资源简介

9.1.2　分层随机抽样
9.1.3　获取数据的途径
【课程标准要求】　1.在分层随机抽样的实施过程中,掌握分层随机抽样的步骤,培养数据分析的核心素养.2.通过学习获取数据的途径,掌握获取数据的方法,培养数据分析、数学建模的核心素养.
知识点一　分层随机抽样
1.分层随机抽样概念
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
2.分层随机抽样中的样本平均数
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,用X1,X2,…,XM表示第1层各个个体的变量值,用x1,x2,…,xm表示第1层样本的各个个体的变量值;用Y1,Y2,…,YN表示第2层各个个体的变量值,用y1,y2,…,yn表示第2层样本的各个个体的变量值,则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
==Xi,
==xi.
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
==Yi,
==yi.
总体平均数和样本平均数分别为
=,=.
在比例分配的分层随机抽样中,==,
可得+=+=.
因此,在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 .
知识拓展
简单随机抽样、分层随机抽样的联系和区别
类别 简单随机抽样 分层随机抽样
各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层,分层进行抽取
相互联系 分层随机抽样在各层抽样时采用简单随机抽样
适用范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成
共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
知识点二　获取数据的途径
获取数据的基本途径有:
(1)通过调查获取数据;
(2)通过试验获取数据;
(3)通过观察获取数据;
(4)通过查询获得数据.
基础自测
1.为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是(　　)
[A] 不放回简单随机抽样
[B] 按性别分层随机抽样
[C] 按学段分层随机抽样
[D] 放回简单随机抽样
2.为了报考理想的大学,小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据,他获取这些数据的最好途径是(　　)
[A] 通过调查获取数据
[B] 通过试验获取数据
[C] 通过观察获取数据
[D] 通过查询获得数据
3.(人教A版必修第二册P189习题9.1 T5改编)一支田径队有男运动员28人,女运动员20人,按照性别进行分层,用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人,则女运动员被抽取的人数为(　　)
[A] 4 [B] 5 [C] 6 [D] 7
4.一个总体分为A,B两层,用比例分配的分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都是,则总体中的个体数为　　　　.
题型一　分层随机抽样的概念
[例1] ①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90～100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为(　　)
[A] 分层随机抽样,简单随机抽样
[B] 简单随机抽样,简单随机抽样
[C] 简单随机抽样,分层随机抽样
[D] 分层随机抽样,分层随机抽样
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提:使用分层随机抽样的前提是总体可以分层,层与层之间差异较大,而层内个体间差异较小.
(2)遵循的两条原则:
①按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,即遵循不重复、不遗漏的原则;
②在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,即各层中遵循等可能抽样的原则.
[变式训练] 分层随机抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行(　　)
[A] 每层等可能抽样
[B] 每层可以不等可能抽样
[C] 所有层按同一抽样比等可能抽样
[D] 所有层抽取个体数量相同
题型二　分层随机抽样的应用
[例2] (北师大版必修第一册P158例5)某公司有1 000名员工,其中50名属于高收入者,150名属于中等收入者,800名属于低收入者.要对该公司员工的具体收入情况进行调查,欲抽取100名员工,应当怎样抽样比较合理
比例分配的分层随机抽样的步骤
[变式训练] 有以下两个案例.
案例一:从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测蛋白质的含量;
案例二:某公司有员工800人,其中具有高级职称的有160人,具有中级职称的有320人,具有初级职称的有200人,其他人员120人,从中抽取容量为40的样本,了解他们的收入情况.
(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程.
(2)①分层,将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层;
②确定抽样比q==;
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6;
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;
⑤汇总构成一个容量为40的样本.
题型三　用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
[例3] 某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为175,女生样本的均值为165.
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配,请计算总样本的均值为多少
(2)如果已知男、女的样本量都是25,请计算总样本均值为多少
总样本的均值为×175+×165=171 cm.
(2)男、女的样本量都是25,
总样本的均值为×175+×165=170 cm.
