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第8章 整式乘法与因式分解
课题：积的乘方
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．同底数幂的乘法法则是什么？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
即am·an＝am＋n(m，n都是正整数).
2．幂的乘方法则是什么？
幂的乘方，底数不变，指数相乘，
即(am)n＝amn(m，n都是正整数).
怎样计算 (ab)2，(ab)3，(ab)4 ？
(ab)2 = (ab) · (ab) = (aa) · (bb) = a2b2；
(ab)3 = ______________=____________= ______；
(ab)4 = __________________=______________= _____；
(ab) · (ab) ·(ab)
(aaa) · (bbb)
a3b3
(ab) · (ab) ·(ab) ·(ab)
(aaaa) · (bbbb)
a4b4
3．计算．
(1)(－a2)3·(－a4)2；　　　　(2)a·a2(－a)3＋a2·a(－a)3.
解：原式＝－a6·a8
＝－a14；
解：原式＝－a6－a6
＝－2a6.
(ab)n =
一般地，如果 n 是正整数，那么
ab · ab · … · ab
n 个 ab
= ( a · a · … · a ) ·
n 个 a
( b · b · … · b )
n 个 b
= anbn
由此得幂的运算性质 3：
(ab)n = anbn（n 是正整数）.
积的乘方等于各因式乘方的积.
拓展：
当三个或三个以上因式的积乘方时，也具有这一性质．
(abc)n = _______
anbncn
我们知道两个整数相乘时，它们都是积的因数.
5×8 = 40.
5 和 8 是 40 的因数.
类似地，a 和 b 相乘时，a 和 b 叫作积 ab 的因数.
探究新知
积的乘方
例4 计算：
（1）(2x)4； （2）(－3ab2c3)2.
解：（1）(2x)4 = 24 · x4 = 16x4.
（2）(－3ab2c3)2 = (－3)2 · a2 · (b2)2 · (c3)2 = 9a2b4c6.
例5 球的体积公式是 V =πr3（r 为球的半径）. 已知地球半径约为 6.4 × 103 km，求地球的体积.（π 取 3.14）
因而，地球的体积约为1.1×1012 km3.
解：V= πr ≈ ×3.14×(6.4×10 )
= ×3.14×6.4 ×10
≈1.1×1012(km )
范例1.计算．
(1)(2a2b3c)4; (2)[(－2x2y)3]2.
解：原式＝(－8x6y3)2
解：原式＝16a8b12c4；
＝64x12y6.
仿例1.下列计算正确的是 (　　)
A．(mn)4＝mn4 B．(－2ab)4＝－8a4b4
C．(－3p3)3＝27p9 D．(xy3)2＝x2y6
仿例2. (1)(4x2)2·x5＝______；
(2)－(－3a2b3)4＝___________．
D
16x9
－81a8b12
练习
下面的计算是否正确？为什么？
（1）(a3b)3 = a6b3； （ ）
（2）(6xy)2 = 12x2y2； （ ）
（3）－(3x3)2 = 9x6； （ ）
（4）(－2ax2)2 =－4a2x4. （ ）
×
(a3b)3 = a9b3
(6xy)2 = 36x2y2
×
×
－(3x3)2 = －9x6
×
(－2ax2)2 = 4a2x4
积的乘方的应用
范例2.太阳可以近似地看作是球体，如果用V，R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，已知太阳的半径约为6×105 km，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)
方法指导：
将R＝6×105 km代入V＝πR3，即可求得答案 .
解：因为R＝6×105 km，
所以V＝πR3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(km3).
答：它的体积大约是8.64×1017 km3.
仿例1.已知一个正方体的棱长为4×102 mm，则这个正方体的体积为 ( )
A．12×106 mm3　　　　　　B．1.2×107 mm3
C．64×107 mm3 D．6.4×107 mm3
D
仿例2.计算：
(1)(3a2)3＋(a2)2·a2; (2)a·a3·a4＋(－a2)4＋(－2a4)2.
解：原式＝27a6＋a6,
＝28a6；
解：原式＝a8＋a8＋4a8,
＝6a8.
练习
计算：
（1）(2×103)3； （2）(－3×104)2；
（3）(3mn2)3； （4）(－2a3b2c)2 .
解：（1）(2×103)3 = 23×109 = 8×109.
（2）(－3×104)2 = (－3)2×108 = 9×108.
（3）(3mn2)3 = 33×m3×n6 = 27m3n6.
（4）(－2a3b2c)2 = (－2)2×a6×b4×c2 = 4a6b4c2.
逆用积的乘方法则简算
范例3. 计算(－3)2 024×(－)2 025.
解：原式＝[(－3)×(－)]2 024×(－)
＝－.
积的乘方法则为(ab)n＝anbn(n是正整数)，左右互换即为anbn＝(ab)n(n是正整数)，这
样得到积的乘方法则的逆用，巧
妙简算．
归纳：
仿例1. (－2)2 025×()2 024结果为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．－ C．2 D．－2
D
仿例2.计算：(1)890×()90×()180＝________；
(2)(－)3×(－0.125)2 024×(－8)2 025＝________．
1
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随堂检测
球的表面积公式为 S = 4πr2（r 为球的半径）. 已知地球
半径约为 6.4×103 km，求地球的表面积.（π取 3.14）
解：S = 4πr2
≈ 4×3.14×(6.4×103)2
= 4×3.14×6.42×106
≈ 5.14×108（km2）
答：地球的表面积约是 5.14×108 km2.
课堂小结
幂的运算性质 3：
(ab)n = anbn（n 是正整数）.
积的乘方等于各因式乘方的积.

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