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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 三角形及四边形
4.6特殊的平行四边形
矩形 定义 有一个内角是 的平行四边形叫做矩形.
性质 （1）平行四边形全部性质 （2）特殊性质：①四个角都是 . ②矩形的对角线互相
判定 ①有 角是直角的四边形是矩形; ②对角线 的平行四边形是矩形; ③有 角是直角的平行四边形是矩形.
面积 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.
菱形 定义 一组邻边 的平行四边形叫做菱形.
性质 （1）平行四边形全部性质 （2）特殊性质： ①菱形的四条边 ②两条对角线互 ,且每一条对角线平分一组 .
判定 ①一组 相等的平行四边形是菱形; ②对角线互相 的平行四边形是菱形; ③四条边都 的四边形是菱形.
面积 方法一：菱形的面积等于对角线乘积的一半。 方法二：菱形的面积等于底乘高。
正方形 定义 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.
性质 （1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质. （2）正方形的四个角都是 ，四条边 . （3）正方形的对角线 且互相 .
判定 （1）有一组邻边 的矩形是正方形. （2）对角线互相 的矩形是正方形. （3）有一个角是 的菱形是正方形. （4）对角线 的菱形是正方形.
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
正方形的模型 十字架模型 条件：正方形ABCD，AM⊥BN 条件：正方形ABCD，EF⊥HQ 结论：AM=BN 结论：EF=FQ
对角线模型
半角模型 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°连接EF． 结论：EF=BE+DF．
中点+折叠模型
【题型一】矩形的性质与判定
【例1.1】（2025 宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为　 　 ．
【例1.2】（2025 东营）如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD＝BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠ABD＝∠ACD D．OB＝OC
【例1.3】（2025 杭州二模）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE．
（1）求证：△OEC≌△OFA；
（2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形．
【例1.4】（2025 北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
【题型二】菱形的性质与判定
【例2.1】（2025 杭州模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
【例2.2】（2025 西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE＝，则菱形ABCD的面积是　　 ．
【例2.3】（2024 浙江模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）作∠AEB的平分线交AB于点G，若EG∥AC，求证：四边形AECF是菱形．
【例2.4】（2025 新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
【题型三】正方形的性质与判定
【例3.1】（2025 衢州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）
A． B． C． D．
【例3.2】（2025 衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB，
（1）比较线段大小：DF　　 DC．（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于 　　 ．
【例3.3】（2024 汉川市模拟）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【题型四】四边形综合
【例4.1】（2025 普陀区三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG．
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD＝2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若，AB＝8，求四边形BEFG的面积．
【例4.2】（2026 柳州一模）【综合与探究】
问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′，点A，B，D的对应点分别为点A′，B′，D′，设直线AD与直线A′D′交于点E．
猜想证明：
（1）猜想DE与D′E的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点B′恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A′恰好落在AD的延长线上（即点A′与点E重合），连接A′C，求证：四边形A′DBC是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，若AB＝5，BC＝3，当A′，B′，D三点在同一条直线上时，请直接写出A′D的值．
1．（2025 路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023 丽水）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　）
A． B．1 C． D．
3．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
4．（2025 嵊州市模拟）已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长等于（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
5．（2025 宁波模拟）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，ED恰好平分∠AEC．若AB＝2，则△ADE的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．（2025 宁海县二模）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，取边AB上任意一点D（不与点A重合），连结DC，作 ADCE，AC与DE交于点F，则下列结论中正确的是（　　）
①当点D位置变化时，F始终为AC中点；
②当D为AB中点时，线段DE取得最小值；
③当CD⊥AB时，四边形ADCE为矩形．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2025 丽水一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE、△BCF、△CDG、△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE、CE．若AE＝4，BE＝3，则△CDE的面积为（　　）
A．6 B．6.5 C．13 D．12
8．（2025 瓯海区二模）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，BE＝AB，EF⊥BC交AD于点F，交对角线AC于点G，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．△ADG的面积 B．△ABC的面积 C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
9．（2023 滨江区二模）如图，点E，F、G分别是正方形ABCD边AB，CD，DA上的点，且EG＝GF，∠EGF＝90°．连结EF并延长，交AD的延长线于点M，设∠M＝a，则＝（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 钱塘区三模）如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），连结CF，以CF为对角线作正方形CEFG，连结BG，DE．当点F运动时，下列比值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023 台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　 ．
12．（2023 绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　 　 ．
13．（2025 萧山区二模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．且cos∠EAF＝，AE＝4，则AB的长为 　　 ．
14．（2024 上城区二模）如图，矩形ABCD，点E、F分别是BC，CD上一点，连接EF，令∠AEB＝α，已知AE＝AF，BE＝5CE，，则sin∠AFD＝　　 ．
15．（2025 杭州模拟）窦龙（原创）如图，正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC上，连接DE和AF交于点L，连接EF，若AF⊥DE，FL＝7，四边形EFCD的面积是65，则DL的长为　　 ．
16．（2023 浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
17．（2025 浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
18．（2024 上城区二模）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F是线段BD上的两点，且∠AEB＝∠CFD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）从下列条件：①AC平分∠EAF，②∠EAF＝60°，③AB＝BC中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形AECF为菱形．我选的是 　 　 （请填写序号），并证明．
19．（2025 金华模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）若AB＝3，AC＝5，求菱形OCED的面积．
20．（2025 舟山三模）如图，在 ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE＝AD．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）F为CD的中点，连接AF，BF．已知AB＝6，BF⊥AF，求BF的长．
