + 3 = 2×(-2.5) + 3 = -2
< 5
-3
2x + 3 = 2×(-3) + 3 = -3
< 5
-4
-5
2x + 3 = 2×(-4) + 3 = -5
< 5
2x + 3 = 2×(-5) + 3 = -7
< 5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-0.5
-2.5
-3
-4
-5
所有的数都不大于1
什么叫不等式的解？什么叫不等式的解集？
一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解．所有这些解的全体称为这个不等式的解集．
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
不等式的解 不等式的解集
区 别 定义
特点
形式
联 系 使不等式成立的未知数的值
使不等式成立的所有未知数的值
个体
全体
如：7是x+1>5的一个解
如：x > 4是 x+1>5 的解集
所有的解组成解集，解集包含所有的解
探究 用数轴表示不等式的解集
如何在数轴上表示出不等式 2x + 3 ≤ 5的解集 x ≤ 1？
首先在数轴上标出表示1的点A
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
A
画数轴
1
定边界
2
定方向
3
由于数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，所以图中阴影部分即为不等式的解集.
实心圆表示解集包括1
若解集不包括1则表示为空心圆
范例2.下列说法正确的是 ( )
A．y＝3是不等式y＋4＜5的解　　　　
B．y＝2是不等式2y＜7的解集
C．不等式2x＜6的解集是x＝3
D．y＝2是不等式3y≥6的一个解
D
仿例1.在－2，－1，0，1，1.5，2这6个数中，是不等式5－x＞4的解的有 ( )
A．5个　　　B．4个　　　C．3个　　　D．2个
仿例2. (1)如图①，在数轴上表示的x的解集为______；
(2)如图②，在数轴上表示的x的解集为_________．
图①
图②
C
x＞2
x≥－2
仿例3.在数轴上表示下列不等式的解集：
①x＞5；②x≤－2；③x≥－1；④x＜6；⑤－1＜x≤4.
解：①
②
①x＞5；②x≤－2；③x≥－1；④x＜6；⑤－1＜x≤4.
③
④
⑤
练习
1. 用含 x 的不等式表示下图数轴中所表示的不等式的解集：
-1
0
1
2
3
4
5
(1)
-1
0
1
2
3
4
(2)
(1) x > 0
解：
(2) x ≤ 3
课堂小结
用不等号（＞、≥、＜、≤ 或 ≠ ）表示不等关系的式子叫作不等式.
一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. 所有这些解的全体称为这个不等式的解集.
不等式的解集表示方法：代数形式表示、数轴表示

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