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第8章 整式乘法与因式分解
课题：单项式乘多项式
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
同学们还记得单项式的乘法法则吗？
探究新知
单项式乘多项式
问 题 一个施工队修筑一条路面宽为 n m的公路，第一天修筑 a m 长,第二天修筑 b m 长，第三天修筑 c m 长，3 天共修筑路面的面积是多少
n
a
第一天
第二天
第三天
b
c
na
nb
nc
a + b + c
（单位：m）
方法一 3 天共修筑路面的总长为 (a + b + c) m，因为路面的宽为 n m，所以 3 天共修筑路面 _________m2.
n(a+b+c)
n
a
第一天
第二天
第三天
b
c
na
nb
nc
a + b + c
方法二 先分别计算每天修筑路面的面积，然后相加，则 3 天共修筑路面 ____________ m2.
na + nb + nc
因此，有
n( a + b + c)
na + nb + nc
=
n
a
第一天
第二天
第三天
b
c
na
nb
nc
a + b + c
要点归纳
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
单项式与多项式的乘法法则:
本质是运用分配律，把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘.
反思与提升：
b
n
a
c
例3 计算：
（1）(－2x)(x2－x + 1) ；
（2）a(a2 + a)－a2(a－2) .
解（1）(－2x)(x2－x + 1)
= (－2x) · x2 + (－2x)·(－x) + (－2x) · 1
= －2x3 + 2x2－2x
典例精析
（2）a(a2 + a)－a2(a－2) .
（2）a(a2 + a)－a2(a－2)
= a · a2 + a · a－a2 · a + 2a2
= a3 + a2－a3 + 2a2
= 3a2
范例1.计算：
(1)(ab2－2ab)·ab； (2)－2x·(x2y＋3y－1).
解：(1)原式 ＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2；
(2)原式＝－2x·x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1
＝－x3y＋(－6xy)－(－2x)＝－x3y－6xy＋2x.
仿例1.计算：
(1)(x2y－2xy＋y2)·(－4xy)；
解：原式＝－2x3y2＋8x2y2－4xy3；
(2)3a(2a－5)－2a(1－3a).
解：原式＝6a2－15a－2a＋6a2＝12a2－17a.
单项式乘以多项式，根据分配律计算，去掉括号时，应注意符号的变化，有同类项的应注意合并同类项．
仿例2.计算：
(1)a(b＋1)－ab－1＝_______；
(2)x(y－z)＋y(z－x)＋z(x－y)＝____；
(3)(3m)2(m2＋mn－n2)＝____________________．
a－1
0
9m4＋9m3n－9m2n2
练习
1. 计算：
（1）5x · (3x + 4) ； （2）(5a2 －a + 1)(－3a)；
解 （1）5x · (3x + 4) = 5x· 3x + 5x · 4= 15x2 + 20x .
（2）(5a2 －a + 1)(－3a)
= 5a2·(－3a) + (－a)(－3a) + (－3a)·1
= －15a3 + 4a2 －3a
（3）x(x2 + 3) + x2(x－3)－3x(x2－x－1)；
= x3 + 3x + x3－3x2－3x3 + 3x2 + 3x
= (x3 + x3 －3x3) + (－3x2 + 3x2) + (3x + 3x)
= －x3 + 6x
（4）(－a) · (－2ab) + 3a · (ab－b－1) .
= 2a2b + (3a · ab) + 3a · (－b) + 3a · (－1)
= 2a2b + 3a2b － ab － 3a
= 5a2b － ab － 3a
单项式乘多项式的应用
计算：2a2 · (3a2－5b).
解：原式 = 2a2·3a2 + 2a2· (－5b)
= 6a4－10a2b.
方法总结：根据乘法分配律，将单项式乘多项式的每一项，然后求和．
典例精析
例4 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 a 米，下底宽 (a＋2b) 米，坝高a 米．
(1) 求这条防洪堤坝的横断面面积；
解： [ a＋(a＋2b) ]×a
＝a (2a＋2b)
＝a2＋ab (平方米).
故这条防洪堤坝的横断面面积为 (a2＋ab) 平方米.
(2) 如果这条防洪堤坝长 100 米，那么这条防洪堤坝的体积是多少立方米？
解： (a2＋ab)×100＝50a2＋50ab (立方米)．
故这条防洪堤坝的体积为 (50a2＋50ab) 立方米．
例5 先化简，再求值：
5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2.
解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2
＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2
＝－28a2＋15a，
当 a＝2 时，原式＝－82.
方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算．
整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
范例2.设－x2y＝2，则－xy(x5y2－x3y＋2x)的值为( 　)
A．16 B．0 C．8 D．12
仿例1.若m(1－m2)＋m(m2－2)＋2 025≥0，则m的取值范围是___________．
A
m≤2025
仿例2.化简求值．
(1)x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中x＝；
解：原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1.
当x＝时，
原式＝()2＋1＝4；
(2)[xy(x2－3y)＋3xy2](－2xy)＋x3y2·(2x－y)，其中
x＝－，y＝－5.
解：原式＝(x3y－3xy2＋3xy2)·(－2xy)＋2x4y2－x3y3
＝－2x4y2＋2x4y2－x3y3
＝－x3y3.
当x＝－，y＝－5时，原式＝－.
随堂检测
1. 计算：(1) 5x · (3x + 4)；
(3) x(x2 + 3) + x2(x - 3) - 3x(x2 - x - 1)；
(4) (-a) · (-2ab) + 3a ·(ab - b - 1).
(2) (5a2 - a + 1)(-3a)；
解：(1) 5x · (3x + 4) = 15x2 + 20x.
(2) (5a2 - a + 1)(-3a) = -15a3 + 4a2 - 3a.
(3) x(x2 + 3) + x2(x - 3) - 3x(x2 - x - 1)= -x3 + 6x.
(4) (-a) · (-2ab) + 3a ·(ab - b - 1)= 5a2b - ab - 3a.
2. 如图，某长方体的长为 a + 1，宽为 a，高为 3，问这个长方体的体积是多少
a +1
a
3
解：由题，V = 3(a + 1)a
= 3a2 + 3a.
分析：长方形体积=长×宽×高
3. 在 x(c + d) = xc + xd 中，如果将 x 换为 (a + b) 如何计算(a + b)(c + d ) 写出你的思考过程.
将 (a + b) 当作一个整体
则有 (a + b)(c + d )
= (a + b)c + (a + b) d
= ac+ bc + ad + bd
对于一些较复杂的式子，可以将某一个部分当作一个整体来化简较为方便
整体思想
4. 计算：- 2x2 · ( xy + y2 ) - 5x(x2y - xy2).
(1) 2x2 与 5x 前面的“-”不能看漏；
(2) 单项式与多项式相乘的结果中，应将 同类项 合并.
注意
解：原式 = ( -2x2)·xy + (-2x2)·y2 + (-5x)·x2y + (-5x)·(-xy2)
= -2x3y + (-2x2y2) + (-5x3y) + 5x2y2
= -7x3y + 3x2y2.
课堂小结
整式的乘法
单项式乘多项式
实质上是转化为单项式×单项式
注意
(1) 计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负；
(2) 不要出现漏乘现象；
(3) 运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减；
(4) 对于混合运算，最后应合并同类项

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