21．（2025 浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．
（1）如图1，求sin∠BAC的值．
（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA﹣PB的最小值．
1．（2025 泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．（2025 绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（　　）
A．25 B．25 C．25 D．50
3．（2025 浙江模拟）在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC平分∠DAB D．AC⊥BD
4．（2025 浙江模拟）已知一个菱形的周长是20，面积是24，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）
A．7 B． C．14 D．
5．（2025 虹口区二模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．∠DAC＝∠BAC D．∠ABC＝∠BAD
6．（2025 新昌县二模）如图，在面积为20的正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点．CE，BF交于点G，则BG的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
7．（2025 和平区二模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．（2025 平湖市二模）如图，正方形ABCD的边长是6，点E在边BC上，CE＝2BE，连结AE，过点B作AE的垂线交CD于点G，连结AG，线段AG的长是（　　）
A． B． C．7 D．
9．（2025 浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．（2025 洞头区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AD＝2，连接BD，O是BD的中点，E是DA延长线上的一点，连接OE，作∠EOF＝120°，交AB的延长线于点F，记BF＝x，AE＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．
11．（2025 双流区模拟）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE．若AE⊥OD，AD＝2，则AB＝ 　 　 ．
12．（2025 苍梧县一模）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 　　 ．
13．（2025 温州模拟）如图，已知菱形ABCD，∠A＝60°，E为AB的中点，连结CE，则sin∠DCE的值为 　　 ．
14．（2025 无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　　 ．
15．（2025 黄岩区二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，BC上，且MN∥AB，当正方形FGCE的顶点F是MN的中点时，矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，则AM的长为 　　 ．
16．（2025 浙江模拟）阅读下列材料：
数学课上，教师提出一道尺规作图问题： 已知：如图，AB∥CD，AE平分∠BAC交CD于点E． 求作：菱形ACEF，使点F在AB上．
小明：如图1，作∠ACD的平分线CF交AB于点F，连接EF，则四边形ACEF是菱形． 小英：如图2，以点E为圆心，AE长为半径作弧，交AB于点F，连接EF，则四边形ACEF是菱形． . 小明：小英，你的作法有问题． 小英：哦……我的作法确实存在问题，你的作法是正确的．
（1）给出小明作法中四边形ACEF是菱形的证明．
（2）指出小英作法中存在的问题．
17．（2025 大理州二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AC，点E，F分别为BO，DO中点，顺次连接点A，E，C，F．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当AB⊥AC，时，求△BEC的面积．
18．（2025 衢州三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．
19．（2025 临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．
（1）求证：AE＝HF．
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．
20．（2022 萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．
21．（2025 景宁县二模）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，延长CD使DF＝BE，连接AE，AF，EF，过点A作AH⊥EF，交EF于点G．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：∠AGC＝2∠AFC；
（3）若CH＝GH，求的值．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 三角形及四边形
4.6特殊的平行四边形
矩形 定义 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质 （1）平行四边形全部性质 （2）特殊性质：①四个角都是直角. ②矩形的对角线互相平分且相等
判定 ①有三个角是直角的四边形是矩形; ②对角线相等的平行四边形是矩形; ③有一个角是直角的平行四边形是矩形.
面积 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.
菱形 定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质 （1）平行四边形全部性质 （2）特殊性质： ①菱形的四条边相等 ②两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.
判定 ①一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形; ③四条边都相等的四边形是菱形.
面积 方法一：菱形的面积等于对角线乘积的一半。 方法二：菱形的面积等于底乘高。
正方形 定义 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.
性质 （1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质. （2）正方形的四个角都是直角，四条边相等. （3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
判定 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形. （2）对角线互相垂直的矩形是正方形. （3）有一个角是直角的菱形是正方形. （4）对角线相等的菱形是正方形.
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
正方形的模型 十字架模型 条件：正方形ABCD，AM⊥BN 条件：正方形ABCD，EF⊥HQ 结论：AM=BN 结论：EF=FQ
对角线模型
半角模型 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°连接EF． 结论：EF=BE+DF．
中点+折叠模型
【题型一】矩形的性质与判定
【例1.1】（2025 宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为　35°　 ．
【点拨】由外角的性质可得∠BOC＝110°，由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解析】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵DE⊥AC，∠BDE＝20°，
∴∠BOC＝110°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC＝AO＝DO，
∴∠ACB＝∠OBC＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
【例1.2】（2025 东营）如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD＝BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠ABD＝∠ACD D．OB＝OC
【点拨】先证明四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，再由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：∵点O是△ABC边AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
A、∵AB＝BC时，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；
B、∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDO，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠CDO＝∠ACD，
∴OC＝OD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵OB＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【例1.3】（2025 杭州二模）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE．
（1）求证：△OEC≌△OFA；
（2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形．
【点拨】（1）根据平行线的性质推出∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO，求出OE＝OF，即可证得结论；
（2）根据全等得出OA＝OC，求出AC＝BD，再根据平行四边形和矩形的判定推出即可．
【解析】证明：（1）∵AF∥CE，
∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO，
∵O为BD的中点，即OB＝OD，BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
在△OEC和△OFA中，
，
∴△OEC≌△OFA（AAS）；
