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第8章 整式乘法与因式分解
第8章小结与复习
沪科版 七年级 数学（下）
知识体系
单项式与单项式相乘
幂的运算
整式乘法
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
因式分解
乘法公式
特殊
整式乘除
幂的运算性质
=
=
(=
=
单项式乘以单项式
单项式除以单项式
单项式乘以多项式
多项式除以单项式
多项式乘以多项式
乘法公式
因式分解
提公因式法
公式法
分组分解法
回顾思考
幂的运算性质
1. 幂的运算性质：
（1）am · an = ________（m，n 都是正整数）；
（2）(am)n = ________（m，n 都是正整数）；
（3）(ab)n = ________（n 是正整数）；
（4）am÷an = ________（a ≠ 0，m，n 都是正整数）.
am + n
amn
anbn
am － n
2. 乘法公式：
（1）(a ± b)2 = ____________；
（2）(a + b)(a－b) = _________.
a2 ± 2ab + b2
a2 － b2
3. 在 am÷an = am－n（a ≠ 0，m，n 都是正整数）中，当 m = n 时，约定 a0 = _____；当 m < n 时，如 m－n = －p（p 是正整数），则约定 a－p = _____.
4. 因式分解最基本方法是___________和_________.
1
提公因式法
公式法
例1 下列计算正确的是 ( )
A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2
C．(2a)2＝4a D．a·a3＝a4
D
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
解：原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2a3-3b6-4 = 2b2.
要点归纳
1、幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘
方、积的乘方及同底数幂的除法. 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.
2、其逆向运用可以使一些计算简便，
从而培养一定的计算技巧，达到学以
致用的目的.
范例1.下列计算：①(ab)2＝ab2；②(4ab2)3＝12a3b6；
③(－2x3)4＝16x12；④(a)3＝a3.其中，正确的个数是
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
B
仿例　计算：
(1)(－a2b)3－(－2a2b)2·(－a)2·(－b)；
解：原式＝－a6b3－4a4b2·a2·(－b)
＝－a6b3＋4a6b3
＝3a6b3；
(2)(－m-2n)-3·(－m3n-2)-2；
解：原式＝－8m6n-3·m-6n4
＝－8m6-6n-3+4
＝－8n；
(3)(－0.125)15×(215)3；
解：原式＝(－)15×815
＝[(－)×8]15
＝(－1)15
＝－1；
(4)(－2)2·(－1)0－()-1.
解：原式＝4×1－3
＝1.
练习
1. 下列计算不正确的是（ ）
A. 2a3÷a = 2a2 B. (-a3)2 = a6
C. a4·a3 = a7 D. a2·a4 = a8
2. 计算：0.252023×(-4)2023 - 8100×0.5301.
D
解：原式 = [0.25×(-4)]2023 - (23)100×0.5300×0.5
= -1 - (2×0.5)300×0.5 = -1 - 0.5 = -1.5.
3. (1) 已知 3m = 6，9n = 2，求 3m+2n，32m-4n 的值.
(2) 比较大小：420 与 1510.
(2) 因为 420 = (42)10 = 1610，
1610 > 1510，
所以 420 > 1510.
32m-4n = 32m÷34n = (3m)2÷(32n)2 = (3m)2÷(9n)2 = 62÷22 = 9.
解：(1) 因为 3m = 6，9n = 2，
所以 3m+2n = 3m·32n = 3m·(32)n = 3m·9n = 6×2 = 12，
整式乘法
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y，其中x=1，y=3.
提示：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
解：原式 = (x3y2 - x2y - x2y + x3y2)÷3x2y
= (2x3y2 - 2x2y)÷3x2y
当 x = 1，y = 3 时，
原式= ×1×3 =
=
要点归纳
单项式乘单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握其运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减
的顺序进行，有括号的要先算括
号里的.
范例2.计算(－2a3)2·(－3a2b)的结果是 (　　)
A．－6a7b　　　　　B．－12a8b　　　　　
C．－12a7b　　　　　D．－18a2b
仿例1.计算：3mn·(－3mn＋m2n)＝_______________．
B
－9m2n2＋2m3n2
仿例2.计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是(　　)
A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8
仿例3.下列计算中，错误的是 (　　)
A．(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2 B．(x＋3)2＝x2＋4x＋9
C．(4x－)2＝16x2－2x＋ D．(－a)2＝－a＋a2
B
C
练习
1. 一个长方形的面积是 a2 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 .
2. 已知多项式 2x3 -4x2 - 1 除以一个多项式 A，所得商为 2x，余式为 x - 1，则这个多项式是 .
（a - 2b + 1）
x －2x－
3. 计算：
(1) (－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)；
(2) x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；
(3) (－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；
(4) (2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；
(5) [x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y.
解：（1）原式＝－12x7y9.
（2）原式＝－x3＋6x.
（3）原式＝2a3b2＋10a3b3.
（4）原式＝4x2＋17xy－10y2.
（5）原式＝2xy－2.
因式分解
例4 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2－1＝(x＋1)(x－1)
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B
点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程从左到右要保持恒等变形.
例6 把多项式 2x2－8 分解因式，结果正确的是 ( )
A．2(x2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－)
C
归纳总结 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
范例3.多项式－6m3n2－3m3n2＋15m2n4分解因式时，应提取的公因式为 (　　)
A．3mn B．－3m3n2 C．3mn2 D．－3m2n2
仿例1.多项式a2－4与a2－4a＋4的公因式是_______．
仿例2.若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，则m的值是____．
D
a－2
±24
仿例3.在下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的有 (　　)
①a2－2a－1；②4a2＋a＋；③－4b2＋4ab－a2；
④2a2－12ab＋18b2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
仿例4.分解因式：
(1)x2y－9y；
解：原式＝y(x＋3)(x－3);
(2)x3－2x2y＋xy2；
解：原式＝x(x－y)2；
(3)9x2－y2－4y－4；
解：原式＝9x2－(y2＋4y＋4)
＝(3x－y－2)(3x＋y＋2)；
(4)a2b＋ac2－bc2＋a2c.
解：原式＝b(a2－c2)＋ac(c＋a)
＝b(a＋c)(a－c)＋ac(a＋c)
＝(a＋c)[b(a－c)＋ac]
＝(a＋c)(ab－bc＋ac).
1. 分解因式：x2y2－2xy＋1 的结果是________.
2. 已知 x－2y＝－5，xy＝－2，则 2x2y－4xy2＝______.
3. 已知a－b＝3，则 a(a－2b)＋b2 的值为______.
4. 已知 x2－2(m＋3)x＋9 是一个完全平方式，
则 m＝________.
(xy－1)2
20
9
－6 或 0
练习
5. 如图，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式 .
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a-b
a2-b2=(a+b)(a-b)
6．把下列各式因式分解：
(1) 2m(a－b)－3n(b－a)；
(2) 16x2－64；
(3)－4a2＋24a－36.
解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n).
(2) 原式＝16(x＋2)(x－2).
(3) 原式＝－4(a－3)2.
课堂小结
幂的运算性质
整式的乘法
整式的除法
乘法公式
（平方差、完全平方公式）
特殊
形式
相反变形
因式分解
（提公因式、公式法）
相反变形
互逆运算

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