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1.2二次根式的性质第1课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 1.2二次根式的性质第1课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数与代数” 领域核心要求：引导学生探究并掌握二次根式的核心性质与，发展符号意识与推理素养；能运用性质进行简单的化简与求值，建立性质应用与实际问题的关联；通过经历 “观察—猜想—验证—归纳” 的探究过程，培养逻辑推理与数学运算能力；体会二次根式性质的本质内涵，为后续根式运算、化简奠定基础，契合新课标 “理解运算本质、发展核心素养” 的导向。
教材分析 本节课是二次根式章节的核心性质课，承接上节课 “二次根式的意义”，为后续根式运算、同类二次根式判定提供理论依据。教材以算术平方根的意义为逻辑起点，通过具体实例(如数值计算、几何情境)引导学生观察规律，逐步抽象出两条核心性质，再通过分层例题巩固性质应用，内容编排遵循 “具体—抽象—应用” 的认知规律。本节课的性质是二次根式化简与运算的核心工具，突破了 “仅懂概念不会应用” 的局限，体现新课标 “以性质理解为基础，强化运算应用” 的编写理念。
学情分析 学生已具备二次根式的概念与算术平方根的知识基础，能判断二次根式有意义的条件，进行简单的算术平方根计算。但存在明显短板：一是易混淆与的形式与结果，忽略的绝对值本质；二是应用化简时，难以结合字母取值范围去掉绝对值符号；三是对性质的推导过程理解不深，仅停留在“记公式”层面，缺乏逻辑验证意识，个体差异集中在“性质本质理解”与“分类化简应用”上。
教学目标 1.理解并掌握二次根式的两条核心性质与，能运用性质进行简单的化简与求值； 2.经历 “数值验证—猜想性质—逻辑证明—应用拓展” 的探究过程，提升抽象概括与逻辑推理能力； 3.发展符号意识与运算素养，体会二次根式性质的非负性本质，建立 “形式—条件—结果” 的关联思维； 4.感受数学性质的严谨性与实用性，培养主动探究、合作交流的习惯，激发对根式运算的学习兴趣。
教学重点 1.探究并掌握二次根式的核心性质与； 2.运用性质进行简单的化简与求值，明确性质应用的条件限制。
教学难点 理解的本质内涵，能根据字母的取值范围(正数、负数、零)正确去掉绝对值符号，完成化简。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1.什么是二次根式？请判断、、是否为二次根式，并说明理由； 2.计算：、、，观察后两个算式的形式与结果，你有什么发现？ 预设答案 1.形如的式子是二次根式；、是二次根式(被开方数非负)，不是(被开方数为负)； 2.计算结果分别为；发现，而，两个算式形式不同但结果可能存在规律。 通过二次根式概念判断、算术平方根计算的提问，引导学生观察算式规律，衔接本节课性质探究。 回忆二次根式定义与有意义的条件，完成计算并发现算式形式与结果的关联。 唤醒旧知，建立“算术平方根—二次根式性质”的思维衔接，为探究活动铺垫。
探究活动一：二次根式的性质 利用上图，你能推测出和有什么关系吗？ 根据正方形的面积公式，我们可以发现，即； 思考：根据算术平方根的定义，完成以下填空： ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； 总结归纳：一般地，二次根式有下面的性质： 做一做： 填空：＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； 比较左右两边的式子，猜想与的关系。 猜想： 归纳总结：一般地，二次根式有以下性质： 借助正方形面积公式引导学生推导性质通过数值计算猜想，归纳分类化简规则。 参与推导与验证，完成填空练习，归纳两条核心性质的形式与应用条件。 经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，理解性质本质，培养逻辑推理素养。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：例题精讲 例1：计算 ； . 解： ； . 例2：计算： 解：因为, 所以原式. 解析例题中性质的应用逻辑，强调化简时的符号判断，引导学生规范解题步骤。 跟随例题思路完成化简与计算，掌握性质应用的关键环节(如绝对值符号的处理)。 强化性质的实际应用，规范解题格式，突破“化简忽略符号判断”的难点。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：拓展延伸 例3：若实数a，b在数轴上的位置如图，化简：. 【分析】由数轴可得a＜0＜b，则a-b＜0，根据二次根式的性质可将待求式变形为|a-b|-|a|+|b|，然后根据绝对值的性质化简即可. 解：由题意得： ， ， ∴ ＝ . 结合数轴分析字母取值范围，引导学生综合运用性质化简复杂式子，组织小组讨论解题思路。 根据数轴确定字母符号，分步化简含多重约束的二次根式，交流分享解题关键。 提升性质应用的灵活性，培养分类讨论与综合分析能力，衔接复杂场景的化简需求。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.当时，= (　　) A. B. C. D. 2.若成立，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3.已知，则的值为(　　) A. B.－2 C. D.2 4.下列计算正确的是(　　) A.＝2 B.＝﹣2 C.＝2 D.＝±2 5.化简：　 　. 6.化简： ＝　 　， ＝　 　， ＝　 　. 7.下列等式：① =±12，② ＝﹣2，③ ＝2，④ ＝- ，⑤ ＝﹣2；其中正确的有　 　.只填序号) 8.已知2课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 性质1：，即二次根式的平方等于被开方数(需满足被开方数非负)； 性质2：，即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值，需分类化简。 应用要点：应用性质1时需先确认； 应用性质2时必须先判断字母取值范围，再去掉绝对值符号。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.2二次根式的性质第1课时 一、核心性质： 性质1： 性质2： 应用关键：1.先判断被开方数(或字母)的取值范围； 2.化简必过“绝对值关”，再按符号分类去掉绝对值。 二、例题精讲 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
课后提升 基础达标： 1.计算的结果为(　　) A. B.11 C. D.121 2.下列等式正确的是(　　) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 4.计算的值为(　　) A. B. C. D. 5.计算： =　 　. 6.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简　 　. 能力提升： 7.已知2，3，是某三角形三边的长，则的值为(　　) A. B.6 C.4 D. 8.已知，化简得(　　) A. B. C. D. 9.已知a，b，c为三角形三边，则 =　 　. 10.计算： (1). (2)； (3). 拓展迁移： 11.若，化简，小明的解答过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小明的解答从第　 　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　 　； (2)写出正确的解答过程. 12.是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题： (1)化简：　 　，　 　； (2)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简.