（2）∵△OEC≌△OFA，
∴OC＝OA，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵OA＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC，
∴四边形ABCD为矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
【例1.4】（2025 北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
【点拨】（1）证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，再证明四边形DFCG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）证明△BDF是等腰直角三角形，得BF＝DF＝3，则BC＝BF+FC＝8，再由三角形中位线定理求出DE＝4，然后由矩形的性质得CG＝DF＝3，∠G＝90°，则EG＝DG﹣DE＝1，进而由勾股定理求出CE的长，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DG＝FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴平行四边形DFCG是矩形；
（2）解：∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝3，
∵DG＝FC＝5，
∴BC＝BF+FC＝3+5＝8，
由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE＝BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°，
∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1，
∴CE＝＝＝，
∵E为AC的中点，
∴AC＝2CE＝2．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【题型二】菱形的性质与判定
【例2.1】（2025 杭州模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
【点拨】利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解．
【解析】解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∵DE⊥AB，
∴OE＝OB＝OD＝6，
∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62，
∴AO＝8，
∴AC＝16，
∵BD＝12，
∴菱形ABCD的面积为：
AC BD＝×16×12＝96．
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质，关键是掌握并灵活应用菱形的性质．
【例2.2】（2025 西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE＝，则菱形ABCD的面积是　6　 ．
【点拨】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC，由AE⊥BC，垂足为E，得∠AEC＝90°，则OE＝OA＝OC＝AC，因为OE＝，所以AC＝2OE＝2，而BD＝6，则S菱形ABCD＝AC BD＝6，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC，
∵AE⊥BC，垂足为E，OE＝，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝OC＝AC，
∴AC＝2OE＝2，
∵BD＝6，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×2×6＝6，
故答案为：6．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出AC的长是解题的关键．
【例2.3】（2024 浙江模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）作∠AEB的平分线交AB于点G，若EG∥AC，求证：四边形AECF是菱形．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA＝OC，进而利用全等三角形的判定和性质得出AF＝CE，进而得出BE＝DF即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠GEB＝∠ACE＝∠EAC，进而利用菱形的判定解答即可．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，AD＝BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△FAO与△CEO中，
，
∴△FAO≌△CEO（ASA），
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
即BE＝DF；
（2）∵AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EG∥AC，
∴∠GEB＝∠ACE，∠GEA＝∠EAC，
∵∠AEB的平分线交AB于点G，
∴∠GEB＝∠GEA，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴AE＝EC，
∴ AECF是菱形．
【点睛】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA＝OC解答．
【例2.4】（2025 新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积．
【点拨】（1）证明△CDF≌△EBF（SAS），等CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，则BE∥CD，再证明四边形AEBD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接ED，证明四边形BCDE是平行四边形，得DE＝BC＝8，再求出AC＝2AD＝10，进而由勾股定理得AB＝6，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【解析】（1）证明：∵F是BD的中点，
∴DF＝BF，
∵CF＝EF，∠CFD＝∠EFB，
∴△CDF≌△EBF（SAS），
∴CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，
∴BE∥CD，
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，
∴BD＝BC＝AD＝CD，
∴BE＝CD＝AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴平行四边形AEBD是菱形；
（2）解：如图，连接ED，
∵BE∥CD，CD＝BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC＝8，
∵AD＝BE＝5，BD是△ABC中线，
∴AC＝2AD＝10，
∵∠ABC＝90°，BC＝8，
∴AB＝＝＝6，
∴菱形AEBD的面积＝AB DE＝×6×8＝24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【题型三】正方形的性质与判定
【例3.1】（2025 衢州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）
A． B． C． D．
【点拨】过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．
【解析】解：过点E作EF⊥DC于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB＝BC＝1，
由勾股定理得，
∴，
在△EOC和△EFC中，
，
∴△EOC≌△EFC（AAS），
∴，
∵EF⊥DC，∠BDC＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质：对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．
【例3.2】（2025 衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB，
（1）比较线段大小：DF　＝　 DC．（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于 　　 ．
【点拨】（1）根据正方形ABCD由四个全等的直角三角形，得∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°，进而可以解决问题；
（2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x，则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x，根据勾股定理求出a＝4x，进而可以解决问题．
【解析】解：（1）∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形，
∴∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°，
∵FM＝MB，
∴∠ABE＝∠MFB，
∴∠MFB＝∠BCF，
∵∠EFD＝∠MFB，
∴∠MFD＝∠BCF，
∵∠EFC＝∠BCD＝90°，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
故答案为：＝；
（2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x，
则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AD2+AM2＝DM2，
a2+（a﹣x）2＝（a+x）2，
解得：a＝4x（a＝0舍去），
∴AM＝AB﹣MB＝a﹣x＝3x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等图形，一元二次方程，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
【例3.3】（2024 汉川市模拟）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【点拨】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝6．
【解析】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
【题型四】四边形综合
【例4.1】（2025 普陀区三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG．
