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第8章 整式乘法与因式分解
课题：零指数与负整数指数幂
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
1．同底数幂的除法公式为am÷an＝am－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？
2．试按约分或同底数幂相除两种方法计算35÷35，你有什么发现？
解法一：35÷35＝1.
解法二：35÷35＝35-5＝30，30＝1.
根据除法法则，如果 a ≠ 0，m 是正整数，那么 am÷am 等于多少？
am÷am = 1.
探究新知
零指数幂
我们已经得到了当 m > n 时，am÷an（a ≠ 0）的运算性质，那么当 m ≤ n（m，n 都是正整数）时，am÷an（a ≠ 0）又如何计算呢？
m ≤ n
m = n
m < n
观察
（1）当被除式的指数等于除式的指数（即m = n）时，
33÷33
108÷108
an÷an
= 1
= 1
= 1
一个数除以它本身商为 1
同底数幂的除法性质
= 33-3 = 30
= 108-8 = 100
= an-n = 100
任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1.
a0 = 1（a ≠ 0）
（2）当被除式的指数小于除式的指数（即m < n）时，
32÷35
104÷108
a5÷a7
约分
32
35
32
32×33
=
=
=
1
33
104
108
104
104×104
=
=
=
1
104
a5
a7
a5
a5 · a2
=
=
=
1
a2
（a ≠ 0，p 是正整数）
a－p
=
1
ap
同底数幂的除法性质
= 32-5 = 3－3
= 104-8 = 10－4
= a5-7 = a－2
任何一个不等于零的数的－p（p 是正整数）次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数.
（a ≠ 0，p 是正整数）
a－p
=
1
ap
am÷an
am－n（m > n）
a0 = 1（m = n）
（m < n）
an－m
1
幂指数的范围
全体正整数
全体整数
总结：
如果把公式 am÷an = am-n (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m>n) 推广到 m = n 的情形，那么就会有：
a0=1(a≠0)
想一想：为何 a 不能等于 0 呢？
任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1.
am÷an = am-m = a0.
这启发我们规定：
要点归纳
例7 计算：
（1）106÷106；（2）() 0÷ () -2 ；（3）(－2)3÷(－2)5.
解：（1）106÷106 = 106－6 = 100 = 1.
（2） () 0÷ () -2 = () 0-(-2）= () 2 = ()
（3）(－2)3÷(－2)5 = (－2)3－5 = (－2)－2 = =
解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1；
③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1，
（不合题意，舍去）. 故 x 的值为 -1 或 2.
例 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值.
方法总结：乘方的结果为 1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于 1；1 的任何次幂都等于 1；－1 的偶次幂等于 1. 即在底数不等于 0 的情况下要考虑指数等于 0，另外还需考虑底数等于 1 或－1 的情况.
典例精析
范例1.填空：(1)52x-3＝1，则x＝____；
(2)若(x＋b)0＝1成立，则x的取值范围是_______．
仿例　计算：2 0250－|2|＝____．若0.000 1x＝1，则x＝____．
练习
1. 计算：
（1） () 3÷ () 3 ； （2）37÷39；
解：（1） () 3÷ () 3 = () 3 -3 = () 0 =1
（2）37÷39 = 37－9 = 3－2 = = .
（3） (－) 5÷ (－) 6 ； （4）(－m)5÷(－m)9；
（3） (－) 5÷ (－) 6 = (－) 5-6 = (－) -1 =－.
（4）(－m)5÷(－m)9 = (－m)5－9 = (－m)－4 = = .
（5）(－2xy)5÷(－2xy)5； （6）(xy)5÷(－xy)2.
（5）(－2xy)5÷(－2xy)5 = (－2xy)5－5 = (－2xy)0 = 1.
（6）(xy)5÷(－xy)2 = (xy)5－2 = (xy)3 = x3y3.
负整数指数幂
问题：计算：a3÷a5 (a ≠ 0).
解法1 a3÷a5= a3÷(a3· a2)=a3÷a3÷a2 =
解法2 假如把同底数幂的除法法则 am÷an = am-n
(a ≠ 0，m，n 是正整数，m＞n) 中的 m＞n 这个条件去掉，那么 a3÷a5 = a3-5 = a-2.
于是得到：
a-2 = .
即a-p = (a≠0，p是正整数).
如果令公式 am÷an = am-n 中的 m = 0，n = p 则有:
任何一个不等于零的数的 -p ( p是正整数 )次幂,等于这个数的 p 次幂的倒数.
有了上述约定，我们再遇到计算 am÷an 时，就不必限制 m >n了. 这样，幂指数的范围就从全体正整数扩充到全体整数.
要点归纳
例3 计算：
(1) 106÷106； (2) (3) (-2)3÷(-2)5.
解：(1) 106÷106＝106－6＝100＝1.
(2) ＝＝＝.
(3) (-2)3÷(-2)5＝(-2)3－5＝(-2)－2＝＝.
典例精析
例4 把下列各数写成分数的形式：
解： (1) 3-2 = =
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当指数是负数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
(1) 3-2； (2) 2×(－2)-3 .
(2) 2×(－2)-3 =2× =2× =
负整数指数幂的意义是什么？如何得到？
我们约定：a－p＝(a≠0，p是正整数).
任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
由分数约分：am÷an＝＝＝(p＝n－m).
仿照同底数幂的除法性质进行计算，得am÷an＝am－n＝a－p(p＝n－m).
范例2.有下列四个等式：①(a－1)0＝1(a≠0)；②a4÷a4＝a；③2x-3＝；④3-1＝.其中，正确的是____．
(填序号)
仿例1.填空：2-1＝____；(－2)-2＝____；－2-2＝____．
－
④
仿例2. 计算：
(1)(－2xy2)-3；　(2)()-2；　 (3)40×3-2.
解：(1)原式＝＝－；
(2)原式＝；
(3)原式＝1×＝.
仿例3. 计算：(1)(x-5y-2z-3)2；　　　　　
解：原式＝x-10y-4z-6＝；
(2)x15÷(x6·x-3)2；　　　　　
解：原式＝x15÷x6＝x9；
(3)(－x4y2)-2÷(x2y-3)2.
解：原式＝(－)-2x-8y-4÷x4y-6
＝4x-8y-4÷x4y-6
＝4x-12y2
＝.
练习
1.计算：－22+-2+(2025－π)0－|2－|
方法点拨：根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
解：原式=－4+4+1－2+
=－1
.
= (-2xy)0 =1.
= (xy)3 = x3y3.
= (-m)-4 = .
2.计算：
=3-2=
(3) ；
(4) (-m)5÷(-m)9；
(5) (-2xy)5÷(-2xy)5；
(6) (xy)5÷(-xy)2.
3. 用分数或小数表示下列各数:
(1) 5-3；(2)2.1×10-4； (3) ； (4) (-4)-3.
4.把下列各数写成负整数指数幂的形式:
(1) 0.001； (2) ； (3) .
0.00021
1×10-3
3-4
-2-5
随堂检测
1. 用分数或小数表示下列各数：
（1）5－3；（2）2.1×10－4；（3）；（4）(－4)－3.
解：（1）5－3 = = .
（2）2.1×10－4 = 2.1×= 0.00021.
（3）=.
（4）(－4)－3 = = .
3. 把下列各数写成负整数指数幂的形式：
解：（1）0.001 = 1×10－3.
（1）0.001； （2）； （3）－.
（2） = = 3－4 .
（3）－ =－ = －2－5 .
课堂小结
am÷an
am－n（m > n）
a0 = 1（m = n）
（m < n）
an－m
1
幂指数的范围：
全体正整数 全体整数

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