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9.1.1　简单随机抽样
【课程标准要求】　1.在简单随机抽样的实施过程中,掌握抽签法和随机数法的步骤,培养数据分析的核心素养.2.通过用样本平均数估计总体平均数,培养数据分析、数学运算的核心素养.
知识点一　全面调查和抽样调查
调查 方式 普查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查
相关 概念 ①在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体; ②组成总体的每一个调查对象称为个体 ①我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本; ②样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据
知识拓展
普查和抽样调查的比较
方法 普查 抽样调查
优点 调查结果全面、系统 (1)迅速及时; (2)节约人力、物力和财力
缺点 工作量大,有时候费时费力 调查结果不如全面调查全面、系统
适用 范围 (1)调查对象少; (2)调查对象多,但是要求调查结果必须全面、系统、准确时 (1)调查对象太多,且不必要全面调查时; (2)调查方式有破坏性时
知识点二　简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
对简单随机抽样的理解
用简单随机抽样的方法抽取样本时,样本量越大,样本所反映的实际情况就越接近总体的实际情况,即对于样本的代表性,一般说来,样本量大的会好于样本量小的,尤其是样本量不大时,增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是,在实际抽样中,样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加.因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并不一定是越大越好.
知识点三　抽签法与随机数法
抽样 方法 抽签法 随机数法
定义 先给总体中的个体编号.然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数 先给总体中的个体编号,例如按1～N进行编号.用随机数工具产生1～N范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数
优点 简单易行.当总体中的个体数不多时,使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易,这时,每个个体都有均等的机会被抽中,从而能够保证样本的代表性 简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时抽签法制签难的问题
缺点 仅适用于个体数较少的总体.当总体容量非常大时,费时费力又不方便,况且,如果号签搅拌不均匀,可能导致抽样不公平 当总体中的个体数很多,需要的样本量也较大时,用随机数法抽取样本仍不方便
对抽签法的理解
抽签时每个个体被抽到的机会相同,与抽签的先后顺序无关.
知识点四　样本均值(平均数)
名称 定义
总体均值 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称==Yi为总体均值,又称总体平均数
总体均值 加权平均 数的形式 如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=fiYi
样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称==yi为样本均值,又称样本平均数
总体平均数是总体的一项重要特征,样本平均数一般随样本量及样本数据的选取而有所变化,样本量越大,用样本平均数 估计总体平均数、样本中的比例p估计总体中的比例P的精确度越高.
基础自测
1.下列调查方式中,可用普查的是(　　)
[A] 调查某品牌电视机的市场占有率
[B] 调查某电视连续剧在全国的收视率
[C] 调查某校七年级(1)班的男女同学的比例
[D] 调查某型号炮弹的射程
【答案】 C
【解析】 对于ABD,调查对象的数目较多或有破坏性,适合采用抽查;对于C,调查对象的数目较少,适合采用普查.故选C.
2.在“世界读书日”前夕,为了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)
[A] 总体
[B] 个体
[C] 样本量
[D] 从总体中抽取的一个样本
【答案】 A
【解析】 根据题意,结合总体、样本、个体、样本容量的定义可知,5 000名居民的阅读时间的全体是总体.故选A.
3.某班对某次考试成绩进行分析,利用随机数法抽取样本时,先将70名同学按01,02,03,…,70进行编号,然后通过电子表格软件生成如下随机数:29,78,64,56,07,82,52,42,07,44,38,15,51,则依次选出的第7个个体编号是(　　)
[A] 07 [B] 44 [C] 15 [D] 51
【答案】 B
【解析】 符合条件的前7个个体编号是29,64,56,07,52,42,44,故选出的第7个个体的编号是44.故选B.
4.为了考察某地6月份最高气温(单位:℃)的情况,随机抽取了5天,所得数据约为29,29,31,30,31,则该地6月份最高气温的平均值约为　　　　 ℃.
【答案】 30
【解析】 所抽取的样本的均值为×(29+29+31+30+31)=30.