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD＝2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若，AB＝8，求四边形BEFG的面积．
【点拨】（1）根据中位线定理可得EF∥AD，，，所以EF∥BG，EF＝BG，即可得证；
（2）先证BO＝BA，再利用等腰三角形三线合一证垂直即可；
（3）过点E作 EH⊥BC于点H，易得BD＝8，根据边关系可得∠BAO＝60°，进而知道△ABC为等边三角形，从而得解．
【解析】（1）证明：在 ABCD中，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴EF∥AD，，，
∴EF∥BG，EF＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形；
（2）证明：在 ABCD中，
∴AC，BD互相平分，
∴BD＝2BO，
∵BD＝2AB，
∴BO＝AB，
∵点E为AO中点，
∴BE⊥AO；
（3）解：过点E作EH⊥BC于点H，
∵，AB＝8，
∴，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，，
∴，
∴∠BAO＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝8，∠ECH＝60°，
∴，
∴CE＝6，，
∴四边形BEFG的面积＝．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的性质、中位线性质定理、解直角三角形、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【例4.2】（2026 柳州一模）【综合与探究】
问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′，点A，B，D的对应点分别为点A′，B′，D′，设直线AD与直线A′D′交于点E．
猜想证明：
（1）猜想DE与D′E的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点B′恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A′恰好落在AD的延长线上（即点A′与点E重合），连接A′C，求证：四边形A′DBC是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，若AB＝5，BC＝3，当A′，B′，D三点在同一条直线上时，请直接写出A′D的值．
【点拨】（1）证Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL）即可得证；
（2）证A′D∥BC，A′D＝BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（3）分开两种情况：当点A′、B′在CD的同一侧时，或当点A′，B′在CD的异侧时，进而求解即可．
【解析】（1）解：DE与D′E，理由如下：
如图①，连接CE，
由题知四边形ABCD与四边形A′B′CD′都是矩形，
∴∠ADC＝∠CD′E＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝90°，
即∠CDE＝∠CD′E，
∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′，
∴CD＝CD′，
在Rt△CDE和Rt△CD′E中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL），
∴DE＝D′E；
（2）证明：如图2：连接AC，
根据旋转的性质可得：AC＝A′C，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°，
即CD⊥AA′，
又∵AC＝A′C，
∴AD＝A′D，
∴A′D＝BC，
∵A′D∥BC，A′D＝BC，
∴四边形A′DBC是平行四边形；
（3）解：当点A′、B′在CD的同一侧时，如图3，
根据旋转的性质可得：BC＝B′C＝3，AB＝A′B′＝5，∠A′B′C＝∠ABC＝90°，
∴∠DB′C＝90°，
在Rt△CDB′中，由勾股定理得：B'D＝＝＝4，
∴A′D＝A′B′+B′D＝5+4＝9；
当点A′，B′在CD的异侧时，如图4，
根据旋转的性质可得：BC＝B′C＝3，AB＝A′B′＝5，
∠A′B′C＝∠ABC＝90°，
∴∠DB′C＝90°，
在Rt△CDB′中，由勾股定理得：B'D＝＝＝4，
∴A′D＝A′B′﹣B′D＝5﹣4＝1；
综上，A′D的值为1或9．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
1．（2025 路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，则可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
又∵AC＝4，
∴OA＝OB＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
2．（2023 丽水）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【点拨】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性质得OB＝，然后由勾股定理得OA＝，即可得出结论．
【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
3．（2025 台州一模）如图，在 ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC
【点拨】根据菱形的判定定理判断即可．
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴ ABCD是矩形，故符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
4．（2025 嵊州市模拟）已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长等于（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
【点拨】根据菱形的性质求得OD，OA的长，再根据勾股定理求得边长AD的长．
【解析】解：如图：∵菱形ABCD中BD＝8cm，AC＝6cm，
∴OD＝BD＝4cm，OA＝AC＝3cm，
在直角三角形AOD中AD＝＝＝5cm．
故选：D．
【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
5．（2025 宁波模拟）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，ED恰好平分∠AEC．若AB＝2，则△ADE的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【点拨】过点E作EF⊥AD交AD与点F，则EF＝AB＝2，由矩形的性质可得出∠DAB＝∠B＝90°，由角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE＝45°，进而可得出∠BEA＝45°，由等角对等边可得出AB＝BE＝2，由勾股定理得出，再由角平分的计算以及三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质得出，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：过点E作EF⊥AD交AD与点F，
则EF＝AB＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵AE是∠DAB的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BEA＝45°，
∴AB＝BE＝2，∠AEC＝180°﹣∠BEA＝180°﹣45°＝135°，
∴，
∵ED恰好平分∠AEC，
∴°，
∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣DAE＝67.5°，
∴，
∴，
所以△ADE的面积为2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握这些知识是解题的关键．
6．（2025 宁海县二模）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，取边AB上任意一点D（不与点A重合），连结DC，作 ADCE，AC与DE交于点F，则下列结论中正确的是（　　）
①当点D位置变化时，F始终为AC中点；
②当D为AB中点时，线段DE取得最小值；
③当CD⊥AB时，四边形ADCE为矩形．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】根据平行四边形的性质得到AF＝CF，于是得到当点D位置变化时，F始终为AC中点；故①正确；根据平行四边形的性质得到DE＝2DF，AF＝CF，求得DE＝BC，得到线段DE不存在最小值，故②错误；根据矩形的判定定理得到四边形ADCE为矩形．故③正确．
【解析】解：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AF＝CF，
∴当点D位置变化时，F始终为AC中点；故①正确；
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴DE＝2DF，AF＝CF，
∵D为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线，BC＝2DF，
∴DE＝BC，
∴线段DE不存在最小值，故②错误；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．（2025 丽水一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE、△BCF、△CDG、△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE、CE．若AE＝4，BE＝3，则△CDE的面积为（　　）
A．6 B．6.5 C．13 D．12
【点拨】过点E作MN⊥CD，根据正方形的性质及矩形的判定得出四边形BCMN为矩形，再由勾股定理得出AB＝CD＝BC＝MN＝5，利用三角形等面积法确定，得出，即可求解．
【解析】解：过点E作MN⊥CD，延长ME交AB于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴MN⊥AB，
∴四边形BCMN为矩形，
∵AE＝4，BE＝3，
∴AB＝，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝MN＝5，
∴，即，
∴，
∴，
∴S△CDE＝，
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理解三角形，矩形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8．（2025 瓯海区二模）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，BE＝AB，EF⊥BC交AD于点F，交对角线AC于点G，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．△ADG的面积 B．△ABC的面积 C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