(1)比例分配的分层随机抽样中的计算方法
抽样比==;
总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的样本量之比.对于比例分配的分层随机抽样中求某层个体数或某层抽取的样本量,都可以通过上面两个等量关系求解.
(2)比例分配的分层随机抽样平均数计算相当于加权平均数的计算.
[变式训练] 某校的男生、女生人数之比为2∶3,通过比例分配的分层随机抽样方法抽到一个样本,样本中男生和女生每天运动时长的平均数分别为100 min和80 min,估计该校全体学生每天运动时长的平均数为(　　)
[A] 98 min [B] 90 min
[C] 88 min [D] 85 min
题型四　获取数据的途径
[例4] 接受就业技能训练是否能够提高受训者的收入水平 下面是两种获得数据的方案,你认为哪种更有效 并说明理由.
方案1:分别在受过技能训练和未受过技能训练的人群中抽取样本,统计他们的收入水平.
方案2:从未受过技能训练的人员中抽取两组,两个组的组成成员的年龄、性别、文化程度及社会经历大体相当,其中一组进行专门的技能训练,另一组只作为考察对象,不进行任何培训.
5年后,分别统计两个组的收入水平.
方案1和方案2比较,方案2更具有代表性.
方案1的抽样的人群中,除就业技能训练的其他方面也很有可能影响到他们的收入水平.
方案2的抽样人员年龄、性别、文化程度及社会经历大体相当,两组人员不同的只是是否参加过技能训练,更能代表就业技能训练对受训者的收入水平的影响.
在统计活动中,尤其是大型的统计活动,为避免一些外界因素的干扰,通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略,需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法,然后对数据进行分析,得出统计推断.
[变式训练] 在一次数学课堂上,郭老师请四名同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.
小凉:某市今年“五一”前后的气温;
小爽:判断某种新药是否有效;
小夏:“中央电视台新闻联播”的收视率;
小天:近年来某市普通高中入学人数.
其中,通过调查获取数据的是(　　)
[A] 小凉 [B] 小爽 [C] 小夏 [D] 小天
判断某种新药是否有效,通过试验获取数据;
“中央电视台新闻联播”的收视率,通过调查获取数据;
近年来某市普通高中入学人数,通过查询获得数据.故选C.
(分值:95分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
单选每题5分,多选每题6分.
1.某学校有男生700名、女生600名.为了解男生、女生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是(　　)
[A] 抽签法 [B] 随机数法
[C] 普查 [D] 分层随机抽样法
2.某工厂甲、乙、丙三个车间,生产了同一种产品,数量分别为3 200件、x件、2 400件,为了解各车间的产品是否存在显著差异,按车间分层随机抽样抽取一个样本进行检测.若在甲、乙两车间共抽取了90件,在乙、丙两车间共抽取了80件,则x等于(　　)
[A] 3 000 [B] 3 200
[C] 3 600 [D] 4 000
解得x=4 000.故选D.
3.高一某班级有男生35人,女生15人,用分层随机抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本,抽出的男生平均体重为70 kg,抽出的女生平均体重为50 kg,估计该班的平均体重是(　　)
[A] 54 kg [B] 60 kg
[C] 64 kg [D] 65 kg
4.(多选题)下列项目中需要收集的数据,可以通过试验获取的有(　　)
[A] 某种新式海水稻的产量
[B] 某市人民群众对服务热线的满意度
[C] 某品牌的新款汽车A柱(前挡风玻璃和左、右前车门之间的柱)的安全性
[D] 某地区降水量对土豆产量的影响情况
5.某校有700名高一学生,400名高二学生,400名高三学生,高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层随机抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查,则下列说法正确的是(　　)
[A] 高一学生被抽到的概率最大
[B] 高三学生被抽到的概率最大
[C] 高三学生被抽到的概率最小
[D] 每名学生被抽到的概率相等
6.某中学某班共有50名学生,其中男女比例3∶2,平均身高174 cm,用等比例分层随机抽样的方法,从中抽取一个容量为20的样本,若样本中男生的平均身高为178 cm,样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为(　　)
[A] 8人　168 cm [B] 8人　170 cm
[C] 12人　168 cm [D] 12人　170 cm
7.(5分)某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从9～10岁,11～12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段同比例分层抽取容量为300的样本,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为　　　　.