题型一　普查和抽样调查
[例1] (多选题)下列调查的样本合理的是(　　)
[A] 在校内发出1 000张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁
[B] 从一万多名工人中,经过选举,确定100名代表,然后投票表决,了解工人们对工厂机构改革的意见
[C] 到老年公寓进行调查,了解全市老年人的健康状况
[D] 为了了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查
【答案】 BD
【解析】 A中样本不具有代表性、有效性,在班级旁画“√”与了解最受欢迎的教师没有关系;C中样本缺乏代表性;而B,D是合理的样本.故选BD.
当总体数量较大或调查具有破坏性等情况时,通常采用抽样调查,通过抽取样本,用样本的情况来估计总体的情况.我们需要判断每个问题是否适合抽样调查,并说明选取样本的方法.
[变式训练] 下列调查方式合适的是(　　)
[A] 检验100件产品的质量,采用普查的方式
[B] 为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式
[C] 为了了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式
[D] 对载人航天器神舟二十号零部件的检查,采用抽样调查的方式
【答案】 C
【解析】 检验产品的质量,有些具有破坏性,故采用抽样调查的方式,故A错误;了解全国中学生的睡眠状况,工作量大,采用抽样调查的方式,故B错误;为了了解人们保护水资源的意识,工作量大,采用抽样调查的方式,故C正确;对载人航天器神舟二十号零部件的检查十分重要,故进行普查,故D错误.故选C.
题型二　简单随机抽样的概念
[例2] (多选题)下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是(　　)
[A] 从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
[B] 盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
[C] 从装有100个零件的箱子中,选出10个进行质量检验,抽样过程中,从中任意选出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里
[D] 某班有50名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
【答案】 BC
【解析】 对于A,根据简单随机抽样的定义,从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不是简单随机抽样,所以A不符合题意;对于B,根据简单随机抽样的定义,80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验,满足简单随机抽样的条件,所以B符合题意;对于C,是放回简单随机抽样,所以C符合题意;对于D,根据简单随机抽样的定义,从50名同学中,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛,不满足简单随机抽样的定义,所以D不符合题意.故选BC.
可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异.
(2)总体中个体数N有限.
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N.
(4)每个个体被抽到的可能性均为.
只要4个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
[变式训练] 在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性(　　)
[A] 与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
[B] 与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
[C] 与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
[D] 与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽取的可能性不一定
【答案】 B
【解析】 在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确.故选B.
题型三　简单随机抽样的方法
[例3] 某单位对口支援西部开发,现从报名的50名志愿者中选取10人组成支援小组到西部工作3年,请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案.
【解】 抽签法:
第一步,将50名志愿者编号,号码为01,02,03,…,50.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀.
第四步,从盒子中依次不放回地取出10个号签,并记录上面的编号.
第五步,与所得号码对应的志愿者就是支援小组成员.
随机数法:
(1)将50名志愿者编号,号码为01,02,03,…,50.
(2)准备10个大小,质地均匀的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9.
(3)把小球放入一个不透明的容器中,搅拌均匀,从容器中有放回地抽取2次,并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字,这样就生成了一个随机数,如果这个随机数在1～50范围内,就代表了对应编号的志愿者被抽中,否则舍弃编号.
(4)重复抽取随机数,直到抽中10名志愿者为止.
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是个体之间差异不明显.一般地,当样本容量和总体容量较小时,可用抽签法.
(2)当总体容量较大、样本容量不大时,用随机数法抽取样本较好.
[变式训练] 使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查,合适的抽样方法是(　　)
[A] 抽签法
[B] 随机数法
[C] 放回随机抽样法
[D] 以上都不对
【答案】 B
【解析】 由于总体相对较大,样本量较小,故采用随机数法较为合适.故选B.
题型四　用样本平均数估计总体平均数
[例4] 某校为了解学生的课外阅读情况,通过简单随机抽样抽取了40名学生,对他们一周的读书时间进行了统计,统计数据如下:
读书时间/小时 7 8 9 10 11
学生人数 6 10 9 8 7
则该校学生一周读书时间的平均数(　　)
[A] 一定为9小时 [B] 高于9小时
[C] 低于9小时 [D] 约为9小时
【答案】 D
【解析】 由题目所给数据可知样本平均数为=9(小时),用样本平均数估计总体平均数,故该校学生一周读书时间的平均数约为9小时.故选D.