教学反思 本节课通过复习导入有效衔接了新旧知识，多数学生能掌握基本性质并完成简单应用。但存在两点不足：一是部分学生对的本质理解不透彻，化简时直接去掉绝对值符号忽略符号判断；二是性质应用的灵活性不足，面对含多重约束的化简题易出错。后续教学需增加 “形式对比练习”，并设计分层辨析题，让学生在分类讨论中强化对性质条件的把握，同时加强性质推导过程的板书讲解，帮助学生从 “记公式” 向 “懂本质” 转变，更好落实核心素养培养目标。
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分课时学案
课题 1.2二次根式的性质第1课时 单元 一 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解并掌握二次根式的两条核心性质与，能运用性质进行简单的化简与求值； 2.经历 “数值验证—猜想性质—逻辑证明—应用拓展” 的探究过程，提升抽象概括与逻辑推理能力； 3.发展符号意识与运算素养，体会二次根式性质的非负性本质，建立 “形式—条件—结果” 的关联思维； 4.感受数学性质的严谨性与实用性，培养主动探究、合作交流的习惯，激发对根式运算的学习兴趣。
重点 1.探究并掌握二次根式的核心性质与； 2.运用性质进行简单的化简与求值，明确性质应用的条件限制。
难点 理解的本质内涵，能根据字母的取值范围（正数、负数、零）正确去掉绝对值符号，完成化简。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.什么是二次根式？请判断、、是否为二次根式，并说明理由； 2.计算：、、，观察后两个算式的形式与结果，你有什么发现？
新知讲解 探究活动一：二次根式的性质 利用上图，你能推测出和有什么关系吗？ 思考： 根据算术平方根的定义，完成以下填空： ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； 总结归纳： 做一做： 填空：＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿； 比较左右两边的式子，猜想与的关系。 探究活动二：例题精讲 例1：计算 ； . 例2：计算： 探究活动三：拓展延伸 例3：若实数a，b在数轴上的位置如图，化简：.
课堂练习 课堂练习 1．当时，= （　　） A． B． C． D． 2．若成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（　　） A． B．－2 C． D．2 4．下列计算正确的是（　　） A．＝2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝±2 5．化简：　 　． 6．化简： ＝　 　， ＝　 　， ＝　 　． 7．下列等式：① =±12，② ＝﹣2，③ ＝2，④ ＝- ，⑤ ＝﹣2；其中正确的有　 　．只填序号） 8．已知2课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1．计算的结果为（　　） A． B．11 C． D．121 2．下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．计算的值为（　　） A． B． C． D． 5．计算： =　 　． 6．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简　 　． 能力提升： 7．已知2，3，是某三角形三边的长，则的值为（　　） A． B．6 C．4 D． 8．已知，化简得（　　） A． B． C． D． 9．已知a，b，c为三角形三边，则 =　 　． 10．计算： （1）. （2）； （3）． 拓展迁移： 11．若，化简，小明的解答过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小明的解答从第　 　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　 　； （2）写出正确的解答过程． 12．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题： （1）化简：　 　，　 　； （2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
答案：
复习回顾：
1.形如的式子是二次根式；、是二次根式（被开方数非负），不是（被开方数为负）；
2.计算结果分别为；发现，而，两个算式形式不同但结果可能存在规律。
例题精讲：
例1：解：
；
.
例2：解：因为,
所以原式.
例3：解：由题意得：
，
，
∴
＝
.