12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900份,则15～16岁回收问卷份数为x=900-120-180-240=360(份).
所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120(份).
8.(5分)某地气象台记录了本地6月份的日最高气温(如下表所示):
日最高气温y/℃ 20 22 24 25 26 28 29 30
频数 5 4 6 6 4 2 2 1
气象台获取数据的途径是　　　　　　　　　　　　　　　,本地6月份的日最高气温的平均数约为　　　　℃(结果保留一位小数).
9.(13分)某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12 000人,其中持各种态度的人数如表所示.电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2 435 4 567 3 926 1 072
“很喜爱”占,应取60×≈12(人);
“喜爱”占,应取60×≈23(人);
“一般”占,应取60×≈20(人);
“不喜爱”占,应取60×≈5(人).
因此,采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”的2 435人、“喜爱”的4 567人、“一般”的3 926人和“不喜爱”的1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.
10.(14分)某校高一年级新入学360名学生,其中200名男生,160名女生.学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍,每间宿舍可住2名学生.该校“数学与统计”社团的学生为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况,按照性别进行分层随机抽样,其中抽取的40名男生家庭居住地与学校的距离数据(单位:km)如下:
5.0 6.0 7.0 7.5 8.0 8.4 4.0 3.5 4.5 3.0
4.3 5.0 4.0 3.0 2.5 4.0 1.6 6.0 6.5 6.0
5.5 5.7 3.1 5.2 4.4 5.0 6.4 3.5 7.0 7.0
4.0 3.0 3.4 6.9 4.8 5.6 5.0 5.6 6.5 6.6
(1)根据以上样本数据推断,若男生甲家庭居住地与学校距离为8.3 km,他是否能住宿 说明
理由.
(2)通过计算得到男生样本数据平均数为5.1 km,女生样本数据平均数为4.875 km,求所有样本数据的平均数.
因为200名男生中有10名男生住校,
所以抽取的40名男生中约有2名男生住校.
由样本数据可知,距离为8.4 km和8.0 km的男生住校,距离为8.0 km以下的男生不住校,由于8.3>8.0,所以男生甲住宿.
(2)根据分层随机抽样的原则,应抽取32名女生.
因为男生样本数据的平均数为5.1 km,女生样本数据的平均数为4.875 km,所以所有样本数据的平均数为=5(km).
所以所有样本数据的平均数为5 km.
11.(多选题)某科研院所共有科研人员200人,统计得到如下数据:
性别 研究学科 合计
数学 物理 化学 生物
女 15 10 24 31 80
男 45 40 18 17 120
合计 60 50 42 48 200
欲了解该所科研人员的创新能力,决定抽取40名科研人员进行调查,那么(　　)
[A] 若按照研究学科进行分层随机抽样(比例分配),则数学学科科研人员一定被抽取12人
[B] 若按照性别进行分层随机抽样(比例分配),则男性科研人员可能被抽取20人
[C] 若按照简单随机抽样,则女性科研人员一定被抽取10人
[D] 若按照简单随机抽样,则可能抽出的均为数学学科科研人员
对于A,按学科分层抽样,则数学学科抽取人数为×60=12(人),故A正确;
对于B,按性别分层抽样,则男性科研人员被抽到的人数为×120=24(人),故B错误;
对于C,若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的概率都相等,则女性科研人员不一定被抽取10人,故C错误;
对于D,若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的概率都相等,则可能抽出的均为数学学科科研人员,故D正确.故选AD.
12.(多选题)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何 ”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少钱 则下列说法正确的是(　　)
[A] 甲应付51钱
[B] 乙应付32钱
[C] 丙应付16钱
[D] 三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
则甲应付×560=51(钱);
乙应付×350=32(钱);
丙应付×180=16(钱).故选ACD.