当总体规模很大时,一般用样本平均数估计总体平均数,用样本中某类个体的比例估计该类个体在总体中所占的比例.
[变式训练] 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 206石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得252粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
[A] 134石 [B] 169石
[C] 138石 [D] 165石
【答案】 A
【解析】 由抽样取米一把,数得252粒内夹谷28粒估计夹谷频率为=,
所以这批米内夹谷约为1 206×=134(石).故选A.
(分值:95分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
单选每题5分.
1.要检测人血液中某种细胞含量是否正常,应该采用的调查方法是(　　)
[A] 普查
[B] 抽样调查
[C] 普查或者抽样调查都可以
[D] 普查和抽样调查都不可以
【答案】 B
【解析】 要检测人血液中某种细胞含量是否正常,应采用抽样调查方法对血液进行检查.
故选B.
2.下列抽样试验中,适合用抽签法的是(　　)
[A] 从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
[B] 从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
[C] 从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
[D] 从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】 B
【解析】 对于A,总体中的个体数较大,样本容量也较大,不适合用抽签法;
对于B,总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;
对于C,甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽
签法;
对于D,总体中的个体数较大,不适合用抽签法.故选B.
3.某班级有40名学生,班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访,则同学A被抽到的可能性为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 总体有40个个体,每个个体被抽到的概率相同,均为=.故选D.
4.采用简单随机抽样进行抽样检测,必须做的步骤是(　　)
[A] 对每个个体进行编号
[B] 制作相应数量的号签
[C] 用随机数表产生随机数
[D] 用计算器的随机函数功能产生随机数
【答案】 A
【解析】 简单随机抽样的步骤如下:①明确界定总体范围,并收集总体中全部抽样单位;②确定样本规模;③将总体的每个单位编号,采用随机的方法任意抽取号码,直到抽足样本;故根据题意,可得A正确.故选A.
5.总体由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成.利用电子表格软件生成如下随机数:64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,45,24,则选出来的第2个个体的编号为(　　)
[A] 23 [B] 26 [C] 35 [D] 32
【答案】 B
【解析】 随机数64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,45,24中落在编号01,02,…,39,40内且不重复的依次有16,26,24,23,21,故第2个编号为26.故选B.
6.高考“3+3”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.计入总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6个科目中自主选择.某中学为了解本校学生的选择情况,随机调查了100名学生的选择意向,其中选择物理或化学的学生共有40名,选择化学的学生共有30名,选择物理也选择化学的学生共有10名,则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为(　　)
[A] 0.1 [B] 0.2 [C] 0.3 [D] 0.4
【答案】 B
【解析】 选择物理的学生人数为40-30+10=20,即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为=0.2.故选B.
7.(5分)某果园种植了240棵苹果树,现从中随机抽取了20棵苹果树,算得这20棵苹果树平均每棵产量为28 kg,则预估该果园的苹果产量为　kg.
【答案】 6 720
【解析】 将样本均值视为总体均值,故预估该果园的苹果产量为240×28=6 720 (kg).
8.(5分)某地招聘考试分为笔试和面试,其中笔试按60%计入总分,面试按40%计入总分,一考生笔试成绩为95分,面试成绩为85分,则其总成绩为　　　　分.
【答案】 91
【解析】 总成绩为95×60%+85×40%=91.
9.(13分)一名学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的:从15道物理题中随机抽3道;从20道化学题中随机抽3道;从12道生物学题中随机抽2道.使用合适的方法确定这名学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为 1～15,化学题的编号为16～35,生物学题的编号为36～47).
【解]第一步,将试题的编号1~47分别写在47张形状、大小相同的纸条上,将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物学题的号签分别放在3个不透明的袋子中,充分搅匀;
第二步，从装有物理题号签的袋子中逐个抽取3 个号签，从装有化学题号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物学题号签的袋子中逐个抽取2 个号签，并记录所得号签上的编号,这便是所要回答的问题的编号.