【点拨】依题意得四边形ABEF是正方形，四边形EFCD是矩形，设AB＝BE＝EF＝AF＝CD＝a，CE＝DF＝b，GE＝x，则GF＝a﹣x，证明△AGF和△CGE相似得x＝，进而得S阴影＝S△BEG+S△DEG＝x（a+b）＝ab，则S阴影＝S矩形CDFE，由此即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∵EF⊥BC，
∴∠BEF＝∠CEF＝90°，
∴四边形ABEF和四边形EFCD是矩形，
又∵BE＝AB，
∴四边形ABEF是正方形，
设AB＝BE＝EF＝AF＝CD＝a，CE＝DF＝b，GE＝x，
∴GF＝EF﹣GE＝a﹣x，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△CGE，
∴＝，
∴，
∴x＝，
∴S△BEG＝BE GE＝ax，S△DEG＝GE EC＝bx，
∴S阴影＝S△BEG+S△DEG＝x（a+b）＝ab，
又∵S矩形CDFE＝ab，
∴S阴影＝S矩形CDFE，
∴若求阴影部分的面积，则只需要知道四边形CDFE的面积即可．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9．（2023 滨江区二模）如图，点E，F、G分别是正方形ABCD边AB，CD，DA上的点，且EG＝GF，∠EGF＝90°．连结EF并延长，交AD的延长线于点M，设∠M＝a，则＝（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据直角三角形的三角函数得出tan∠DGF，进而利用正方形的性质解答即可．
【解析】解：设AE＝a，AB＝b，
∵∠EGF＝90°，
∴∠AGE+∠DGF＝90°，
∵∠AGE+∠AEG＝90°，
∴∠DGF＝∠AEG，
又∵EG＝FG，
∴△AEG≌△DGF，
∴DG＝AE＝a，AG＝DF＝b﹣a，
∵DF∥AE，
∴＝，
即＝，
∴DM＝，
∵tanα＝＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和解直角三角形解答．
10．（2025 钱塘区三模）如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），连结CF，以CF为对角线作正方形CEFG，连结BG，DE．当点F运动时，下列比值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，根据正方形的性质及平行线的性质证明∠BCG＝∠DCE＝∠DFE，FH＝AD＝CD，进而可依据“SAS”判定△FHE和△CDE全等则HE＝DE，∠FEH＝∠CED，由此得∠DEH＝∠CEF＝90°，则△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理得AF＝DH＝DE，则＝，再证明△BCG和△DCE全等得BG＝DE，继而得＝，由此即可得出答案．
【解析】解：延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝CB，AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠DFC，
∵四边形CEFG是正方形，
∴FE＝CE＝CG，∠CEF＝∠GCE＝90°，∠GCF＝∠EFC＝45°，
∴∠BCF﹣∠GCF＝∠DFC﹣∠EFC，
∴∠BCG＝∠DFE，
∵∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCG+∠GCD＝∠GCD+∠DCE，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴∠DFE＝∠DCE，
∵DH＝AF，
∴DH+DF＝AF+DF，
∴FH＝AD＝CD，
在△FHE和△CDE中，
，
∴△FHE≌△CDE（SAS），
∴HE＝DE，∠FEH＝∠CED，
∴∠FED+∠DEH＝∠FED+∠CEF，
∴∠DEH＝∠CEF＝90°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DH＝＝DE，
∴AF＝DE，
∴＝，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
∴＝，
∴当点F运动时，AF/BG的值不变，始终等于．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
11．（2023 台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　 ．
【点拨】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
12．（2023 绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　10°或80°　 ．
【点拨】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数．
【解析】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝40°，
∴∠DAC＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∵AE′＝AC，
∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，
综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，
故答案为：10°或80°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
13．（2025 萧山区二模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．且cos∠EAF＝，AE＝4，则AB的长为 　　 ．
【点拨】延长AF，BC相交于点M，过点E作EN⊥AF于点N，设BE＝CE＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，证明△ABE和△ADF全等得AE＝AF＝4，再证明△ADF和△MCF全等得AF＝MF＝4，AD＝CM＝2a，则EM＝3a，解Rt△AEN得AN＝3，FN＝1，EN＝，进而得MN＝5，然后在Rt△MEN中由勾股定理求出a＝，继而可得AB的长．
【解析】解：延长AF，BC相交于点M，过点E作EN⊥AF于点N，如图所示：
∵点E是BC的中点，
∴设BE＝CE＝a，则BC＝2a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AD∥BC，∠B＝∠D，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF＝a，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠M，∠D＝∠MCF，
在△ADF和△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（AAS），
∴AF＝MF＝4，AD＝CM＝2a，
∴EM＝CE+CM＝3a，
在Rt△AEN中，cos∠EAF＝＝，
∴AN＝AE＝＝3，
∴FN＝AF﹣AN＝4﹣3＝1，
由勾股定理得：EN＝＝＝，
在Rt△MEN中，MN＝MF+FN＝5，
由勾股定理得：EM＝＝＝，
∴，
∴a＝，
∴AB＝2a＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
14．（2024 上城区二模）如图，矩形ABCD，点E、F分别是BC，CD上一点，连接EF，令∠AEB＝α，已知AE＝AF，BE＝5CE，，则sin∠AFD＝　　 ．
【点拨】根据sin∠AEB＝sinα＝＝，设AB＝3x，则AE＝5x，得BE＝4x，然后求出AD＝BC＝5CE＝，进而可得sin∠AFD的值．
【解析】解：在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，
∵∠AEB＝α，
∴sin∠AEB＝sinα＝＝，
设AB＝3x，则AE＝5x，
∴BE＝＝4x，
∵AE＝AF，
∴AF＝5x，
∵BE＝5CE，
∴CE＝BE＝，
∴AD＝BC＝BE+EC＝5CE+CE＝6CE＝，
∴sin∠AFD＝＝×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
15．（2025 杭州模拟）窦龙（原创）如图，正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC上，连接DE和AF交于点L，连接EF，若AF⊥DE，FL＝7，四边形EFCD的面积是65，则DL的长为　9　 ．
【点拨】先根据正方形性质和全等三角形证明得到一些线段和角度相等关系，再通过四边形面积求出相关线段长度，最后利用勾股定理求出DL的长度．
【解析】解：连接DF和CE交于点G．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD．
∴∠BAF+∠DAF＝90°．
∵AL⊥ED，
∴∠ALD＝90°．
∴∠DAF+∠ADE＝90°．
∴∠BAF＝∠ADE．
在△ADE≌△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA）．
∴AE＝BF．
∵AB＝BC，
∴BE＝CF．
在△BEC和△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD（SAS）．
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF．
∴∠FGC＝∠GDC+∠GCD＝∠GCF+∠GCD＝∠DCF＝90°．
∴DF⊥EC．
∵S四边形EFCD＝S△EDF+S△DFC，
∴．
∴．
∴DF2＝130．
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
16．（2023 浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
【点拨】（1）欲证明AE＝AF，只需要证得△ABE≌△ADF即可；
（2）根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE与△ADF中，
∵．
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
∴AE＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD＝180°．
而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°．
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°．
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°．
