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第8章 整式乘法与因式分解
课题：乘法公式的综合运用
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a－b) 2=a2－2ab+b2
1.完全平方公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
2.平方差公式：
思考1： 形如(x+y+1)2这样的式子还能套用完全平方公式吗？
(x+y+1)2
若要运用完全平方公式计算，需先要识别a，b在具体式子中分别表示什么.
( a ＋b)2
＝ a2 ＋ 2 a b＋ b2
=[(x+y)+1]2
=(x+y)2+2(x+y) +1
(x+y)2+2(x+y) +1
=x2+2xy+y2+2x+2y+1.
还有其它的组合方法吗？
(x+y+1)2
=[x+(y+1)]2
=x2+2x(y+1)+(y+1)2
方法二：
=x2+2xy+2x+y2+2y+1.
(x+y+1)2
=[(x+1)+y]2
方法三：
=(x+1)2+2y(x+1)+y2
=x2+2x+1+2xy+2y+y2.
三项式的平方
添括号法则
完全平方公式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a－b) 2=a2－2ab+b2
归纳总结
思考2： 形如(x+y+1)(x+y-1)这样的式子还能套用乘法公式吗？
(x+y+1)(x+y-1)
( a＋b) (a - b)
＝ a2 - b2
=x2+2xy+y2-1.
=[(x+y)+1][(x+y)-1] =(x+y)2-1
归纳总结
两个三项式相乘
添括号法则
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
探究新知
运用乘法公式进行计算
范例1.利用乘法公式计算：
(1)(a－b＋c)2；　　　　　　　　　　
解：原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋2(a－b)·c＋c2
＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2;
(2)(a－b)3；
解：原式＝(a－b)(a－b)2
＝(a－b)(a2－2ab＋b2)
＝a3－3a2b＋3ab2－b3；
(3)(x－y＋z)(x＋y－z).
解：原式＝[x－(y－z)][x＋(y－z)]
＝x2－(y－z)2
＝x2－y2＋2yz－z2.
仿例1.计算：
(1)若(A＋2y)(－3x＋B)＝4y2－9x2，则A＝____，
B＝____；
(2)若M·(3x－y)＝9x2－y2，则M＝_________．
3x
2y
3x＋y
仿例2.计算：
(1)(a＋1)2(a－1)2；　 　　　　　　
解：原式＝[(a＋1)(a－1)]2
＝(a2－1)2
＝a4－2a2＋1；
(2)(x－3)3.
解：原式＝(x－3)(x－3)2
＝(x－3)(x2－6x＋9)
＝x3－6x2＋9x－3x2＋18x－27
＝x3－9x2＋27x－27.
仿例3.计算：
(1)(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab；　 　
解：原式＝a2＋2ab＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2；
(2)(x－2y＋3)(x＋2y－3)；
解：原式＝[x－(2y－3)]·[x＋(2y－3)]
＝x2－(2y－3)2＝x2－4y2＋12y－9；
(3)(x＋y)2(x－y)2－(x2＋y2)2.
解：原式＝(x2－y2)2－(x2＋y2)2
＝(x2－y2＋x2＋y2)(x2－y2－x2－y2)＝－4x2y2.
练习
已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.
巧用乘法公式解决问题
范例2.已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
方法指导：根据已知先求出a－c的值，然后根据(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)求解．
解：因为a－b＝3，b－c＝2，所以a－c＝5.
因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝9＋4＋25＝38，
所以2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝38.
因为a2＋b2＋c2＝1，所以2－2(ab＋bc＋ca)＝38.
所以ab＋bc＋ca＝－18.
方法归纳：
运算乘法公式求值，往往涉及乘法公式的变形，并把其中某部分看作一个整体，如把a2＋b2与2ab看作一个整体，利用列方程或列方程组求解．
仿例1.已知a2－b2＝4，那么(a＋b)2(a－b)2的值为 ( )
A．32　　　　B．16　　　　C．8　　　　D．4
B
仿例2.如图，一块直径为a＋b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下的钢板面积．
解：S剩＝π·()2－π·()2－π·()2
＝·[(a＋b)2－a2－b2]
＝(a2＋b2＋2ab－a2－b2)
＝×2ab＝ab.
答：剩下的钢板面积为ab.．
仿例3.计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.
解：原式＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＋1
＝(24－1)(24＋1)＋1
＝28－1＋1
＝256.
随堂检测
1.据统计，2022 年全球能源相关的碳排放量约3.68×106
万吨，则全球 80 亿人 2022 年每人平均碳排放量约为多少吨？
解：3.68×106 万吨 = 3.68×1010 吨
80 亿人 = 80×109 = 8×1010 人
3.68×1010 ÷(8×1010) = 0.46（吨）
答：全球80亿人2022年每人平均碳排放量约为0.46吨.
2. 计算：
（1）(3y－6)(－y) ；
解（1）(3y－6)(－y)
= 3y · (－y) + (－6)(－y)
= －3y2 + 6y
（2）(－3x)(4x2－x + 1) ；
解：（2）(－3x)(4x2－x + 1)
= －12x3 + 4x2 －3x
（3）(－xy)(2x－5y－1) ；
解：（3）(－xy)(2x－5y－1)
= (－xy)·2x + (－xy)(－5y) + (－xy)(－1)
= －2x2y + 5xy2 + xy
（4）(4y－1)(y－ 5) ；
解：（4）(4y－1)(y－ 5)
= 4y · y + 4y · (－ 5) + (－1)·y + (－1)·(－5)
= 4y2 － 20y－y + 5
= 4y2 － 21y + 5
（5）(2x + 3)(4x + 1) ；
解：（5）(2x + 3)(4x + 1)
= 2x · 4x + 2x·1 + 3·4x + 3·1
= 8x2 + 2x + 12x + 3
= 8x2 + 14x + 3
（6）
= +(-3)+
= +-3
= 3
解：（6）
3. 在一个边长为 a 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛，下面给出几种设计方案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 S 的表达式，并计算当 a = 10 时面积 S 的值.
（1）
S1 = a×+ a×－×
= －
=
当a =10时，
S1= (m )
3. 在一个边长为 a 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛，下面给出几种设计方案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 S 的表达式，并计算当 a = 10 时面积 S 的值.
（2）
S2 = a2－π()2－π()2
= a2－
当a =10时，
=
S2=
=(100-12.5π)m
3. 在一个边长为 a 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛，下面给出几种设计方案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 S 的表达式，并计算当 a = 10 时面积 S 的值.
（3）
S3= 4×××
=
当a =10时，
S3==50(m )

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