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第8章 整式乘法与因式分解
课题：平方差公式
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
多项式乘多项式法则
1. 由多项式乘法计算：
（1）(3m + 1)(3m － 1)； （2）(x + 2y)(x －2y).
解（1）(3m + 1)(3m － 1)
= 9m2 － 3m + 3m－1
= 9m2 －1
（2）(x + 2y)(x －2y)
= x2 － 2xy + 2xy－4y2
= x2 －4y2
2. 请你根据上面多项式乘法的规律概括出 (a + b)(a－b)
的计算公式.
(a + b)(a－b) = a2－b2
这个公式称为平方差公式，用语言如何描述？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a + b)(a－b) = a2－b2
说一说 平方差公式有什么特点.
（1）左边是两个数的和乘以这两个数的差.
（2）右边是两个数的平方差.
（3）公式中的 a，b 既可代表具体的数，还可代表单项式或多项式.
3. 你能设计一个图形来说明上面公式吗？
a－b
b
b
a－b
求下图中蓝色区域面积？
S = a2 － b2
= (a + b)(a－b)
a + b
探究新知
平方差公式
例3 利用乘法公式计算：
（1）(－x + 3)(－x－3)；
（2）1 999×2 001 .
解 （1）(－x + 3)(－x－3)
= (－x)2 －32
= x2 －9
（2）1 999×2 001
= (2 000－1)×(2 000 + 1)
= 2 0002－12
= 3 999 999
范例1.利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；　　　　(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；　(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4).
解：(1)原式＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
仿例1.填空：(1)(x＋1)(x－1)＝________，
(x＋2y)(－x＋2y)＝_________；
(2)当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2＝____．
仿例2.对于任意的整数n，能整除代数式(n＋3)(n－3)－(n＋2)(n－2)的整数是 (　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．－5　　　　D．2
x2－1
4y2－x2
9
C
仿例3.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
练习
1. 利用乘法公式计算：
（1）(2a + 5b)(2a－5b)； （2）.
解 （1）(2a + 5b)(2a－5b)
= (2a)2－(5b)2
= 4a2－25b2
（2）
=
=
（3）(y－2x)(－2x－y)； （4）(xy + 1)(xy－1).
（3）(y－2x)(－2x－y)
= (－2x + y)(－2x－y)
= (－2x)2－y2
= 4x2－y2
（4）(xy + 1)(xy－1)
= (xy)2－12
= x2y2－1
2. 利用乘法公式计算：
（1）598 × 602； （2）9992 .
解（1）598 × 602
= (600－2) × (600 + 2)
= 6002 － 22
= 359996
（2）9992
= (1000－1)2
= 10002－2×1000×1 + 12
= 998001
运用平方差公式进行简算
例4 计算：
（1）(a + b + c)2 ；
解（1）(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 +2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
（2）(a－b)3.
（2）(a－b)3
= (a－b)(a－b)2
= (a－b)(a2－2ab + b2)
= a3－2a2b + ab2－a2b + 2ab2－b3
= a3－3a2b + 3ab2－b3
例5 利用乘法公式计算：(x + y + z)(x－y + z) .
解 (x + y + z)(x－y + z)
= [(x + z) + y][(x + z)－y]
= (x + z)2 －y2
= x2 +2xz + z2 －y2
范例2.利用乘法公式计算：
(1)20×19；　　　　(2)13.2×12.8.
解：(1)原式＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝168.96.
仿例1.填空：(1)98×102＝_________；
(2)99.8×100.2＝_________．
仿例2.若(N＋2 015)2＝123 456 789，求(N＋2 025)(N＋2 005)值．
解：因为(N＋2 025)(N＋2 005)
＝[(N＋2 015)＋10][(N＋2 015)－10]＝(N＋2 015)2－102，
又因为(N＋2 015)2＝123 456 789，
所以原式＝123 456 789－100＝123 456 689.
9996
9999.96
仿例3.利用平方差公式计算：(a－b)(2a＋b)(4a2＋b2).
解：原式＝(2a－b)(2a＋b)(4a2＋b2)
＝(4a2－b2)(4a2＋b2)
＝(16a4－b4)
＝8a4－b4.
随堂检测
1.下列式子能用平方差公式计算吗 为什么 如果
能，怎样计算
(1) (a + b)( a b) ；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b) ；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2) =
a2 + b2
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
不对
改正：=x2－4
不对
改正方法①：
(－3a－2)(3a－2) = －[(3a + 2)(3a－2)]
= －(9a2－4)
= －9a2 + 4.
改正方法②：
(－3a－2)(3a－2) = (－2－3a)(－2 + 3a)
= (－2)2－(3a)2
= 4－9a2.
3. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
4. 97×103 = ( )×( ) = ( )=( ).
5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______.
100－3
100 + 3
1002－32
x = 4
B
9991
解：(1)原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12
＝ 2500－1 = 2499.
(3)原式＝(9x2－16)－(6x2 + 5x－6)
＝3x2－5x－10.
(1) 51×49；
(3) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2).
(2) 13.2×12.8；
6. 利用平方差公式计算：
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
课堂小结
平方差公式
(a + b)(a－b) = a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

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