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
17．（2025 浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
【点拨】（1）由正方形的性质可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，据此可利用SAS证明△ABE≌△CBE；
（2）由正方形的性质可得∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAE的度数即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
18．（2024 上城区二模）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F是线段BD上的两点，且∠AEB＝∠CFD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）从下列条件：①AC平分∠EAF，②∠EAF＝60°，③AB＝BC中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形AECF为菱形．我选的是 　③（答案不唯一）．　 （请填写序号），并证明．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，进而得OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证明平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，再由菱形的判定即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：我选的是③AB＝BC，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形，
故答案为：③（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19．（2025 金华模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）若AB＝3，AC＝5，求菱形OCED的面积．
【点拨】（1）判定四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质得到OD＝OC，即可证明四边形OCED是菱形；
（2）连接OE，判定四边形OBCE是平行四边形，推出OE＝BC，求出BC＝＝4，由菱形的面积公式即可求出菱形OCED的面积．
【解析】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝BD，OC＝AC，BD＝AC，
∴OD＝OC，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：连接OE，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝3，
∴BC⊥DC，
∴BC∥OE，
∵CE∥BD，
∴四边形OBCE是平行四边形，
∴OE＝BC，
∵AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∴菱形OCED的面积＝DC OE＝×3×4＝6．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的判定方法，菱形的面积公式．
20．（2025 舟山三模）如图，在 ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点E，AE＝AD．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）F为CD的中点，连接AF，BF．已知AB＝6，BF⊥AF，求BF的长．
【点拨】（1）先由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，AD＝BC，因为AE＝AD，故AE∥BC，AE＝BC，得证四边形AEBC是平行四边形，再结合有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可作答．
（2）因为四边形AEBC是矩形，则∠CAD＝∠CAE＝90°，因为F为CD的中点，所以，因为∠AFB＝90°，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答．
【解析】（1）证明：由题意可得：AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝AD，
∴AE∥BC，AE＝BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形AEBC是矩形．
（2）解：由（1）得四边形AEBC是矩形，AD＝BC，
∴∠CAD＝∠CAE＝90°，
由题意可得：，
∵∠AFB＝90°，
由勾股定理得．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．（2025 浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．
（1）如图1，求sin∠BAC的值．
（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA﹣PB的最小值．
【点拨】（1）先根据菱形的性质可得AC⊥BD，，再根据勾股定理可得OB＝3，然后根据正弦的定义求解即可得；
（2）①连接BD，设AC，BD交于点O，同理求出OB＝3，则BD＝6；证明EF∥BD，得到∠DBE＝∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，则∠DEB＝∠DBE，据此可得DE＝DB＝6，即可得到AE＝AD+DE＝11；
②由勾股定理得，根据PA＝OA+OP＝4+OP，可求出，根据，可推出当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为，据此求解即可．
【解析】解：（1）如图，设AC，BD交于点O，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，
∴AC⊥BD，，
∴，
∴；
（2）①如图，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，BD＝2OB，AD＝AB＝5，
∴，
∴BD＝6；
∵EF⊥AC，AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴∠DBE＝∠FEB，
由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝6，
∴AE＝AD+DE＝11；
②在 Rt△BOP中，由勾股定理得，
∵PA＝OA+OP＝4+OP，
∴PA﹣PB＝4+OP﹣
＝
＝
＝，
∵，
∴要使 PA﹣PB的值最小，则要最大，
∴要有最小值，
又∵的值随着OP的值增大而增大，
∴的值随着OP的值增大而增大，
∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值，
∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；
如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得，
在Rt△POB中，由勾股定理得，
∴当PB有最小值时，OP有最小值，
由垂线段最短可知，
∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出 PA﹣PB的最小值转换成求出OP的最小值，进而转换成求出PB的最小值．
1．（2025 泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等
【点拨】对于选项A，根据矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等即可对该选项进行判断；
对于选项B，根据矩形和菱形的对角线都互相平分即可对该选项进行判断；
对于选项C，根据菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直即可对该选项进行判断；
对于选项D，根据矩形和菱形的对角都相等即可对该选项进行判断；
综上所述即可得出答案．
【解析】解：对于选项A，
∵矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等；
∴该选项矩形具有而菱形不具有，
故选项A符合题意；
对于选项B，
∵矩形和菱形的对角线都互相平分，
∴该选项矩形和而菱形都具有，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∴菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，
∴该选项菱形具有而矩形不具有，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵矩形和菱形的对角都相等，
∴该选项矩形和而菱形都具有，
故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解决问题的关键．
2．（2025 绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（　　）
A．25 B．25 C．25 D．50
【点拨】由矩形对角线性质得半对角线长为5，构造边长为5且夹角60°的等边三角形，求得矩形边长为5和，面积为：．
【解析】解：矩形对角线相等且互相平分，
∴每段长度为10÷2＝5．
∵对角线交角为60°，形成的三角形为两边长均为5，夹角为60°的三角形，符合等边三角形特征，
等边三角形的第三边长度为5，
因此矩形的一边长为5．
设矩形两邻边边长分别为a，b，
根据矩形性质，a2+b2＝102＝100，结合等边三角形边长关系，解得a＝5，．
矩形面积为：．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质与三角形面积公式的应用，解题关键在于利用对角线交角构造特殊三角形，通过三角函数求出矩形边长，再计算面积．
3．（2025 浙江模拟）在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC平分∠DAB D．AC⊥BD
【点拨】根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断即可．
【解析】解：根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断如下：
A．AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则 ABCD是菱形；
B．AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，则 ABCD是矩形；
C．因为AC平分∠DAB且AD∥BC，所以∠CAB＝∠ACB，所以AB＝BC，则 ABCD是菱形；
D．AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则 ABCD是菱形．