13.(15分)2025年度某企业共需要学徒制培训200人,培训结束后进行考核,现对考核后取得相应岗位证书进行统计,统计情况如下表:
岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级 技师
人数 20 60 60 40 20
(1)现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团,求交流团中取得技师类(包含技师和高级技师)岗位证书的人数.
(2)为了鼓励企业员工参加培训,该企业在2025年出台了如下培训奖励措施.
岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级 技师
奖励金额 /(元/人) 0 500 600 800 1 000
以2025年度培训取得各岗位证书的频率来估计2026年的培训考核结果,若该企业在2026年度培训共400人,请估计该企业2026年度共需支付多少奖金
所以分层随机抽样的10人中有×10=3(人).
(2)初级工频率为=0.1,支付400×0.1×0=0(元);
中级工频率为,支付×400×500=60 000(元);
高级工频率为,支付×400×600=72 000(元);
技师频率为,支付×400×800=64 000(元);
高级技师频率为,
支付×400×1 000=40 000(元).
加起来需支付费用0+60 000+72 000+64 000+40 000=236 000(元),
所以估计该企业需支付236 000元.9.1.2　分层随机抽样
9.1.3　获取数据的途径
【课程标准要求】　1.在分层随机抽样的实施过程中,掌握分层随机抽样的步骤,培养数据分析的核心素养.2.通过学习获取数据的途径,掌握获取数据的方法,培养数据分析、数学建模的核心素养.
知识点一　分层随机抽样
1.分层随机抽样概念
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
2.分层随机抽样中的样本平均数
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,用X1,X2,…,XM表示第1层各个个体的变量值,用x1,x2,…,xm表示第1层样本的各个个体的变量值;用Y1,Y2,…,YN表示第2层各个个体的变量值,用y1,y2,…,yn表示第2层样本的各个个体的变量值,则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
==Xi,
==xi.
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
==Yi,
==yi.
总体平均数和样本平均数分别为
=,=.
在比例分配的分层随机抽样中,==,
可得+=+=.
因此,在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 .
知识拓展
简单随机抽样、分层随机抽样的联系和区别
类别 简单随机抽样 分层随机抽样
各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层,分层进行抽取
相互联系 分层随机抽样在各层抽样时采用简单随机抽样
适用范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成
共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
知识点二　获取数据的途径
获取数据的基本途径有:
(1)通过调查获取数据;
(2)通过试验获取数据;
(3)通过观察获取数据;
(4)通过查询获得数据.
基础自测
1.为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是(　　)
[A] 不放回简单随机抽样
[B] 按性别分层随机抽样
[C] 按学段分层随机抽样
[D] 放回简单随机抽样
【答案】 C
【解析】 小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,故选用按学段分层随机抽样的抽样方法.故选C.
2.为了报考理想的大学,小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据,他获取这些数据的最好途径是(　　)
[A] 通过调查获取数据
[B] 通过试验获取数据
[C] 通过观察获取数据
[D] 通过查询获得数据
【答案】 D
【解析】 因为近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据有存储,所以小明获取这些数据的最好途径是通过查询获得数据.故选D.
3.(人教A版必修第二册P189习题9.1 T5改编)一支田径队有男运动员28人,女运动员20人,按照性别进行分层,用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人,则女运动员被抽取的人数为(　　)
[A] 4 [B] 5 [C] 6 [D] 7
【答案】 B
【解析】 由题意得,女运动员被抽取的人数为×20=5.故选B.
4.一个总体分为A,B两层,用比例分配的分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都是,则总体中的个体数为　　　　.
【答案】 240
【解析】 因为用分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本,由B层中每个个体被抽到的概率都为,知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是,所以总体中的个体数为20÷=240.
题型一　分层随机抽样的概念
[例1] ①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90～100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为(　　)
[A] 分层随机抽样,简单随机抽样
[B] 简单随机抽样,简单随机抽样
[C] 简单随机抽样,分层随机抽样
[D] 分层随机抽样,分层随机抽样
【答案】 A
【解析】 对于①,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;对于②,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当.故选A.
