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第8章 整式乘法与因式分解
课题：单项式乘以单项式
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．幂的运算性质1、性质2、性质3分别是什么？
幂的运算性质1：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即am·an＝am＋n(m，n都是正整数).
幂的运算性质2：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即(am)n＝amn(m，n都是正整数).
幂的运算性质3：积的乘方等于各因式乘方的积．
即(ab)n＝anbn(n是正整数).
2．根据乘法的运算规律计算：
(1)2x·3y；(2)5a2b·(－2ab2).
解：(1)2x·3y＝(2×3)·(x·y)＝6xy；
(2)5a2b·(－2ab2)＝5×(－2)·(a2·a)·(b·b2)＝－10a3b3.
3．观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？
系数相乘，同底数幂相乘．
探究新知
单项式与单项式相乘
问题1 光的速度大约是 3×105 km/s ，从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要约 4 年才能到达地球，如果 1 年以 3.15×107 s 计算，地球与这颗恒星的距离约为多少千米
解：地球与比邻星的距离约是：
[ (3×105)×(4×3.15×107) ] km.
这个式子应如何计算呢
(3×105)×(4×3.15×107)
= 3×4×3.15×105×107
= 12×3.15×1012
= 3.78 ×1013(km)
因而，地球与这颗恒星的距离约为 3.78×1013 km
1.上面的运算用了哪些性质
乘法结合律
同底数幂的乘法性质
乘法交换律
交流
从以上的计算过程中，你能归纳出单项式乘法法则吗
3. 完成下面计算：
4x2y ·3xy2 = (4×3)(x2· )(y· ) =______；
5abc · (-3ab) = [5×(-3)]·(a· __)(b·___)·c =________.
a
y2
12x3y3
b
-15a2b2c
x
2. 如果把上面算式中的数字换成字母.
例如：bc5·abc7，该如何计算呢
bc5·abc7＝a·(b·b)·(c5·c7)＝ab2c12.
知识要点
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则
(1) 系数相乘；
(2) 同底数幂相乘；
(3) 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意
典例精析
例1 计算：
（1）(－4abc)(ab) ；
（2）(3a)3 · (－5ab2) .
解（1）(－4abc)( ab) = (－4× ) · a2b2c = －2a2b2c.
（2）(3a)3 · (－5ab2) = 27a3 · (－5ab2) = －135a4b2.
单项式乘单项式的结果仍然是一个单项式.
要点归纳
单项式与单项式相乘
有理数的乘法与同底数幂的乘法
乘法交换律和结合律
转化
计算：
4x2y·3xy2
＝(4×3)·(x2·x)·(y·y2)
＝12x3y3；
5abc·(－3ab)
＝[5×(－3)]·(a·a)·(b·b)·c＝－15a2b2c.
范例1.计算：
(1)6ab3·(－a2b5c4)； (2)3x2y2·(－2x2)4·(－y2)3.　　　　　
解：(1)原式＝[6×(－)]·(a·a2)·(b3·b5)·c4＝－2a3b8c4；
(2)原式＝3x2y2·16x8·(－y6)＝－48x10y8.
仿例1.计算(－xy2z3)2·(－x2y)3＝__________．
仿例2.若一个三角形的底边长为4a，底边上的高为a2，则它的面积为____．
仿例3.下列计算中，错误的是 (　　)
A．(a2)3·(－a3)2＝a12
B．(－ab2)2·(－a2b3)＝a4b7
C．(2xyn)·(－3xny)2＝18x2n+1yn+2
D．(－xy2)(－yz2)(－zx2)＝－x3y3z3
－x8y7z6
a3
B
练习
计算：
(1) (－3x)2 · 4x2； (2) (－2a)3(－3a)2；
(1)解：原式 = 9x2 · 4x2= (9×4)(x2 · x2)= 36x4.
(2)解：原式 = －8a3 · 9a2= [(－8)×9](a3 · a2)= －72a5.
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
注意
分析：C = 2πr
nC = n·2πr
例2 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号探测器着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，也使我国成为第二个成功登陆火星的国家. 天问一号从地球飞行进入环火轨道的里程相当于绕地球赤道 1.18×104 圈，它的这一飞行里程约为多少千米？（地球半径r约 6.4×103 km，π 取 3.14）
r
单项式乘以单项式的应用
r
解：1.18×104×2πr
≈1.18×104×2×3.14×6.4×103
≈4.74×108（km）
答：它的这一飞行里程约为 4.74×108 km.
