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第8章 整式乘法与因式分解
课题：完全平方公式
沪科版 七年级 数学（下）
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多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
(a + b)(m + n) =
+ bm
am
+ an
+ bn
2．计算：(1)(x＋1)2；(2)(x－1)2；
解：(1)(x＋1)2＝(x＋1)(x＋1)
＝x2＋x＋x＋1
＝x2＋2x＋1；
(2)(x－1)2＝(x－1)(x－1)
＝x2－x－x＋1
＝x2－2x＋1；
(3)(a＋b)2； (4)(a－b)2.
解：(3)(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋b2
＝a2＋2ab＋b2；
(4)(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝a2－ab－ab＋b2
＝a2－2ab＋b2.
探究新知
完全平方公式
(a + b)2 = _______________
(a － b)2 = _______________
a2 + 2ab + b2
a2 － 2ab + b2
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍.
观察
完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.
a
b
a
b
(a + b)2
a2
ab
ab
=
+
+
(a + b)2 = a2 + 2ab +（ ）
b2
a
b
a
b
(a － b)2
a2
=
－
+
(a － b)2 = a2 －（ ）+ b2
b2
2ab
典例精析
例1 利用乘法公式计算：
（1）(2x + y)2；
解 （1）(2x + y)2 = (2x)2 + 2·(2x)y + y2
( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2
= 4x2 + 4xy + y2
运用公式计算，要先识别 a，b 在具体式子中分别表示什么.
（2）(3a －2b)2.
（2）(3a －2b)2 = (3a)2 －2·(3a)(2b) + (2b)2
( a － b )2 = a2 － 2 a b + b2
= 9a2 －12ab + 4b2
例2 利用乘法公式计算：(- m - 2n)2.
= m2 + 4mn + 4n2.
= [-(m + 2n)]2
= (m + 2n)2
解： (-m - 2n)2
小提示：对于含负号较多的完全平方式，可以借助偶次幂为正数进行化简，即 (-a)2 = a2 .
看作一个整体，运用完全平方公式 (a－b)2
范例1.计算．
(1)(2a－4)2；　(2)(－2x＋5y)2； (3)(－3x－y)2.
解：原式＝4a2－16a＋16;
解：原式＝4x2－20xy＋25y2；
解：原式＝[－(3x＋y)]2＝(3x＋y)2＝9x2＋6xy＋y2.
仿例1.填空：
(1)(－3x＋1)2＝___________；
(2)(x－y)2＝____________；
(3)(2m＋____)2＝4m2＋12m＋9.
9x2－6x＋1
x2－xy＋y2
3
仿例2.化简(a＋1)2－(a－1)2等于 (　　)
A．2 B．4 C．4a D．2a2＋2
仿例3.下列等式成立的是 (　　)
A．(x－y)2＝(y－x)2 B．(－x－y)2＝－(x＋y)2
C．(x＋y)2＝(x2＋y2) D．(x－y)3＝(y－x)3
C
A
练习
1. 利用乘法公式计算：
（1）(3x + 1)2 ； （2）(a－3b)2 .
解 （1）(3x + 1)2
（2）(a－3b)2
= (3x)2 + 2·(3x)·1 + 12
= 9x2 + 6x + 1
= a2 － 2a·(3b) + (3b)2
= a2 － 6ab + 9b2
（3）； （4）(－2x + 3y)2 .
（3）
（4）(－2x + 3y)2
= (－2x)2 +2·(－2x)·(3y)+(3y)2
= 4x2 －12xy + 9y2
=+2·(2x)·+
= +2xy+
2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长.
3
3
（单位：cm）
设原正方形的边长为 a cm.
小正方形的边长为 (a－6) cm.
a2－ (a－6)2 = 84
a2 －(a2－12a + 36) = 84
12a = 120
a = 10
答：原正方形的边长为10 cm.
3
3
（单位：cm）
完全平方公式的应用
解：原式 = (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404.
思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022；
(2) 992.
解：原式 = (100－1)2
= 10000 － 200 + 1
= 9801.
例3 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
所以 (a＋b)2＝49.
所以 a2＋b2＋2ab＝49，
即 a2＋b2＋2×10＝49.
所以 a2＋b2＝29.
故 (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
解：(1) 原式
(1) (a + b + c)2； (2)(a－b)3 ．
例4 利用乘法公式计算：
(2) 原式= (a - b)3
= a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= (a +b) + 2(a + b)c + c2
= [(a +b)+ c ]2
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
= a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
= (a - b) (a2 - 2ab + b2)
= (a - b)(a - b)2
范例2.计算：
(1)(x＋3)2－(x－1)(x－2)；　　　(2)4982.
解：(1)原式＝x2＋6x＋9－(x2－2x－x＋2)
＝x2＋6x＋9－x2＋2x＋x－2＝9x＋7；
(2)原式＝(500－2)2＝5002－2×2×500＋4
＝250 000－2 000＋4＝248 004.
仿例1.先化简，再求值：(2a－b)2－b2，其中a＝－2，
b＝3.
解：(2a－b)2－b2＝4a2－4ab＋b2－b2＝4a2－4ab.
当a＝－2，b＝3时，原式＝4×(－2)2－4×(－2)×3＝40.
仿例2.若x2－kxy＋16y2是一个完全平方式，则k的值是
(　　)
A．8 B．16 C．±8 D．±16
仿例3.填空：
(1)(2x－y)2＋(2x＋y)2＝_________；
(2)若a2＋b2＝12，ab＝3，则(a＋b)2＝____；
(3)当a＋b＝3，x－y＝1时，代数式a2＋2ab＋b2－x＋y＋2 017的值是______．
C
8x2＋2y2
18
2025
随堂检测
(1) (a + b)3； (2) (x - 1)3；
1. 计算：
= (a2 +2ab +b2)(a + b)
解：(1) 原式= (a + b)2(a + b)
= a3 + 3a2b +3ab2 + b3.
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(2) 原式= (x2 - 2x + 1)(x - 1)
= x3 - 2x2 + x - x2 + 2x - 1
= x3 - 3x2 + 3x -1.
(3) (a - b - c)2.
= (a - b)2 - 2(a - b) c + c2
原式= [(a - b) - c]2
= (a2 - 2ab + b2) - 2(ac - bc) + c2
= a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 - 2ab -2ac + 2bc.
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 常用公式变形式：
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
a2 + b2= (a - b)2 + 2ab；
(a＋b)2 - (a - b)2 = 4ab .

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