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提:使用分层随机抽样的前提是总体可以分层,层与层之间差异较大,而层内个体间差异较小.
(2)遵循的两条原则:
①按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,即遵循不重复、不遗漏的原则;
②在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,即各层中遵循等可能抽样的原则.
[变式训练] 分层随机抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行(　　)
[A] 每层等可能抽样
[B] 每层可以不等可能抽样
[C] 所有层按同一抽样比等可能抽样
[D] 所有层抽取个体数量相同
【答案】 C
【解析】 保证每个个体等可能地被抽取是两种基本抽样方式的共同特征,为了保证这一点,分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样.故选C.
题型二　分层随机抽样的应用
[例2] (北师大版必修第一册P158例5)某公司有1 000名员工,其中50名属于高收入者,150名属于中等收入者,800名属于低收入者.要对该公司员工的具体收入情况进行调查,欲抽取100名员工,应当怎样抽样比较合理
【解】 可以采用分层随机抽样的方法.按照该公司员工的收入水平分成三层:高收入者、中等收入者、低收入者.高收入者为50名,占所有员工的比例为=5%,为保证样本的代表性,在所抽取的100名员工中,高收入者所占的比例也应为5%,即100×5%=5,所以应抽取5名高收入者比较合理.同理,抽取15名中等收入者、80名低收入者,再对他们的具体收入状况分别进行调查.
比例分配的分层随机抽样的步骤
[变式训练] 有以下两个案例.
案例一:从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测蛋白质的含量;
案例二:某公司有员工800人,其中具有高级职称的有160人,具有中级职称的有320人,具有初级职称的有200人,其他人员120人,从中抽取容量为40的样本,了解他们的收入情况.
(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程.
【解】 (1)案例一用简单随机抽样,案例二用分层随机抽样.
(2)①分层,将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层;
②确定抽样比q==;
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6;
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;
⑤汇总构成一个容量为40的样本.
题型三　用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
[例3] 某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为175,女生样本的均值为165.
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配,请计算总样本的均值为多少
(2)如果已知男、女的样本量都是25,请计算总样本均值为多少
【解】 (1)男、女的样本量按比例分配,
总样本的均值为×175+×165=171 cm.
(2)男、女的样本量都是25,
总样本的均值为×175+×165=170 cm.
(1)比例分配的分层随机抽样中的计算方法
抽样比==;
总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的样本量之比.对于比例分配的分层随机抽样中求某层个体数或某层抽取的样本量,都可以通过上面两个等量关系求解.
(2)比例分配的分层随机抽样平均数计算相当于加权平均数的计算.
[变式训练] 某校的男生、女生人数之比为2∶3,通过比例分配的分层随机抽样方法抽到一个样本,样本中男生和女生每天运动时长的平均数分别为100 min和80 min,估计该校全体学生每天运动时长的平均数为(　　)
[A] 98 min [B] 90 min
[C] 88 min [D] 85 min
【答案】 C
【解析】 设抽取的男生人数为2k,则抽取的女生人数为3k,结合此数据,估计该校全体学生每天运动时长的平均数为==88(min).故选C.
题型四　获取数据的途径
[例4] 接受就业技能训练是否能够提高受训者的收入水平 下面是两种获得数据的方案,你认为哪种更有效 并说明理由.
方案1:分别在受过技能训练和未受过技能训练的人群中抽取样本,统计他们的收入水平.
方案2:从未受过技能训练的人员中抽取两组,两个组的组成成员的年龄、性别、文化程度及社会经历大体相当,其中一组进行专门的技能训练,另一组只作为考察对象,不进行任何培训.
5年后,分别统计两个组的收入水平.
【解】 抽样时要注意样本的代表性和广泛性.
方案1和方案2比较,方案2更具有代表性.
方案1的抽样的人群中,除就业技能训练的其他方面也很有可能影响到他们的收入水平.
方案2的抽样人员年龄、性别、文化程度及社会经历大体相当,两组人员不同的只是是否参加过技能训练,更能代表就业技能训练对受训者的收入水平的影响.