10.(15分)某些商家为消费者提供免费塑料袋,使购物消费更加方便快捷,但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况,统计人员采用了科学的方法,随机抽取了200户,对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计,结果如下表:
每户丢弃塑料 袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数;
(2)假设该市现有家庭100万户,据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的
总数.
【解】 (1)×(1×15+2×60+3×65+4×35+5×20+6×5)=×600=3(个),故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.
(2)3×365×100=109 500(万个),由此估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋109 500万个.
11.从一群正在做游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任意选取m人,发现其中有n个小孩曾分到过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为(　　)
[A] [B] k+m-n
[C] [D] 不能估计
【答案】 C
【解析】 设参加游戏的小孩约有x人,
则=,x=.故选C.
12.(5分)利用简单随机抽样的方法,从n个个体(n>13)中抽取13个个体,若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的可能性为　　　　.
【答案】
【解析】 第二次抽取时,余下的每个个体被抽取到的概率为,则=,即n-1=36,则n=37,所以在整个抽样过程中,每个个体被抽取到的概率为.
13.(17分)学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估,成绩(单位:分)如下表所示:
项目 工作态度 教学成绩 业务学习
王老师 98 95 96
张老师 90 99 98
(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩,并以此作为评优的依据,你认为谁会被评为优秀
(2)如果以20%,60%,20%作为三项成绩的比例来计算他们的成绩,结果又会如何
【解】 (1)王老师的平均分为≈96.3(分).张老师的平均分为≈95.7(分).
王老师的平均分较高,王老师被评为优秀.
(2)王老师的平均分为98×20%+95×60%+96×20%=95.8(分).
张老师的平均分为90×20%+99×60%+98×20%=97(分).故张老师的平均分较高,张老师被评为优秀.9.1.1　简单随机抽样
【课程标准要求】　1.在简单随机抽样的实施过程中,掌握抽签法和随机数法的步骤,培养数据分析的核心素养.2.通过用样本平均数估计总体平均数,培养数据分析、数学运算的核心素养.
知识点一　全面调查和抽样调查
调查 方式 普查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查
相关 概念 ①在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体; ②组成总体的每一个调查对象称为个体 ①我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本; ②样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据
知识拓展
普查和抽样调查的比较
方法 普查 抽样调查
优点 调查结果全面、系统 (1)迅速及时; (2)节约人力、物力和财力
缺点 工作量大,有时候费时费力 调查结果不如全面调查全面、系统
适用 范围 (1)调查对象少; (2)调查对象多,但是要求调查结果必须全面、系统、准确时 (1)调查对象太多,且不必要全面调查时; (2)调查方式有破坏性时
知识点二　简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
对简单随机抽样的理解
用简单随机抽样的方法抽取样本时,样本量越大,样本所反映的实际情况就越接近总体的实际情况,即对于样本的代表性,一般说来,样本量大的会好于样本量小的,尤其是样本量不大时,增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是,在实际抽样中,样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加.因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并不一定是越大越好.
知识点三　抽签法与随机数法
抽样 方法 抽签法 随机数法
定义 先给总体中的个体编号.然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数 先给总体中的个体编号,例如按1～N进行编号.用随机数工具产生1～N范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数
优点 简单易行.当总体中的个体数不多时,使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易,这时,每个个体都有均等的机会被抽中,从而能够保证样本的代表性 简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时抽签法制签难的问题
缺点 仅适用于个体数较少的总体.当总体容量非常大时,费时费力又不方便,况且,如果号签搅拌不均匀,可能导致抽样不公平 当总体中的个体数很多,需要的样本量也较大时,用随机数法抽取样本仍不方便
对抽签法的理解
抽签时每个个体被抽到的机会相同,与抽签的先后顺序无关.
知识点四　样本均值(平均数)
名称 定义
总体均值 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称==Yi为总体均值,又称总体平均数
总体均值 加权平均 数的形式 如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=fiYi
样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称==yi为样本均值,又称样本平均数
总体平均数是总体的一项重要特征,样本平均数一般随样本量及样本数据的选取而有所变化,样本量越大,用样本平均数 估计总体平均数、样本中的比例p估计总体中的比例P的精确度越高.
