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沪科版 七年级 数学（下）
第9章 分式
课题：分式方程及其解法
旧知回顾
一元一次方程：
只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程．
甲、乙两名同学同时从学校出发，去15 km外的景区游玩，甲比乙每小时多行1 km，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？设乙同学每小时行____km，则所列方程为______________，此方程__________________．
x
－＝
不是一元一次方程
探究新知
知识模块一　分式方程的概念
兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1776 km.若某直快列车改为高铁列车后，速度提高 48%，运行时间缩短约6 h，求直快列车速度.
速度为(1+48%)x
解：设直快列车速度为x km/h.
直快列车运行时间:
h.
高铁列车运行时间:
h.
兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1776 km.若某直快列车改为高铁列车后，速度提高 48%，运行时间缩短约6 h，求直快列车速度.
兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1776 km.
若某直快列车改为高铁列车后，速度提高 48%，运行时间缩短约6 h，求直快列车速度.
解：设直快列车速度为x km/h.
- = 6
这个方程和我们以往学过有什么区别
- = 6
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
判断下列式子是分式方程
（1） = 5；
（2） = ；
（3）x2+ ；
（4） -2x=1 .
分式方程需满足:
①方程；
②分母含有未知数.
×
×
√
×
注意:(1+48%)x可以写成1.48x .
思考：
- = 6
如何解下面的分式方程
类比：怎么解含有分母的一元一次方程
如：
- = 1
3(x-1)-2×2x= 6
方程两边同乘分母的最小公倍数6
能否用同样的方法解这个分式方程
- = 6
最简公分母：1.48x
方程两边同乘1.48x，得
1.48×1776-1776 = 8.88x .
解这个整式方程，得
x = 96 .
把 x = 96 代入上述分式方程检验:
左边= - = 6=右边
所以 x = 96 是该分式方程的根.
因而，直快列车的速度为96km/h
解方程： = -2 .
解：去分母，得
2-x = -1-2(x-3) .
移项，得
2x-x = -1-2+6 .
解得
x = 3 .
思考:（1）x=3是原分式方程的根吗
x=3是原方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，但不是原分式方程的根.
像x=3这样的根，称为原方程的增根.
探究：
解方程： = -2 .
解：去分母，得
2-x = -1-2(x-3) .
移项，得
2x-x = -1-2+6 .
解得
x = 3 .
思考:（2）为什么会产生增根
去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了.
(x取不等于3的全体实数)
(x取全体实数)
增根需满足的条件:
①去分母后整式方程的根；
②使最简公分母的值为零.
解方程： = -2 .
解：去分母，得
2-x = -1-2(x-3) .
移项，得
2x-x = -1-2+6 .
解得
x = 3 .
将x的值代入最简公分母进行检验.
检验:
当x=3时，最简公分母 x-3=0 .
所以x=3是增根，原方程无解.
解：方程两边同乘以最简公分母(x+3)(x-3)，得
展开，得
解方程，得
因而，原方程的根是 x = 21.
例1 解方程：
(x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)= -x(x+3).
x2 - 4x + 3-2x2 + 18 = -x2 - 3x.
x = 21.
检验：当x = 21时，(x+3)(x-3)≠0.
典例精析
写出方程解的情况
x=a
整式方程
分式方程
①去分母
②解整式方程
③检验
方程两边都乘以最简公分母.
将x=a代入最简公分母，
最简公分母不等于0，x=a是原方程的根；其等于0，原方程无解.
交流：
你能总结出解分式方程的步骤吗
范例1.下列各方程是关于x的分式方程的是(　　)
A．x2＋2x－3＝0 B． ＝5(a≠0)
C． ＝－3 D．ax2＋bx＋c＝0
C
仿例　下列关于x的方程中：① ＝5；② ＝；
③ ＝x－1；④ ＝，是分式方程的是____．(填序号)
②
练习
1.解方程：
解:（1）去分母，得
5(x-2)=3x
解得
x = 5
经检验，x=5 是原方程的根.