在统计活动中,尤其是大型的统计活动,为避免一些外界因素的干扰,通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略,需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法,然后对数据进行分析,得出统计推断.
[变式训练] 在一次数学课堂上,郭老师请四名同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.
小凉:某市今年“五一”前后的气温;
小爽:判断某种新药是否有效;
小夏:“中央电视台新闻联播”的收视率;
小天:近年来某市普通高中入学人数.
其中,通过调查获取数据的是(　　)
[A] 小凉 [B] 小爽 [C] 小夏 [D] 小天
【答案】 C
【解析】 某市今年“五一”前后的气温,通过观察获取数据;
判断某种新药是否有效,通过试验获取数据;
“中央电视台新闻联播”的收视率,通过调查获取数据;
近年来某市普通高中入学人数,通过查询获得数据.故选C.
(分值:95分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
单选每题5分,多选每题6分.
1.某学校有男生700名、女生600名.为了解男生、女生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是(　　)
[A] 抽签法 [B] 随机数法
[C] 普查 [D] 分层随机抽样法
【答案】 D
【解析】 由于男女生两个不同的群体在空间想象能力方面有差异,最适合采用的是分层随机抽样法.故选D.
2.某工厂甲、乙、丙三个车间,生产了同一种产品,数量分别为3 200件、x件、2 400件,为了解各车间的产品是否存在显著差异,按车间分层随机抽样抽取一个样本进行检测.若在甲、乙两车间共抽取了90件,在乙、丙两车间共抽取了80件,则x等于(　　)
[A] 3 000 [B] 3 200
[C] 3 600 [D] 4 000
【答案】 D
【解析】 由分层随机抽样可知=,
解得x=4 000.故选D.
3.高一某班级有男生35人,女生15人,用分层随机抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本,抽出的男生平均体重为70 kg,抽出的女生平均体重为50 kg,估计该班的平均体重是(　　)
[A] 54 kg [B] 60 kg
[C] 64 kg [D] 65 kg
【答案】 C
【解析】 根据分层随机抽样的定义可得抽取男生7人,女生3人,男生平均体重为70 kg,女生平均体重为50 kg,该班的平均体重是=64 (kg).故选C.
4.(多选题)下列项目中需要收集的数据,可以通过试验获取的有(　　)
[A] 某种新式海水稻的产量
[B] 某市人民群众对服务热线的满意度
[C] 某品牌的新款汽车A柱(前挡风玻璃和左、右前车门之间的柱)的安全性
[D] 某地区降水量对土豆产量的影响情况
【答案】 AC
【解析】 A,C两项所需数据都没有现存数据可供查询,需要通过试验的方法来获取样本观测数据.B项数据宜通过调查获取,D项数据宜通过观察或查询获取.故选AC.
5.某校有700名高一学生,400名高二学生,400名高三学生,高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层随机抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查,则下列说法正确的是(　　)
[A] 高一学生被抽到的概率最大
[B] 高三学生被抽到的概率最大
[C] 高三学生被抽到的概率最小
[D] 每名学生被抽到的概率相等
【答案】 D
【解析】 无论采取简单随机抽样,还是分层随机抽样,每个个体被抽取的概率都相同.故选D.
6.某中学某班共有50名学生,其中男女比例3∶2,平均身高174 cm,用等比例分层随机抽样的方法,从中抽取一个容量为20的样本,若样本中男生的平均身高为178 cm,样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为(　　)
[A] 8人　168 cm [B] 8人　170 cm
[C] 12人　168 cm [D] 12人　170 cm
【答案】 A
【解析】 由题意可知,样本中男生人数为20×=12,女生人数为8,则样本中女生的平均身高为=168.故选A.
7.(5分)某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从9～10岁,11～12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段同比例分层抽取容量为300的样本,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为　　　　.
【答案】 120
【解析】 因为11～12岁回收180份,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,则抽样比为.又因为从回收的问卷中按年龄段同比例分层抽取容量为300的样本,所以从9～10岁,11～
12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900份,则15～16岁回收问卷份数为x=900-120-180-240=360(份).
