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第8章 整式乘法与因式分解
课题：多项式与多项式相乘
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
单项式乘以多项式的法则是什么？
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
单项式与单项式相乘：
(2a2b3c)(－3ab)
= －6a3b4c
x(x－1) + 2x(x + 1)－3x(2x－5)
单项式与多项式相乘：
= x2－x + 2x2 + 2x－6x2 +15x
= (x2 + 2x2－6x2) + (2x －x + 15x)
= －3x2 + 16x
某地区在退耕还林期间，将一块长m m、宽a m的长方形林区的长、宽分别增加n m和b m．用两种方法表示这块林区现在的面积．
解：方法一：整体是长方形，其面积为
(m＋n)(a＋b)；
方法二：分别计算四小块面积求总和为ma＋mb＋na＋nb，两者相等，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.
探究新知
多项式与多项式相乘
问题 3 一块长方形的菜地，长为 a，宽为 m. 现将它的长增加 b，宽增加 n，求扩大后的菜地面积.
①
②
③
④
n
a
b
m
①
②
③
④
n
a
b
m
方法一：扩大后菜地的长是 a + b，宽是 m + n，所以它的面积是______________.
方法二：先算 4 块小长方形的面积，再求总面积，扩大后菜地的面积是__________________.
(a + b)(m + n)
am + bm + an + bn
(a + b)(m + n) = am + bm + an + bn
把 (a + b) 看成一个整体
(a + b)(m + n)
= (a + b)m
= am + bm + an + bn
(a + b)(m + n) =
+ bm
am
+ an
+ bn
+ (a + b)n
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
要点归纳
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
多项式与多项式的乘法法则
1
2
3
4
(a + b)(m + n)
=
am
1
2
3
4
+ an
+ bm
+ bn
多乘多顺口溜：多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完.
(1) (－2x－1)(3x－2) ；
(2) (x + a)(x + b) .
解：(1) (－2x－1)(3x－2)
= (－2x) · 3x＋(－2x)·(－2)＋(－1) · 3x＋(－1)×(－2)
= －6x2＋4x－3x＋2= －6x2＋x＋2
例1 计算：
(2) (x＋a)(x＋b) = x2＋bx＋ax＋ab
= x2＋(a＋b)x＋ab
典例精析
范例1.计算(1)(3x＋2)(x＋2)；　　(2)(4y－1)(5－y).
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.
仿例1.计算结果为x2－5x－6的是 (　　)
A．(x－1)(x＋6) B．(x＋1)(x－6)
C．(x－2)(x＋3) D．(x－1)(x－3)
仿例2.下列计算正确的是 (　　)　
A．－4x·(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x
B．(x＋y)(x2＋y2)＝x3＋y3
C．(－4a－1)(4a－1)＝1－16a2
D．(x－2y)2＝x2－2xy＋4y2
B
C
仿例3.计算．
(1)(x－3)(x＋4)；
解：原式＝x2＋4x－3x－12＝x2＋x－12；
(2)(2a－b)(4a2＋2ab＋b2).
解：原式＝8a3＋4a2b＋2ab2－4a2b－2ab2－b3＝8a3－b3.
多项式与多项式乘法的应用
例2 计算：
（1）(a + b)(a2－ab + b2) ；
（2）(y2 + y + 1)(y + 2) .
解：(1) (a + b)(a2－ab + b2)
= a · a2－a · ab + a · b2 + b · a2－b · ab + b · b2
= a3 + b3.
(2) (y2 + y + 1)(y + 2)
= y3 + 2y2 + y2 + 2y + y + 2
= y3 + 3y2 + 3y + 2
注意：(1) 漏乘；
(2) 符号问题；
(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并).
例3 先化简，再求值：
(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，
其中 a＝－1，b＝1.
解：原式＝ a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝ a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：
化简求值的题型，一般应先化简，再求值，而不是先代值，再计算．
范例2.计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4).
解：原式＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20
＝22a－23.
仿例1.先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
仿例2.解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
解：去括号，得x2－2x－3x＋6＝x2＋x＋9x＋9＋4，
移项、合并同类项，得－15x＝7，
两边同除以－15，得x＝－.
仿例3．某小区的内坝是一块长为(3a＋b)m，宽为(2a＋b)m的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2
＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2
＝5a2＋3ab(m2)，
当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(m2).
故绿化面积是(5a2＋3ab)m2，当a＝5，b＝2时，绿化的面积是63 m2.
随堂检测
1. 计算：
(1) (2n + 6)(n - 3)； (2) (-3x -1)(-x2 + 1).
解：(1) 原式= 2n2 - 6n + 6n - 18
= 2n2 - 18.
(2) 原式= 3x3 - 3x + x2 - 1
= 3x3 + x2 - 3x -1.
2. 计算：
(1)(3x - y)(3x + y)； (2)(3a + 2)(3a - 2) - 9a(a - 1)；
(3)(x - y)(x2 + xy + y2)； (4)(x + 1)(x2 - 2x + 3).
(3) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2 - y3
=x3 - y3.
解：(1) (3x - y)(3x + y) = 9x2 - y2.
(2) (3a + 2)(3a - 2) - 9a(a -1)= 9a2 - 4 - 9a2 + 9a = 9a -4.
(4) (x + 1)(x2 -2x + 3) = x3 - 2x2 + 3x + x2 - 2x + 3
= x3 - x2 + x + 3.
3. 先化简，再求值：(x - 4)(x - 2) - (x - 1)(x + 3)，其中 x = -2.
解：(x - 4)(x - 2) - (x - 1)(x + 3)
= x2 - 2x - 4x + 8 - (x2 + 3x - x - 3)
= x2 - 2x - 4x + 8 - x2 - 2x + 3
= -8x + 11.
将 x = -2 代入式中，则有-8x +11 = 27.
观察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这个规律解决下面的问题：
5 6
(-3) (-4)
2 (-8)
(-5) 6
口答：
4. 填空：
(a+b)
ab
(－2)
(－35)
课堂小结
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12

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