(1) =
(2) 1－ =
（2）去分母，得
x-4-1=3-x
解得
x = 4
经检验，x=4 是原方程的增根，
因而原方程无解.
2.防汛期间，县指挥部组织人力到30 km远的堤上抢修堤坝，2人骑摩托车先走，15min后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知汽车速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度.
解：设摩托车的速度是x km/h，则汽车的速度是1.5x km/h.
由题意，列方程得－ = .
解得
x = 40
经检验，x=40是原方程的解，且符合实际意义，
这时 1.5x=60 .
答：摩托车和汽车的速度分别是40 km/h和60 km/h.
知识模块二　分式方程的解法
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？ =
去分母
在方程两边同时乘以一个合适的式子
最简公分母
分式的基本性质
方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x)
解：方程两边同时乘以 (30 + x)(30 - x)，得
检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 6 是原分式方程的解.
90(30 - x) = 60(30 + x)，
解得 x = 6.
x = 6 是原分式方程的解吗？
=
归纳总结
解分式方程的基本思路：
是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边同时乘以最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得
x + 5 = 10，
解得 x = 5.
x = 5 是原分式方程的解吗？
=
检验：将 x = 5 代入原方程中，分母 x - 5 和 x2 - 25的值都为 0，相应的分式无意义.
因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 = 的解.实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么 = ①去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 = ②去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同时乘以不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘以(30+x)(30-x)
当x=6时，(30+x)(30-x)≠0
= ①
真相揭秘：分式两边同时乘以等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 5 = 10
两边同乘以(x + 5)(x - 5)
当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0
= ②
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；
否则，这个解不是原分式方程的解.
要点归纳
1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2. 解这个整式方程；
3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；
4. 写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”
“去分母法”解分式方程的步骤
范例2.解方程：
(1) ＝； (2) ＝－3.
解：(1)方程两边同乘以最简公分母x(x－2)，
得5(x－2)＝7x.解方程，得x＝－5，检验：当x＝－5时，x(x－2)≠0. 所以，原方程的根是x＝－5；
(2)方程两边同乘以最简公分母(x－2)，
得1＝x－1－3(x－2). 解方程，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，所以原方程无解．
范例3.分式方程＝的解为 (　　)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
仿例1.分式方程＝＝0的解是________．
仿例2.若关于x的方程＝＝0有增根，则m的值为____．
仿例3.关于x的方程－2＝无解，则m的值为____．
D
x＝15
2
±
仿例4.解分式方程：
(1) ＝； (2) + ＝1.
解：(1)方程两边同乘以最简公分母2(2x－1)，
得2＝2x－1－3. 解方程，得x＝3.检验：当x＝3时，
2(2x－1)≠0，所以，原方程的根是x＝3；
(2)方程两边同乘以最简公分母(x＋3)(x－3)，
得3＋x(x＋3)＝x2－9.解方程，得x＝－4.
检验：当x＝－4时，(x＋3)(x－3)≠0.所以，原方程的根是x＝－4.
方法归纳
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数
（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使
整式方程无解的数．
随堂检测
D
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　)
A. + B. +
C. +1 + D. = 1
D
2. 要把方程 = 0化为整式方程，方程两边可以同时乘以（ ）
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
3.解方程：1 +
解： 方程两边同乘以 (x - 1)(x + 2)，得
x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
解得：
x = 1.
检验：当 x = 1 时，(x - 1)(x + 2) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
4. 解方程：+ = 2
解：方程两边同乘以x(x+1)，得
解得 x=－
检验：把x=－代入最简公分母，得 x(x+1)≠0.
所以原方程的解为 x=－
x +(x+1)(x－1)=2x(x+1)
5. 若关于 x 的方程 + = 2有增根，求 m 的值.
解：方程两边同乘以 x - 2，得
2 - x + m = 2x - 4.
所以 m = 3x - 6 .
因为该分式方程有增根，
所以 x - 2 = 0，即 x = 2.
所以 m = 0.
课堂小结
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分
母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程

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