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第10章 相交线、平行线与平移
课题：对顶角及其性质
沪科版 七年级 数学（下）
导入新课
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
探究新知
知识模块一　对顶角的概念
观察剪刀剪东西的过程，随着把手之间的角逐渐减小，剪刀刃之间的角是怎样变化的？
剪刀刃之间的角也逐渐变小.
如果把剪刀的结构抽象成一个几何图形，会是怎样的图形？请你在纸上画出来.
1
2
A
B
C
D
O
4
3
剪刀的构造可看作两条相交的直线，剪刀刃之间的角就是两条相交直线所成的角.
图中的角有什么关系？
1
2
A
B
C
D
O
4
3
在剪东西的过程中，∠AOC与∠BOD这两个角有怎样的位置关系？
∠AOC与∠BOD：
①有一个公共顶点O；
②∠AOC的两边分别是∠BOD的反向延长线.
1
2
A
B
C
D
O
4
3
直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角.
∠2和∠4
你能找出图中其他的对顶角吗？
对顶角是成对出现的.
范例1:下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是
(　　)
C
仿例1:下列说法中，正确的是 (　　)
A．有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角
B．有公共顶点，且又相等的角是对顶角
C．两条直线相交所成的角是对顶角
D．有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D
仿例2:如果三条直线AB，CD，EF相交于点O，图中∠COF的对顶角是_________，∠COB的对顶角是_________．
∠DOE
∠AOD
知识模块二　对顶角的性质
探究：
∠1与∠2的大小有什么关系？
∠1与∠3呢？
∠1+∠2=180°（平角的定义）
猜想：对顶角相等
你能证明这个猜想吗？
1
2
A
B
C
D
O
4
3
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明：∠1=∠3， ∠2=∠4.
解：因为直线AB与CD相交于O点，
所以∠1+∠2=180°，
∠2+∠3=180°（平角的定义），
所以∠1=∠3（同角的补角相等）.
同理可得∠2=∠4.
1
2
A
B
C
D
O
4
3
对顶角的性质：
对顶角相等.
符号语言：
因为∠1和∠3是对顶角，
1
2
A
B
C
D
O
4
3
所以∠1=∠3.
范例2:如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠AOD的度数为______．
120°
（1）对顶角是成对出现的，单独的一个角或三个及以上的角不能称为对顶角.
特别提醒
（2）互为对顶角的两个角一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 两个角互为对顶角，既有数量关系，又有位置关系.
仿例1:如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是 (　　)
A．20° B．40°
C．50° D．80°
C
仿例2:图中对顶角的组数为 (　 　)
A．6 B．8
C．10 D．12
A
仿例3:如图，直线AB，CD相交于点O.
(1)若∠1与∠2的差为20°，则∠AOC的度数为_____；
(2)若∠1∶∠2＝3∶2，则∠BOC
的度数为_______．
80°
108°
仿例4:如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝40°，∠COF＝95°，则∠BOF＝______，∠DOE＝____，∠AOC＝______；∠BOD＝______．
40°
95°
45°
45°
随堂检测
1.如图,下列各组角中,是对顶角的一组是（ ）
A.∠1和∠2
B.∠1和∠4
C.∠3和∠4
D.∠3和∠5
D
2.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A.90° B.120° C.180° D.140°
C
3.如图，三条直线 AB，CD，EF相交于点 O，若∠AOD=120°，∠COE=50°.则∠BOE=_______，
∠FOB=_______.
70°
110°
4.如图，直线 AB，CD相交于点O，∠AOC=80°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE : ∠EOD=2 : 3，求∠AOE的度数.
解：因为∠AOC=80°，
∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
所以∠BOD=80°.
由∠BOE∶∠EOD=2∶3，
设∠BOE=2x°，则∠EOD=3x°.
因为∠BOD=∠BOE+∠EOD，
所以2x+3x=80，
解得x=16，
所以∠BOE=2×16°=32°.
因为∠AOE+∠BOE=180°，
所以∠AOE=180°-∠BOE=148°.
课堂小结
对顶角的概念：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角，互为对顶角．
对顶角及其性质
对顶角的性质：对顶角相等.

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