所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120(份).
8.(5分)某地气象台记录了本地6月份的日最高气温(如下表所示):
日最高气温y/℃ 20 22 24 25 26 28 29 30
频数 5 4 6 6 4 2 2 1
气象台获取数据的途径是　　　　　　　　　　　　　　　,本地6月份的日最高气温的平均数约为　　　　℃(结果保留一位小数).
【答案】 通过观察获取数据　24.3
【解析】 由题意可知气象台获取数据的途径是通过观察获取数据;本地6月份的日最高气温的平均数为=×(20×5+22×4+24×6+25×6+26×4+28×2+29×2+30×1)≈24.3(℃).
9.(13分)某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12 000人,其中持各种态度的人数如表所示.电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2 435 4 567 3 926 1 072
【解】 可用分层随机抽样,其总体容量为12 000.
“很喜爱”占,应取60×≈12(人);
“喜爱”占,应取60×≈23(人);
“一般”占,应取60×≈20(人);
“不喜爱”占,应取60×≈5(人).
因此,采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”的2 435人、“喜爱”的4 567人、“一般”的3 926人和“不喜爱”的1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.
10.(14分)某校高一年级新入学360名学生,其中200名男生,160名女生.学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍,每间宿舍可住2名学生.该校“数学与统计”社团的学生为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况,按照性别进行分层随机抽样,其中抽取的40名男生家庭居住地与学校的距离数据(单位:km)如下:
5.0 6.0 7.0 7.5 8.0 8.4 4.0 3.5 4.5 3.0
4.3 5.0 4.0 3.0 2.5 4.0 1.6 6.0 6.5 6.0
5.5 5.7 3.1 5.2 4.4 5.0 6.4 3.5 7.0 7.0
4.0 3.0 3.4 6.9 4.8 5.6 5.0 5.6 6.5 6.6
(1)根据以上样本数据推断,若男生甲家庭居住地与学校距离为8.3 km,他是否能住宿 说明
理由.
(2)通过计算得到男生样本数据平均数为5.1 km,女生样本数据平均数为4.875 km,求所有样本数据的平均数.
【解】 (1)能住宿.
因为200名男生中有10名男生住校,
所以抽取的40名男生中约有2名男生住校.
由样本数据可知,距离为8.4 km和8.0 km的男生住校,距离为8.0 km以下的男生不住校,由于8.3>8.0,所以男生甲住宿.
(2)根据分层随机抽样的原则,应抽取32名女生.
因为男生样本数据的平均数为5.1 km,女生样本数据的平均数为4.875 km,所以所有样本数据的平均数为=5(km).
所以所有样本数据的平均数为5 km.
11.(多选题)某科研院所共有科研人员200人,统计得到如下数据:
性别 研究学科 合计
数学 物理 化学 生物
女 15 10 24 31 80
男 45 40 18 17 120
合计 60 50 42 48 200
欲了解该所科研人员的创新能力,决定抽取40名科研人员进行调查,那么(　　)
[A] 若按照研究学科进行分层随机抽样(比例分配),则数学学科科研人员一定被抽取12人
[B] 若按照性别进行分层随机抽样(比例分配),则男性科研人员可能被抽取20人
[C] 若按照简单随机抽样,则女性科研人员一定被抽取10人
[D] 若按照简单随机抽样,则可能抽出的均为数学学科科研人员
【答案】 AD
【解析】 分层随机抽样抽样比为=,
对于A,按学科分层抽样,则数学学科抽取人数为×60=12(人),故A正确;
对于B,按性别分层抽样,则男性科研人员被抽到的人数为×120=24(人),故B错误;
对于C,若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的概率都相等,则女性科研人员不一定被抽取10人,故C错误;
对于D,若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的概率都相等,则可能抽出的均为数学学科科研人员,故D正确.故选AD.