基础自测
1.下列调查方式中,可用普查的是(　　)
[A] 调查某品牌电视机的市场占有率
[B] 调查某电视连续剧在全国的收视率
[C] 调查某校七年级(1)班的男女同学的比例
[D] 调查某型号炮弹的射程
2.在“世界读书日”前夕,为了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)
[A] 总体
[B] 个体
[C] 样本量
[D] 从总体中抽取的一个样本
3.某班对某次考试成绩进行分析,利用随机数法抽取样本时,先将70名同学按01,02,03,…,70进行编号,然后通过电子表格软件生成如下随机数:29,78,64,56,07,82,52,42,07,44,38,15,51,则依次选出的第7个个体编号是(　　)
[A] 07 [B] 44 [C] 15 [D] 51
4.为了考察某地6月份最高气温(单位:℃)的情况,随机抽取了5天,所得数据约为29,29,31,30,31,则该地6月份最高气温的平均值约为　　　　 ℃.
题型一　普查和抽样调查
[例1] (多选题)下列调查的样本合理的是(　　)
[A] 在校内发出1 000张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁
[B] 从一万多名工人中,经过选举,确定100名代表,然后投票表决,了解工人们对工厂机构改革的意见
[C] 到老年公寓进行调查,了解全市老年人的健康状况
[D] 为了了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查
当总体数量较大或调查具有破坏性等情况时,通常采用抽样调查,通过抽取样本,用样本的情况来估计总体的情况.我们需要判断每个问题是否适合抽样调查,并说明选取样本的方法.
[变式训练] 下列调查方式合适的是(　　)
[A] 检验100件产品的质量,采用普查的方式
[B] 为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式
[C] 为了了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式
[D] 对载人航天器神舟二十号零部件的检查,采用抽样调查的方式
题型二　简单随机抽样的概念
[例2] (多选题)下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是(　　)
[A] 从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
[B] 盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
[C] 从装有100个零件的箱子中,选出10个进行质量检验,抽样过程中,从中任意选出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里
[D] 某班有50名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异.
(2)总体中个体数N有限.
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N.
(4)每个个体被抽到的可能性均为.
只要4个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
[变式训练] 在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性(　　)
[A] 与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
[B] 与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
[C] 与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
[D] 与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽取的可能性不一定
题型三　简单随机抽样的方法
[例3] 某单位对口支援西部开发,现从报名的50名志愿者中选取10人组成支援小组到西部工作3年,请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案.
第一步,将50名志愿者编号,号码为01,02,03,…,50.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀.
第四步,从盒子中依次不放回地取出10个号签,并记录上面的编号.
第五步,与所得号码对应的志愿者就是支援小组成员.
随机数法:
(1)将50名志愿者编号,号码为01,02,03,…,50.
(2)准备10个大小,质地均匀的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9.
(3)把小球放入一个不透明的容器中,搅拌均匀,从容器中有放回地抽取2次,并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字,这样就生成了一个随机数,如果这个随机数在1～50范围内,就代表了对应编号的志愿者被抽中,否则舍弃编号.
(4)重复抽取随机数,直到抽中10名志愿者为止.
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是个体之间差异不明显.一般地,当样本容量和总体容量较小时,可用抽签法.
(2)当总体容量较大、样本容量不大时,用随机数法抽取样本较好.
[变式训练] 使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查,合适的抽样方法是(　　)
[A] 抽签法
[B] 随机数法
[C] 放回随机抽样法
[D] 以上都不对
题型四　用样本平均数估计总体平均数
[例4] 某校为了解学生的课外阅读情况,通过简单随机抽样抽取了40名学生,对他们一周的读书时间进行了统计,统计数据如下:
读书时间/小时 7 8 9 10 11
学生人数 6 10 9 8 7
则该校学生一周读书时间的平均数(　　)
[A] 一定为9小时 [B] 高于9小时
[C] 低于9小时 [D] 约为9小时
当总体规模很大时,一般用样本平均数估计总体平均数,用样本中某类个体的比例估计该类个体在总体中所占的比例.
