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第10章 相交线、平行线与平移
第10章小结与复习
沪科版 七年级 数学（下）
导入新课
两条直线的位置关系
相交
平行
对顶角
垂直
点到直线的距离
特例
平行线的判定
平行线的性质
平移
性质
知识结构框图
知识模块一　相交线
1.对顶角
1
2
A
B
C
D
O
4
3
（1）概念：直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角.
图中还有其他对顶角吗？
（2）性质：对顶角相等
对顶角成对出现
2.垂线
（1）垂直：在两条直线 AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.
A
B
C
D
O
记作：AB⊥CD
读作：AB垂直于CD
（2）垂线：其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点O叫作垂足.
A
B
C
D
O
符号语言：
①判定：因为∠AOD=90°（已知），
(∠AOC =∠BOC =∠BOD =90°)
（3）垂线的判定及性质：
所以AB⊥CD（垂直的定义）.
②性质：因为 AB⊥CD （已知），
所以∠AOD=90°（垂直的定义）.
（4）垂线的画法：①落、②移、③画.
l
P
l
P
点在直线上
点在直线外
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直
这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外
“有”指存在，“只有”指唯一性
（5）垂线的基本事实：
3.垂线段
P
l
O
A
B
C
（1）概念：连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段.
（2）性质：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短.
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系 垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系
范例1:如图，已知直线AB，CD交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝35°，则∠AOC的度数为______，∠EOD的度数为______．
55°
145°
仿例1:如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC.若∠BOD＝76°，则∠BOM的度数为______．
142°
仿例2:跳远比赛时，小新从点A起跳落在沙坑内B处(如图)，这次小新的跳远成绩是3.4 m，则小新从起跳点到落脚点之间的距离(　　)
A．等于3.4 m B．小于3.4 m
C．大于3.4 m D．不能确定
C
知识模块二　平行线的判定和性质
1.平行线
（1）概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
a
b
（2）画法：①放、②靠、③移、④画.
l
l′
P
（3）基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
A
B
C
a
（4）基本事实的推论：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
c
b
a
符号语言：
如果直线 a∥c，b∥c，
那么直线 a∥b .
2.三线八角
角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征
同位角 截线：________ 被截线：______
内错角 截线：________ 被截线：______ 同旁内角 截线：________ 被截线：______ 同侧
同旁
F
Z
U
两旁
之间
同旁
之间
都没有公共顶点
1
5
3
5
4
5
3.平行线的判定
文字简述 符号语言 图示
同位角相等，两直线平行 因为________（已知），所以a∥b
内错角相等，两直线平行 因为________（已知），所以a∥b 同旁内角互补，两直线平行 因为______________（已知），所以a∥b ∠1=∠4
∠2=∠4
∠3+∠4=180°
b
a
c
3
4
2
1
4.归纳：判定直线平行的方法
①定义法
判定方法2：内错角相等，两直线平行
②平行公理的推论：如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b
判定方法1：同位角相等，两直线平行
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
三、平行线的性质
符号语言 文字简述 图示
因为a∥b（已知），所以∠1=∠2 两直线平行，____________
因为a∥b（已知），所以∠1=∠3 两直线平行，____________ 因为a∥b（已知），所以∠1+∠4=180° 两直线平行，____________ b
a
c
3
2
1
4
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
范例2:如图，已知AB∥CD，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为______．
45°
仿例1:如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝70°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3的度数为(　　)
A．50° B．55°
C．60° D．65
B
仿例2:如图，AC⊥CD于点C，ED⊥CD于点D，AB∥EF，∠CAE＝25°，∠BAE＝10°，则∠DEF的度数为(　　)
A．30° B．35°
C．40° D．45°
B
知识模块三　平移
B
A
D
C
A′
B′
D′
C′
（1）概念：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变化叫作平移.
（2）要素：①平移的方向；②平移的距离.
B
A
D
C
A′
B′
D′
C′
（3）性质：①一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行（或在同一直线上）且相等.
②对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等.
③平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.
1
2
3
4
定：确定平移的方向和距离
找：找出图形的关键点
移：过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点
连：按原图形顺序连接对应点
（4）平移作图的一般步骤：
范例3:在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是(　　)
C
仿例1:夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280 m，且桥宽忽略不计，则小桥总长
为______ m.
140
仿例2:如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3的值为_______．
110°
1. 电子屏幕上显示的数字“9” 如图所示，已知 AB ∥CD，∠B=∠D=98°，∠1=82°，则∠E=（ ）
A.98° B.88°
C.72° D.82°
D
随堂检测
2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AB=10 cm,则
点 C 到 AB 的距离是____cm，
点 A 到 BC 的距离是____cm，
点 B 到 AC 的距离是____cm.
4.8
6
8
3.如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过点 O ，
∠AOE= 65°，求∠DOF 的度数.
B
A
C
D
F
E
O
解：因为 AB⊥CD,所以∠AOC = 90°.
因为∠AOE = 65°，
所以∠COE = 25°.
又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)，
所以∠DOF = 25°.
4.如图，已知∠1 : ∠2 : ∠3=2 : 3 : 4，∠AFE=60°，∠BDE=120°，试写出图中互相平行的直线，并给出判定的依据.
解： AB∥DE， EF∥BC，
判定依据如下：
因为∠1 : ∠2 : ∠3=2 : 3 : 4，
∠1+∠2+∠3=180°，
所以∠1=40°，∠2=60°，∠3=80°.
因为∠AFE=60°=∠2，
所以AB∥DE（内错角相等，两直线平行）.
因为∠BDE=120°，所以∠BDE+∠2=180°，
所以EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°，∠3 的度数为 8x°.
5.如图所示，l1，l2，l3 交于点 O，∠1 = ∠2，∠3∶∠1 = 8∶1，求∠4 的度数.
）
）
）
）
1
2
3
4
O
根据题意可得 x° + x° + 8x° = 180°，
解得 x = 18，即∠1 = ∠2 = 18°.
而∠4 = ∠1 + ∠2（对顶角相等），
故∠4 = 36°.
方法归纳 利用方程解决问题 ，是几何与代数知识相结合的一种体现，它可以使解题思路清晰，过程简便.
在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛.

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