课堂练习：
答案：1.B；2.C；3.C；4.A；5.5-π；6.3,3，-3；7. ②③④⑤；
8. 解：∵，
∴．
原式．
作业设计：
答案：1.B；2.A；3.B；4.C；5. ；6.1；7.C；8.B；9. ；10.；；.
11. （1）二；
（2）解：∵，
∴，，
∴原式
12. （1）解：；
；
故答案为：；．
（2）解：由数轴得：，
∴，，
∴.
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课题名称：1.2二次根式的性质第1课时
第一章：二次根式
初中数学
学习目标
经历 “数值验证—猜想性质—逻辑证明—应用拓展” 的探究过程，提升抽象概括与逻辑推理能力；
02
理解并掌握二次根式的两条核心性质与，能运用性质进行简单的化简与求值；
01
发展符号意识与运算素养，体会二次根式性质的非负性本质，建立 “形式—条件—结果” 的关联思维；
03
感受数学性质的严谨性与实用性，培养主动探究、合作交流的习惯，激发对根式运算的学习兴趣。
04
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
复习回顾
1.什么是二次根式？请判断、、是否为二次根式，并说明理由；
1.形如的式子是二次根式；
、是二次根式（被开方数非负），
不是（被开方数为负）；
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
复习回顾
2.计算：、、，观察后两个算式的形式与结果，你有什么发现？
2.计算结果分别为；
发现，而，两个算式形式不同但结果可能存在规律。
探究新知
探究一：二次根式的性质
利用右图，你能推测出和有什么关系吗？
根据正方形的面积公式，
我们可以发现，即；
探究新知
探究一：二次根式的性质
思考：根据算术平方根的定义，完成以下填空：
＿＿＿; ＿＿＿;
＿＿＿; ＿＿＿;
你有什么发现呢？
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
总结归纳：二次根式的性质1
一般地，二次根式有下面的性质：
注意:使用性质1时，必须保证根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
探究一：二次根式的性质
做一做：
填空： ; ;
; ;
; ;
; ;
比较左右两边的式子，猜想与的关系。
猜想：
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
总结归纳：二次根式的性质2
一般地，二次根式有下面的性质：
注意:应用性质2时必须先判断字母取值范围，再去掉绝对值符号。
探究新知
探究二：例题精讲
例1：计算
;
解：
;
探究新知
探究二：例题精讲
例1：计算
.
解：
.
数与二次根式相乘时，乘号可以省略。例如，示。
探究新知
探究二：例题精讲
例2：计算：
解：因为,
所以原式,
,
.
探究新知
探究三：拓展延伸
【分析】由数轴可得，则，根据二次根式的性质可将待求式变形为，然后根据绝对值的性质化简即可.
例3:若实数在数轴上的位置如图,化简:.
探究新知
探究三：拓展延伸
解：由题意得：，
,
∴,
,
,
.
例3:若实数在数轴上的位置如图,化简:.
课堂练习
1.当时，= (　　)
A. B. C. D.
2.若成立，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3.已知，则的值为(　　)
A. B.－2 C. D.2
B
C
C
课堂练习
4.下列计算正确的是(　　)
A.＝2 B.＝﹣2 C.＝2 D.＝±2
5.化简：　 　.
6.化简： ＝　 　， ＝　 　， ＝　 　.
A
3
3
-3
7.下列等式：①，②，③，④，⑤；其中正确的有　 　.(只填序号)
②③④⑤
课堂练习
8.已知，化简： .
解：∵，
∴.
原式
.
课堂小结
知识点:
性质1：，即二次根式的平方等于被开方数(需满足被开方数非负)；
性质2：，即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值，需分类化简。
应用要点：应用性质1时需先确认；
应用性质2时必须先判断字母取值范围，再去掉绝对值符号。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.计算的结果为(　　)
A. B.11 C. D.121
2.下列等式正确的是(　　)
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是(　　)
A. B. C. D.
B
A
B
课后提升
基础作业：
4.计算的值为(　　)
A. B. C. D.
5.计算： =　 　.
6.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简　 　.
C
1
课后提升
提升作业：
7.已知2,3,是某三角形三边的长,则的值为(　　)
A. B.6 C.4 D.
8.已知,化简得(　　)
A. B. C. D.
9.已知a,b,c为三角形三边,则 =　 　.
C
B
课后提升
提升作业：
10.计算：(1); (2);
(3).
解:
课后提升
拓展作业：
11.若，化简，小明的解答过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)小明的解答从第　 　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：　 　；
(2)写出正确的解答过程.
二
课后提升
拓展作业：
解：∵,
∴,,
∴原式
.
课后提升
拓展作业：
12.是二次根式的一条重要性质,请利用该性质解答以下问题：
(1)化简：　 　,　 　；
(2)已知实数,,在数轴上的对应点如图所示,化简.
课后提升
拓展作业：
(1)解：;
;
故答案为：;.
(2)解：由数轴得：,
∴,,
∴.
Thanks!
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