[变式训练] 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 206石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得252粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
[A] 134石 [B] 169石
[C] 138石 [D] 165石
所以这批米内夹谷约为1 206×=134(石).故选A.
(分值:95分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
单选每题5分.
1.要检测人血液中某种细胞含量是否正常,应该采用的调查方法是(　　)
[A] 普查
[B] 抽样调查
[C] 普查或者抽样调查都可以
[D] 普查和抽样调查都不可以
故选B.
2.下列抽样试验中,适合用抽签法的是(　　)
[A] 从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
[B] 从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
[C] 从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
[D] 从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
对于B,总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;
对于C,甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽
签法;
对于D,总体中的个体数较大,不适合用抽签法.故选B.
3.某班级有40名学生,班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访,则同学A被抽到的可能性为(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.采用简单随机抽样进行抽样检测,必须做的步骤是(　　)
[A] 对每个个体进行编号
[B] 制作相应数量的号签
[C] 用随机数表产生随机数
[D] 用计算器的随机函数功能产生随机数
5.总体由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成.利用电子表格软件生成如下随机数:64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,45,24,则选出来的第2个个体的编号为(　　)
[A] 23 [B] 26 [C] 35 [D] 32
6.高考“3+3”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.计入总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6个科目中自主选择.某中学为了解本校学生的选择情况,随机调查了100名学生的选择意向,其中选择物理或化学的学生共有40名,选择化学的学生共有30名,选择物理也选择化学的学生共有10名,则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为(　　)
[A] 0.1 [B] 0.2 [C] 0.3 [D] 0.4
7.(5分)某果园种植了240棵苹果树,现从中随机抽取了20棵苹果树,算得这20棵苹果树平均每棵产量为28 kg,则预估该果园的苹果产量为　kg.
8.(5分)某地招聘考试分为笔试和面试,其中笔试按60%计入总分,面试按40%计入总分,一考生笔试成绩为95分,面试成绩为85分,则其总成绩为　　　　分.
9.(13分)一名学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的:从15道物理题中随机抽3道;从20道化学题中随机抽3道;从12道生物学题中随机抽2道.使用合适的方法确定这名学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为 1～15,化学题的编号为16～35,生物学题的编号为36～47).
【解]第一步,将试题的编号1~47分别写在47张形状、大小相同的纸条上,将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物学题的号签分别放在3个不透明的袋子中,充分搅匀;
第二步，从装有物理题号签的袋子中逐个抽取3 个号签，从装有化学题号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物学题号签的袋子中逐个抽取2 个号签，并记录所得号签上的编号,这便是所要回答的问题的编号.
10.(15分)某些商家为消费者提供免费塑料袋,使购物消费更加方便快捷,但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况,统计人员采用了科学的方法,随机抽取了200户,对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计,结果如下表:
每户丢弃塑料 袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数;
(2)假设该市现有家庭100万户,据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的
总数.
(2)3×365×100=109 500(万个),由此估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋109 500万个.
11.从一群正在做游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任意选取m人,发现其中有n个小孩曾分到过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为(　　)
[A] [B] k+m-n
[C] [D] 不能估计
则=,x=.故选C.
12.(5分)利用简单随机抽样的方法,从n个个体(n>13)中抽取13个个体,若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的可能性为　　　　.
13.(17分)学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估,成绩(单位:分)如下表所示:
项目 工作态度 教学成绩 业务学习
王老师 98 95 96
张老师 90 99 98
(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩,并以此作为评优的依据,你认为谁会被评为优秀
(2)如果以20%,60%,20%作为三项成绩的比例来计算他们的成绩,结果又会如何
王老师的平均分较高,王老师被评为优秀.
(2)王老师的平均分为98×20%+95×60%+96×20%=95.8(分).