例3 已知 －2x3m＋1y2n 与 7x5m－3y5n－4 的积与 x4y 是同类项，求 m2＋n 的值．
解：（－2x3m＋1y2n)( 7x5m－3y5n－4)
＝x3m＋1＋5m－3y2n＋5n－4 ＝x8m－2y7n－4
由题，所以8m－2＝4，7n－4＝1.
所以 m2＋n＝.
解得 m=，n=
解：因为－2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项，所
以 解得 所以m2＋n＝7.
3m＋1＋n－6＝4，
2n－3－m＝1，
m＝2，
n＝3.
范例2.已知－2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
仿例　如果单项式－3x2a－by2与x5y5m+8n是同类项，那么这两个单项式的积是________．
－x10y4
变例　有一块长为x m，宽为y m的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长x m，宽为y m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解：长方形的面积是xy m2，
长方形空地绿化的面积是x×y＝xy(m2)，
则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2).
练习
1.计算：
(1) 2x2 · 3x3； (2) a2b3 · abc；
(3) (-2.5x2)(-4x)2； (4)(-4x2y) · (-xy)2 ·(- y3).
(2) a2b3 · abc =
解：(1)2x2 · 3x3 = 6x5.
(3)(-2.5x2) · (-4x)2 = -40x4.
(4)(-4x2y) · (-xy)2 · (- y3) = 2x4y6.
2. 计算:
(1) (4×105)×(5 ×106)×(3 ×104)；
(2) 2a2 · (-2a)2 + (2a3)· 5a.
解：原式= 4×5×3×105 ×106 ×104
= 60×1015
= 6×1016.
解：原式= 2a2 ·4a2 + 2a3·5a
= 8a4 + 10a4
= 18a4.
3.中国空间站天和核心舱于 2021 年 4 月 29 日由长征五号 B 遥二运载火箭在海南文昌发射升空.其轨道飞行速度约 7.68 km /s，那么它连续 90 天大约飞行了多少千米
= 7.68×7.776×106
解：7.68×90×24×60×60
= 7.68×7.776×106
≈ 5.97×107 （km）
答：天和核心舱连续 90 天大约飞行了5.97×107 千米.
随堂检测
1. 计算 3a · (2b) 的结果是 ( )
A.3ab B.6a C.6ab D.5ab
2. 计算 (－2a2) · 3a 的结果是 ( )
A.－6a2 B.－6a3 C.12a3 D.6a3
C
B
【解析】3a · (2b) = (3×2) · (a · b) = 6ab.
【解析】(－2a2) · 3a = (－2×3) · (a2 · a) = －6a3.
3.下列计算中，对的打“√”，错误的打“×”并改正.
(1) 3a3 · 2a2 = 6a6 ( ) 改正： .
(2) 2x2 · 3x2 = 6x4 ( ) 改正： .
(3) 3x2 · 4x2 =12x2 ( ) 改正： .
(4) 5y3 · 3y5 = 15y15 ( ) 改正： .
3a3 · 2a2 = 6a5
3x2 · 4x2 = 12x4
5y3 · 3y5 = 15y8
×
×
×
(1) 3x2 · 5x3； (2) 4y · (-2xy2)；
4.计算：
解：原式= [4×(-2)](y · y2) · x
= -8xy3.
(3)(-x)3 · (x2y)2.
解：原式= (-x3) · (x4y2)
= -x7y2.
解：原式= (3×5)( x2 · x3 )
= 15x5.
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
5. 若 (am+1 bn+2 )·(a2n－1 b) = a5b3 (其中 a，b 不为 0 和±1)，求 m + n 的值.
解：由题 am+1+2n－1 bn+2+1 = a5b3，
解得 m = 5，n = 0.
所以 m＋n = 5.
所以 m + 1 + 2n -1 = 5，n + 2 + 1 = 3.
课堂小结
单项式与单项式相乘
单项式乘单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
注意
（1）不要出现漏乘现象；
（2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘
单项式乘单项式中的“一、二、三”：
一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个
单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积
的因式.
二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂
分别相乘.
三个检验：单项式乘单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来检验：① 结果仍是单项式；② 无零次幂时结果含有原式中的所有字母；③ 结果中每一个字母的指数都等于前面单项式中同一字母的指数和.

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