故选：B．
【点睛】此题重点考查菱形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2025 浙江模拟）已知一个菱形的周长是20，面积是24，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）
A．7 B． C．14 D．
【点拨】由菱形的性质可知AC⊥BD，再根据菱形的面积公式：两条对角线乘积一半得OB OA＝12①，利用勾股定理得到OD2+OA2＝25②，结合①②两式化简即可得到OB+AO＝7，进而即可得到问题答案．
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，
∵菱形面积＝BD AC＝2OB OA＝24，
∴OB OA＝12①，
∵菱形的周长是20，
∴AB＝5，
∵∠AOB＝90°，
∴OB2+OA2＝AB2＝25②，
由①②两式可得49﹣2OD OA＝25，
解得：OB+AO＝7，
∴AC+BD＝14，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及菱形面积公式的运用，解题的关键是利用整体思想求出OB OA的值．
5．（2025 虹口区二模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．∠DAC＝∠BAC D．∠ABC＝∠BAD
【点拨】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
C、不能证明四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
6．（2025 新昌县二模）如图，在面积为20的正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点．CE，BF交于点G，则BG的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【点拨】先利用正方形性质和中点条件证明三角形全等，得出角的关系，再通过勾股定理求出相关线段长度，最后求出BG的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠A＝∠ABC＝90°．
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴，AF＝AD，
则AE＝AF，BE＝AB．
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS）．
∴∠ABE＝∠BCE．
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
在△BEG中，∠BGE＝180°﹣（∠ABF+∠BEC）＝90°，即BF⊥CE．
已知正方形ABCD的面积为20，根据正方形面积公式S＝a2，可得AB＝，
∴BE＝＝，，
在Rt△BCE中，根据勾股定理CE＝ ，将，BC＝ 代入，
可得CE＝ ＝ 5．
又∵，CE＝5，
即，
解得BG＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要涉及正方形的性质、三角形全等的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．（2025 和平区二模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【点拨】由菱形的性质得AC⊥BD，OC＝3，OD＝4，进而由勾股定理得CD＝5，再证明四边形OCED为平行四边形，然后证明平行四边形OCED为矩形，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝AC＝3，OD＝BD＝4，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝＝＝5，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
8．（2025 平湖市二模）如图，正方形ABCD的边长是6，点E在边BC上，CE＝2BE，连结AE，过点B作AE的垂线交CD于点G，连结AG，线段AG的长是（　　）
A． B． C．7 D．
【点拨】先求出BE＝2，证明△ABE和△BCG全等得BE＝CG＝2，进而得DG＝4，然后在Rt△ADG中，由勾股定理即可求出AG的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长是6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，
∵CE＝2BE，
∴BC＝BE+CE＝3BE＝6，
∴BE＝2，
∵AE⊥BG，∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠ABG+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴BE＝CG＝2，
∴DG＝CD﹣CG＝6﹣2＝4，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG＝＝＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9．（2025 浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【点拨】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决．
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
10．（2025 洞头区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AD＝2，连接BD，O是BD的中点，E是DA延长线上的一点，连接OE，作∠EOF＝120°，交AB的延长线于点F，记BF＝x，AE＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．
【点拨】过点O作OG∥AB，交AD于点G，利用菱形的性质，等边三角形的判定与性质和三角形的中位线的性质得到∠GOB＝120°，OG＝OB＝1，∠OBF＝∠OGE＝120°，利用全等三角形的判定与性质得到GE＝BF，则1+x＝y，结论可得．
【解析】解：过点O作OG∥AB，交AD于点G，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠DAB＝∠C＝60°，
∴△ABD和△CBD为等边三角形，
∵O是BD的中点，OG∥AB，
∴OG＝AB＝1，DG＝AG＝AD＝1，∠GOD＝∠ABD＝60°，∠OGD＝∠DAB＝60°，
∴∠GOB＝120°，OG＝OB＝1，∠OBF＝∠OGE＝120°，
∵∠EOF＝120°，
∴∠GOE＝∠BOF．
在△GOE和△BOF中，
，
∴△GOE≌△BOF（ASA），
∴GE＝BF，
∴GA+AE＝BF，
∴1+y＝x，
∴x﹣y＝1．
∴x﹣y的值不变．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．（2025 双流区模拟）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE．若AE⊥OD，AD＝2，则AB＝ 　2　 ．
【点拨】由作图过程可得AE是DO的垂直平分线，得AD＝AO＝OB＝OD＝2，进而可以解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OB＝OD，∠BAD＝90°，
由作图过程和AE⊥OD可知：AE是DO的垂直平分线，
∴AD＝AO，
∴AD＝AO＝OB＝OD＝2，
∴AB＝AD＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质、作图﹣基本作图、垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
12．（2025 苍梧县一模）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 　4.8　 ．
【点拨】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF求得答案．
【解析】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，
解得：PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（2025 温州模拟）如图，已知菱形ABCD，∠A＝60°，E为AB的中点，连结CE，则sin∠DCE的值为 　　 ．
【点拨】连接BD，DE，由菱形的性质得到AD＝AB＝DC，DC∥AB，判定△ABD是等边三角形，推出DE⊥AB，设AD＝x，由sinA＝＝，求出DE＝x，由勾股定理求出CE＝x，于是得到sin∠DCE＝＝．
【解析】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝DC，DC∥AB，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
设AD＝x，
∵sinA＝sin60°＝＝，
∴DE＝x，
∵DC∥AB，DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠CDE＝90°，
∴CE＝＝x，
∴sin∠DCE＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，关键是判定△ABD是等边三角形，掌握锐角的正弦定义．
14．（2025 无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　　 ．
【点拨】过M作MH⊥NB于H，由菱形的性质推出AC⊥BD，AB＝BC，AD∥BC，判定△ABC是等边三角形，推出CM＝AC＝1，由含30度角的直角三角形的性质得到CH＝CM＝，由tan∠MCH＝＝，求出MH＝，判定四边形ACND是平行四边形，得到CN＝AD＝2，求出NH＝，由勾股定理求出MN＝＝．
【解析】解：过M作MH⊥NB于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝2，AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠ACB＝60°，
∵BM⊥AC，
∴CM＝AC＝1，
∵∠CMH＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴CH＝CM＝，
∵tan∠MCH＝tan60°＝＝，
∴MH＝，
∵DN∥AC，
∴四边形ACND是平行四边形，
∴CN＝AD＝2，
∴NH＝CH+CN＝，
∴MN＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，关键是判定△ABC是等边三角形，应用勾股定理求出MN的长．
15．（2025 黄岩区二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，BC上，且MN∥AB，当正方形FGCE的顶点F是MN的中点时，矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，则AM的长为 　8﹣2　 ．