张老师的平均分为90×20%+99×60%+98×20%=97(分).故张老师的平均分较高,张老师被评为优秀.(共38张PPT)
第九章　统　计
9.1　随机抽样
9.1.1　简单随机
抽样
1.在简单随机抽样的实施过程中,掌握抽签法和随机数法的步骤,培养数据分析的核心素养.2.通过用样本平均数估计总体平均数,培养数据分析、数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　全面调查和抽样调查
调查 方式 普查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为
普查
抽样调查
相关 概念 ①在一个调查中,我们把调查对象的全体称为 ; ②组成总体的每一个调查对象称为 ①我们把从总体中抽取的那部分个体称为
;
②样本中包含的个体数称为样本容量,简称
.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据
总体
个体
样本
样本量
『知识拓展』
普查和抽样调查的比较
方法 普查 抽样调查
优点 调查结果全面、系统 (1)迅速及时;
(2)节约人力、物力和财力
缺点 工作量大,有时候费时费力 调查结果不如全面调查全面、系统
适用 范围 (1)调查对象少; (2)调查对象多,但是要求调查结果必须全面、系统、准确时 (1)调查对象太多,且不必要全面调查时;
(2)调查方式有破坏性时
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中 抽取n(1≤n放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 知识点二　简单随机抽样
逐个
相等
未进入样本的各个个体
·疑难解惑·
对简单随机抽样的理解
用简单随机抽样的方法抽取样本时,样本量越大,样本所反映的实际情况就越接近总体的实际情况,即对于样本的代表性,一般说来,样本量大的会好于样本量小的,尤其是样本量不大时,增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是,在实际抽样中,样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加.因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并不一定是越大越好.
知识点三　抽签法与随机数法
抽样 方法 抽签法 随机数法
定义 先给总体中的个体编号.然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个 的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数 先给总体中的个体编号,例如按1～N进行编号.用随机数工具产生1～N范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数
不透明
优点 简单易行.当总体中的个体数不多时,使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易,这时,每个个体都有均等的机会被抽中,从而能够保证样本的代表性 简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时抽签法制签难的问题
缺点 仅适用于个体数较少的总体.当总体容量非常大时,费时费力又不方便,况且,如果号签搅拌不均匀,可能导致抽样不公平 当总体中的个体数很多,需要的样本量也较大时,用随机数法抽取样本仍不方便
·疑难解惑·
对抽签法的理解
抽签时每个个体被抽到的机会相同,与抽签的先后顺序无关.
知识点四　样本均值(平均数)
名称 定义
总体 均值 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则
称 为总体均值,又称总体平均数
fiYi
·温馨提示·
基础自测
1.下列调查方式中,可用普查的是(　　)
[A] 调查某品牌电视机的市场占有率
[B] 调查某电视连续剧在全国的收视率
[C] 调查某校七年级(1)班的男女同学的比例
[D] 调查某型号炮弹的射程
C
【解析】 对于ABD,调查对象的数目较多或有破坏性,适合采用抽查;对于C,调查对象的数目较少,适合采用普查.故选C.
2.在“世界读书日”前夕,为了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)
[A] 总体
[B] 个体
[C] 样本量
[D] 从总体中抽取的一个样本
A
【解析】 根据题意,结合总体、样本、个体、样本容量的定义可知,5 000名居民的阅读时间的全体是总体.故选A.
3.某班对某次考试成绩进行分析,利用随机数法抽取样本时,先将70名同学按01,02,03,…,70进行编号,然后通过电子表格软件生成如下随机数:29,78,64,
56,07,82,52,42,07,44,38,15,51,则依次选出的第7个个体编号是(　　)
[A] 07 [B] 44 [C] 15 [D] 51
B
【解析】 符合条件的前7个个体编号是29,64,56,07,52,42,44,故选出的第7个个体的编号是44.故选B.
4.为了考察某地6月份最高气温(单位:℃)的情况,随机抽取了5天,所得数据约为29,29,31,30,31,则该地6月份最高气温的平均值约为　　　　 ℃.
30
关键能力·素养培优
题型一　普查和抽样调查
[例1] (多选题)下列调查的样本合理的是(　 　)
[A] 在校内发出1 000张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁
[B] 从一万多名工人中,经过选举,确定100名代表,然后投票表决,了解工人们对工厂机构改革的意见
[C] 到老年公寓进行调查,了解全市老年人的健康状况
[D] 为了了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查
BD
【解析】 A中样本不具有代表性、有效性,在班级旁画“√”与了解最受欢迎的教师没有关系;C中样本缺乏代表性;而B,D是合理的样本.故选BD.
