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选择必修三
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式（2）
7.1.2 全概率公式
教学目标
学习目标 数学素养
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程与方法. 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 2.数学类比素养、数据分析素养和数学运算素养.
3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 3.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.条件概率的定义
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2.乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A).
3.求条件概率的方法
方法1：基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；
方法2：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.
4.条件概率的性质 P(A)>0,
⑴P(Ω|A)=1;
⑵如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C | A)=P(B|A)+P(C|A);
⑶设和B互为对立事件，则.
知新探究
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面， 再看一个求复杂事件概率的问题.
从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签具有公平性
3
3
2
知新探究
从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
不同意，因为摸出的球不放回，第二次摸球会受到第一次摸球结果的影响，所以结果不同。
3
3
2
知新探究
从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.如图，事件Ri可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2.
利用概率的加法公式和乘法公式，得
知新探究
一般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,…,n，则对任意的事件B Ω，有
.
我们称上面的公式为全概率公式(total probability formula).全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
对全概率公式的理解：
某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和.
全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：
P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An).
知新探究
【例1】某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
，
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
设A1=“第1天去A餐厅用餐”， B1=“第1天去B餐厅用餐”，
A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥，根据题意得
由全概率公式，得
.
P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）
＝0.5×0.6+0.5×0.8＝0.7.
解：
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
知新探究
全概率公式求概率的步骤
1.拆事件：将原因事件的样本空间拆分成互斥的n个部分如A1, A2, …, An ，
2.设事件：把导致结果的若干个原因事件记为A1, A2, …, An ；把结果事件事件记为B,
3.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai )),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))；
;
.
4.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ).
.
5.作答.
初试身手
1.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
⑴任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
⑵若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
解：
⑴记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，
则Ω＝A∪B，且A，B互斥，由题意，得
P(A)＝，
P(B)＝，
P(C|A)＝0.06，
P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得
P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝××.
⑵P(A)＝，
P(B)＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得
P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝××.
新知探究
【例2】3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.
已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
⑴任取一个零件，计算它是次品的概率；
⑵如果取到的零件是次品，计算它是第 台车床加工的概率.
设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3),则 ，且，，两两互斥，根据题意得
分析：取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3),如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
解：
.
新知探究
【例2】3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.
已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
⑴任取一个零件，计算它是次品的概率；
⑵如果取到的零件是次品，计算它是第 台车床加工的概率.
解：
.
⑴由全概率公式，得
.
.
新知探究
【例2】3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.
已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
⑴任取一个零件，计算它是次品的概率；
⑵如果取到的零件是次品，计算它是第 台车床加工的概率.
解：
类似地，可得
⑵“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率.
,
，
.
知新探究
对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 ，， 就分别是第台车床操作员应承担的份额.
将例2中的问题⑵一般化，可以得到贝叶斯公式.
)是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品（发生）是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
例2中，的实际意义是什么？
贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayes,1702-1761)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.
知新探究
贝叶斯公式(bayes formula):
, .
设是一组两两互斥的事件，且，，则对任意的事件，，有
对分子用乘法公式
对分母用全概率公式
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
知新探究
【例3】数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0；已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.
假设发送信号0和1是等可能的.
⑴分别求接收的信号为０和１的概率；；
分析：设A＝ “发送的信号为０”，B＝ “接收到的信号为０”．为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用右图直观表示．
知新探究
【例3】数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0；已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.
假设发送信号0和1是等可能的.
⑴分别求接收的信号为０和１的概率；
解：
设“发送的信号为0”,“接收的信号为0”, “发送的信号为1”,
“接收的信号为1”.由题意得
.
,
.
知新探究
【例3】数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0；已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.
假设发送信号0和1是等可能的.
⑵已知接收的信号为０，求发送的信号是１的概率．
解：
设“发送的信号为0”,“接收的信号为0”, “发送的信号为1”,
“接收的信号为1”.由题意得
.
初试身手
2.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率.(P91-10)
解：
记=“经过次传球后，球在甲的手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，则有
,
∴
，
即,
∴，且，
∴数列表示以为首项，为公比的等比数列，
∴，即.
即n次传球后球在甲手中的概率是．
初试身手
【变式1】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在乙手中的概率.
解：
设次传球后球在乙手中的概率为，而n=1时，,
记=“n次传球后球在乙手中”，则,
∴.
即,
∴，且，
∴数列表示以为首项，为公比的等比数列，
∴，即.
即n次传球后球在乙手中的概率是．
初试身手
【变式2】甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率.
解：
设次传球后球在甲手中的概率为，而n=1时，,
记=“n次传球后球在甲手中”，则,
∴.
即,
∴，且，
∴数列表示以为首项，为公比的等比数列，
∴，即.
即n次传球后球在乙手中的概率是．
课堂小结
1.样本空间的划分
设 是试验的样本空间, , ,…, 为样本空间的一组基事件，若
(1) ，其中
(2) ∪… ∪ = ,
则称 , ,…, 为样本空间的一个划分.
2.全概率公式
一般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,…,n，则对任意的事件B Ω，有
.
多因一果
课堂小结
3.贝叶斯公式
, .
设是一组两两互斥的事件，且，，则对任意的事件，，有
对分子用乘法公式
对分母用全概率公式
·····
·····
由果求因
课堂小结
由因求果
执果寻因
1.设事件
2.写概率
3.代公式
全概率公式　
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn)
=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)
条件概率P(B|A)＝ →
乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)
*贝叶斯公式
作业布置
作业：
P52 习题7.1 第4，5，7，8题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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