【点拨】过点G作PQ⊥CD于点Q，交MN于点P，设PG＝x，证明△FPG≌△GQC（AAS），PG＝CQ＝x，GQ＝FP＝x+2，根据面积可得AB AM＝FG2，列方程即可解答．
【解析】解：过点G作PQ⊥CD于点Q，交MN于点P，
设PG＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴CD∥MN，
∴PQ⊥MN，
∴∠P＝∠Q＝90°，
∴∠PFG+∠FGP＝90°，
∵四边形FGCE是正方形，
∴FG＝CG，∠FGC＝90°，
∴∠FGP+∠CGQ＝90°，
∴∠PFG＝∠CGQ，
∴△FPG≌△GQC（AAS），
∴PG＝CQ＝x，GQ＝FP＝x+2，
∴DM＝PQ＝2x+2，
∵AD＝4，
∴AM＝4﹣DM＝4﹣（2x+2）＝2﹣2x，
∵矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，
∴AB AM＝FG2，
∴4（2﹣2x）＝x2+（x+2）2，
∴x2+6x﹣2＝0，
∴（x+3）2＝11，
∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣（舍），
∴AM＝2﹣2（﹣3+）＝8﹣2，
则AM的长为8﹣2；
故答案为：8﹣2．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2025 浙江模拟）阅读下列材料：
数学课上，教师提出一道尺规作图问题： 已知：如图，AB∥CD，AE平分∠BAC交CD于点E． 求作：菱形ACEF，使点F在AB上．
小明：如图1，作∠ACD的平分线CF交AB于点F，连接EF，则四边形ACEF是菱形． 小英：如图2，以点E为圆心，AE长为半径作弧，交AB于点F，连接EF，则四边形ACEF是菱形． . 小明：小英，你的作法有问题． 小英：哦……我的作法确实存在问题，你的作法是正确的．
（1）给出小明作法中四边形ACEF是菱形的证明．
（2）指出小英作法中存在的问题．
【点拨】（1）证明∠AEC＝∠CAE，得AC＝CE，同理AC＝AF，则AF＝CE，再证明四边形ACEF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）小英作法只能得出△AEF是等腰三角形，EF的长不一定等于CE的长，只有当∠C为60°时，四边形ACEF是菱形才成立．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠EAF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAF，
∴∠AEC＝∠CAE，
∴AC＝CE，
同理：AC＝AF，
∴AF＝CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
又∵AF＝AC，
∴平行四边形ACEF是菱形；
（2）解：小英作法是以点E为圆心，AE长为半径作的弧与交AB于点F，得到EF，而EF的长不一定等于CE的长，
只有当∠C为60°时，四边形ACEF是菱形才成立．
【点睛】本题考查了菱形的判定、尺规作图、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17．（2025 大理州二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AC，点E，F分别为BO，DO中点，顺次连接点A，E，C，F．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当AB⊥AC，时，求△BEC的面积．
【点拨】（1）由平行四边形的性质可得，再由线段中点的定义可得，则可证明OE＝OF，EF＝AC，据此可证明结论；
（2）可证明BO＝2AO，利用勾股定理可求出OA的长，进而求出AC的长，求出S△ABC，再根据三角形中线的性质即可求出答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别为BO，DO中点，
∴，
∴，
∵BD＝2AC，即，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵BD＝2AC，
∴BO＝2AO，
∵AB⊥AC，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴
解得：OA＝﹣2（舍去）或OA＝2；
∴AC＝4，
∴，
∴，
∵点E为BO中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平行线的性质，勾股定理，三角形中线的性质，平行四边形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
18．（2025 衢州三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．
【点拨】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥BC于点G，得矩形AFGC，根据cos∠EBF＝，BF＝5，可得BG＝3，FG＝AC＝4，根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长．
【解析】（1）证明：∵点D为AB边中点，
∴AD＝BD，
∵DF＝ED，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）解：如图，连接CD，过点F作FG⊥BC于点G，得矩形AFGC，
∵cos∠EBF＝＝，BF＝5，
∴BG＝3，
∴FG＝AC＝4，
∵四边形AEBF是菱形，
∴CG＝AF＝BF＝5，
∴BC＝CG+BG＝5+3＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝2．
∴CD的长为2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．（2025 临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．
（1）求证：AE＝HF．
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．
【点拨】（1）过点F作FK⊥AB于点K，证明四边形ADFK是矩形得AD＝FK，DF＝AK，则AB＝FK，再证明△BAE和△KFH全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据△BAE和△KFH全等得BE＝KH，再根据BE＝DF，DF＝AK得AK＝BE，由此即可得出AH与BE之间的数量关系．
【解析】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示：
∴∠FKH＝∠FKA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠FKA＝∠BAD＝∠D＝90°，∠B＝∠FKH＝90°，
∴四边形ADFK是矩形，
∴AD＝FK，DF＝AK，
∴AB＝FK，
∵FH⊥AE，∠FKH＝90°，
∴∠BAE+∠AHF＝90°，∠KFH+∠AHF＝90°，
∴∠BAE＝∠KFH，
在△BAE和△KFH中，
，
∴△BAE≌△KFH（ASA），
∴AE＝HF；
（2）解：AH与BE之间的数量关系是，AH＝2BE，证明如下：
∵△BAE≌△KFH，
∴BE＝KH，
又∵BE＝DF，DF＝AK，
∴AK＝BE，
∴AH＝AK+KH＝BE+BE＝2BE．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
20．（2022 萧山区模拟）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．
【点拨】（1）由菱形的性质得出AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，得出∠BAD+∠ABC＝180°，证出∠BAD＝∠ABC，求出∠BAD＝90°，即可得出结论；
（2）由正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，得出∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，证出∠ECO＝∠EDH，证明△ECO≌△FDO（ASA），即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4，
∴OB＝CO＝AC＝2，DO＝BD＝2，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，
，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
∵BE＝1，
∴OE＝OF＝OB﹣BE＝2﹣1．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
21．（2025 景宁县二模）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，延长CD使DF＝BE，连接AE，AF，EF，过点A作AH⊥EF，交EF于点G．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：∠AGC＝2∠AFC；
（3）若CH＝GH，求的值．
【点拨】（1）证明△ABE≌△ADF（SAS），即可得到AE＝AF；
（2）证明△EAF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，斜边中线的性质，以及三角形的外角性质可得到∠AGC＝2∠GFA+2∠GFC＝2∠AFC；
（3）连接EH，证明Rt△EGH≌Rt△ECH（HL），推出△EGC是等边三角形，设CG＝EG＝FG＝a，BE＝DF＝x，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，解方程即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠DAF+∠DAE＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∵AH⊥EF，
∴点G是EF的中点，∠GAF＝∠GFA＝45°，
∴CG＝GF，∠AGE＝2∠GFA，
∴∠FCG＝∠GFC，
∴∠EGC＝2∠GFC，
∴∠AGC＝2∠GFA+2∠GFC＝2∠AFC；
（3）解：如图，连接EH，
∵∠EGH＝∠ECH＝90°，
∴△EGH和△ECH是直角三角形，
在Rt△EGH和Rt△ECH中，
，
∴Rt△EGH≌Rt△ECH（HL），
∵EG＝EC，
∵EG＝GC，
∴EG＝GC＝EC，
∴△EGC是等边三角形，
∴∠FEC＝60°，
∴∠EFC＝30°，
设CG＝EG＝FG＝a，BE＝DF＝x，
∴EF＝2a，
∴，
∵，
∴，
∵△EAF是等腰直角三角形，EF＝2a，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，即，
解得：（舍去），
即．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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