·解题策略·
当总体数量较大或调查具有破坏性等情况时,通常采用抽样调查,通过抽取样本,用样本的情况来估计总体的情况.我们需要判断每个问题是否适合抽样调查,并说明选取样本的方法.
[变式训练] 下列调查方式合适的是(　　)
[A] 检验100件产品的质量,采用普查的方式
[B] 为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式
[C] 为了了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式
[D] 对载人航天器神舟二十号零部件的检查,采用抽样调查的方式
C
【解析】 检验产品的质量,有些具有破坏性,故采用抽样调查的方式,故A错误;了解全国中学生的睡眠状况,工作量大,采用抽样调查的方式,故B错误;为了了解人们保护水资源的意识,工作量大,采用抽样调查的方式,故C正确;对载人航天器神舟二十号零部件的检查十分重要,故进行普查,故D错误.故选C.
[例2] (多选题)下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是(　 　)
[A] 从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
[B] 盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
[C] 从装有100个零件的箱子中,选出10个进行质量检验,抽样过程中,从中任意选出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里
[D] 某班有50名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
题型二　简单随机抽样的概念
BC
【解析】 对于A,根据简单随机抽样的定义,从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不是简单随机抽样,所以A不符合题意;对于B,根据简单随机抽样的定义,80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验,满足简单随机抽样的条件,所以B符合题意;对于C,是放回简单随机抽样,所以C符合题意;对于D,根据简单随机抽样的定义,从50名同学中,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛,不满足简单随机抽样的定义,所以D不符合题意.故选BC.
·解题策略·
可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异.
(2)总体中个体数N有限.
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N.
[变式训练] 在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性(　　)
[A] 与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
[B] 与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
[C] 与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
[D] 与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽取的可能性不一定
B
【解析】 在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确.故选B.
[例3] 某单位对口支援西部开发,现从报名的50名志愿者中选取10人组成支援小组到西部工作3年,请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案.
题型三　简单随机抽样的方法
【解】 抽签法:
第一步,将50名志愿者编号,号码为01,02,03,…,50.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀.
第四步,从盒子中依次不放回地取出10个号签,并记录上面的编号.
第五步,与所得号码对应的志愿者就是支援小组成员.
随机数法:
(1)将50名志愿者编号,号码为01,02,03,…,50.
(2)准备10个大小,质地均匀的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9.
(3)把小球放入一个不透明的容器中,搅拌均匀,从容器中有放回地抽取2次,并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字,这样就生成了一个随机数,如果这个随机数在1～50范围内,就代表了对应编号的志愿者被抽中,否则舍弃编号.
(4)重复抽取随机数,直到抽中10名志愿者为止.
·解题策略·
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是个体之间差异不明显.一般地,当样本容量和总体容量较小时,可用抽签法.
(2)当总体容量较大、样本容量不大时,用随机数法抽取样本较好.
[变式训练] 使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查,合适的抽样方法是(　　)
[A] 抽签法
[B] 随机数法
[C] 放回随机抽样法
[D] 以上都不对
B
【解析】 由于总体相对较大,样本量较小,故采用随机数法较为合适.故选B.
[例4] 某校为了解学生的课外阅读情况,通过简单随机抽样抽取了40名学生,对他们一周的读书时间进行了统计,统计数据如下:
题型四　用样本平均数估计总体平均数
读书时间/小时 7 8 9 10 11
学生人数 6 10 9 8 7
则该校学生一周读书时间的平均数(　　)
[A] 一定为9小时 [B] 高于9小时
[C] 低于9小时 [D] 约为9小时
D
·解题策略·
当总体规模很大时,一般用样本平均数估计总体平均数,用样本中某类个体的比例估计该类个体在总体中所占的比例.
[变式训练] 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 206石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得252粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
[A] 134石 [B] 169石
[C] 138石 [D] 165石
A
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