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第8章 整式乘法与因式分解
课题：因式分解——提公因式法
沪科版 七年级 数学（下）
旧知回顾
在小学，我们学过整数的素因数分解.
12 =___________.
6 =___________.
8 =___________.
30 =___________.
2×3
2×2×2
2×2×3
2×3×5
类似地，在整式中，也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如，
a2 + 2ab + b2 =___________,
a2 －2ab + b2 =___________,
a2 －b2 =______________,
na + nb + nc =____________.
(a + b)2
(a － b)2
(a + b)(a－b)
n(a + b + c)
像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
探究新知
因式分解的概念
（1）m(a + b + c) = ma + mb + mc，
ma + mb + mc = m(a + b + c)；
（2）(a－7)2 = a2 －14a + 49，
a2－14a + 49 = (a－7)2；
（3）(x + 3)(x－3) = x2 －9，
x2－9 = (x + 3)(x－3).
整式乘法
因数分解
m(a + b + c) = ma + mb + mc
(a－7)2 = a2 －14a + 49
(x + 3)(x－3) = x2 －9
ma + mb + mc = m(a + b + c)
a2－14a + 49 = (a－7)2
x2－9 = (x + 3)(x－3)
互为逆变形
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？
（1）分别找出多项式各项所含的相同因式.
①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc.
我们把多项式各项都含有的相同因式叫作这个多项式的公因式。
①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc.
c
x
b
m
试一试：
（2）尝试将它们写成几个因式的乘积，并与同伴进行交流.
①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc.
①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc.
c(a + b)
x(3x + 1)
b(mb + n－1)
m(a + b + c)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
试一试：
典例精析
例1 把下列各式分解因式：
（1）4m2－8mn；
（2）3ax2－6axy + 3a.
解：4m2－8mn
= 4m·m－4m·2n
= 4m(m－2n)
3ax2－6axy + 3a
= 3a·x2－3a·2xy + 3a·1
= 3a(x2－2xy + 1)
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充。
运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？
2x2 + 6x3
= 2x2 ·1 + 2x2 ·3x
= 2x2 (1 + 3x)
①定系数：各项系数的最大公因数；
②定字母：各项的相同字母；
③定指数：相同字母最低次幂.
思考：
例2 把下列各式分解因式：
（1）2x(b + c)－3y(b + c)；
（2）3n(x－2) + (2－x).
解：2x(b + c)－3y(b + c)
= (b + c)(2x－ 3y)
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2－x = －(x－2)
3n(x－2) + (2－x).
= 3n(x－2) － (x－2).
= (x－2)(3n－1).
提公因式法因式分解的步骤
第一步，确定公因式；
第二步，确定各项的余项（某一项和公因式相同时余项是 1）
第三步，提取公因式（把多项式化为两个因式的乘积）
范例1.下列从左到右的变形中，是因式分解的有 (　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
仿例　下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
(　　)
A．a(x－y)＝ax－ay B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
D
练习
1. 填空：
（1）6x3－18x2 = _____(x－3)；
（2）－7a2 + 21a = －7a(_______).
6x2
a－3
2. 把下列各式分解因式：
（1）np－nq； （2）－x3y－x2y2 + xy.
解：（1）np－nq = n( p－q )；
（2）－x3y－x2y2 + xy = －xy( x2 + xy－1).
3. 把下列各式分解因式：
（1）3(a + b)2 +6(a + b)； （2）m(a－b)－n(a－b)；
（3）6(x － y)3－ 3y(y － x)2； （4）mn(m－n)－m(n－m)2.
解：（1）3(a + b)2 +6(a + b) = 3(a + b)(a + b + 2)；
（2）m(a－b)－n(a－b) = (a－b)(m－n)；
（3）6(x － y)3－ 3y(y － x)2 = 3(x－y)2(2x－3y)；
（4）mn(m－n)－m(n－m)2 = m(m－n)(2n－m).
用提公因式法分解因式
pa + pb + pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式 p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2 ＋ x
相同因式 x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
(a + b + c)
pa + pb + pc
p
=
试找出找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：
最大公约数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x.
指数：
相同字母的最低次数
1
问题2 如何确定一个多项式的公因式？
正确找出多项式的公因式的步骤：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当各项系数都为整数时)；
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
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例3 计算：
(1) 39×37－13×91；
(2) 29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14.
(2) 原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023.
＝13×20＝260.
解：(1) 原式＝13×3×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，则用提取公因式的方法可使运算简便．
例4 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
所以原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：因为 a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
范例2.分解因式：
(1)10a2＋25ab－5；　　　(2)9m2＋18mn－27mn2；
(3)a(x＋y)＋b(x＋y)；　　(4)m(a－b)－n(b－a).
（1）解：原式＝5(2a2＋5ab－1)；　
（2）解：原式＝9m(m＋2n－3n2)；
（3）解：原式＝(x＋y)(a＋b)；　　　 　 　
（4）解：原式＝(a－b)(m＋n).
范例3.将－a2b－ab2提公因式－ab后，另一个因式是 (　　)
A．a＋2b　　　　B．－a＋2b　　　　
C．－a－b　　　　D．a－2b
A
范例4.分解因式：
(1)－49a2bc－14ab2c＋7ab；
解：原式＝－7ab(7ac＋2bc－1)；
(2)18(a－m)3－12m(m－a)2；
解：原式＝18(a－m)3－12m(a－m)2
＝6(a－m)2[3(a－m)－2m]＝6(a－m)2(3a－5m)；
(3)(2m－3n)(a＋b)＋(3m－2n)(a＋b).
解：原式＝(a＋b)(2m－3n＋3m－2n)
＝(a＋b)(5m－5n)＝5(a＋b)(m－n).
范例5.计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
解：原式＝(23＋59＋18)×2.718
＝100×2.718
＝271.8.
变例　已知方程组 求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．
解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3
＝7y(x－3y)2＋2(x－3y)3
＝(x－3y)2(2x＋y).
则上式＝12×6＝6.
2x＋y＝6，
x－3y＝1，
随堂检测
1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
2. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2)后，余下的部分是（　　）
A．x + 1 B．2x C．x + 2 D．x + 3
C
D
3. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　）
A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz）
B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2）
C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z）
D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a）
B
4. 把下列各式分解因式：
(1) 8m2n + 2mn =_____________；
(2) 12xyz - 9x2y2 =_____________；
(3) p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ) =______________；
(4) -x3y3 - x2y2 - xy =_______________；
2mn(4m + 1)
3xy(4z - 3xy)
(a2 + b2)(p - q)
-xy(x2y2+xy+1)
(5) (x - y)2 + y(y - x) =______________.
(y - x)(2y - x)
5. 若 9a2(x - y)2 - 3a(y - x)3＝M·(3a + x - y)，则 M 等于__________.
3a(x - y)2
6. 简便计算：
(1) 1.992 + 1.99×0.01；
(2) 20222 + 2022 - 20232；
(3) (- 2)101 + (- 2)100.
(2) 原式 = 2022×(2022 + 1) - 20232
= 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023)
= - 2023.
解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98.
(3) 原式 = (-2)100×(-2 + 1) = 2100×(-1) = -2100.
解：(1) 原式=2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
(2) 原式 = (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)]
= (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1) = 4x + 2.
7. (1) 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值；
(2) 化简求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x = .
将 x = 代入上式，得 原式 = 4.
课堂小结
因式
分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号

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