12.(多选题)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何 ”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少钱 则下列说法正确的是(　　)
[A] 甲应付51钱
[B] 乙应付32钱
[C] 丙应付16钱
[D] 三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
【答案】 ACD
【解析】 依题意由比例分配的分层随机抽样可知,100÷(560+350+180)=,
则甲应付×560=51(钱);
乙应付×350=32(钱);
丙应付×180=16(钱).故选ACD.
13.(15分)2025年度某企业共需要学徒制培训200人,培训结束后进行考核,现对考核后取得相应岗位证书进行统计,统计情况如下表:
岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级 技师
人数 20 60 60 40 20
(1)现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团,求交流团中取得技师类(包含技师和高级技师)岗位证书的人数.
(2)为了鼓励企业员工参加培训,该企业在2025年出台了如下培训奖励措施.
岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级 技师
奖励金额 /(元/人) 0 500 600 800 1 000
以2025年度培训取得各岗位证书的频率来估计2026年的培训考核结果,若该企业在2026年度培训共400人,请估计该企业2026年度共需支付多少奖金
【解】 (1)技师和高级技师占比为=,
所以分层随机抽样的10人中有×10=3(人).
(2)初级工频率为=0.1,支付400×0.1×0=0(元);
中级工频率为,支付×400×500=60 000(元);
高级工频率为,支付×400×600=72 000(元);
技师频率为,支付×400×800=64 000(元);
高级技师频率为,
支付×400×1 000=40 000(元).
加起来需支付费用0+60 000+72 000+64 000+40 000=236 000(元),
所以估计该企业需支付236 000元.(共35张PPT)
9.1.2　分层随机抽样
9.1.3　获取数据的
途径
1.在分层随机抽样的实施过程中,掌握分层随机抽样的步骤,培养数据分析的核心素养.2.通过学习获取数据的途径,掌握获取数据的方法,培养数据分析、数学建模的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　分层随机抽样
1.分层随机抽样概念
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为 .在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
层
Xi
xi
Yi
yi
『知识拓展』
简单随机抽样、分层随机抽样的联系和区别
类别 简单随机抽样 分层随机抽样
各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层,分层进行抽取
相互联系 分层随机抽样在各层抽样时采用简单随机抽样 适用范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成
共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 知识点二　获取数据的途径
获取数据的基本途径有:
(1)通过 获取数据;
(2)通过 获取数据;
(3)通过 获取数据;
(4)通过 获得数据.
调查
试验
观察
查询
基础自测
1.为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是(　　)
[A] 不放回简单随机抽样
[B] 按性别分层随机抽样
[C] 按学段分层随机抽样
[D] 放回简单随机抽样
C
【解析】 小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,故选用按学段分层随机抽样的抽样方法.故选C.
2.为了报考理想的大学,小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据,他获取这些数据的最好途径是(　　)
[A] 通过调查获取数据
[B] 通过试验获取数据
[C] 通过观察获取数据
[D] 通过查询获得数据
D
【解析】 因为近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据有存储,所以小明获取这些数据的最好途径是通过查询获得数据.故选D.
3.(人教A版必修第二册P189习题9.1 T5改编)一支田径队有男运动员28人,女运动员20人,按照性别进行分层,用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人,则女运动员被抽取的人数为(　　)
[A] 4 [B] 5 [C] 6 [D] 7
B
240
关键能力·素养培优
题型一　分层随机抽样的概念
[例1] ①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90～100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为(　　)
[A] 分层随机抽样,简单随机抽样
[B] 简单随机抽样,简单随机抽样
[C] 简单随机抽样,分层随机抽样
[D] 分层随机抽样,分层随机抽样
A
【解析】 对于①,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;对于②,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当.故选A.
·解题策略·
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提:使用分层随机抽样的前提是总体可以分层,层与层之间差异较大,而层内个体间差异较小.
(2)遵循的两条原则:
①按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,即遵循不重复、不遗漏的原则;
②在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,即各层中遵循等可能抽样的原则.
[变式训练] 分层随机抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行(　　)
[A] 每层等可能抽样
[B] 每层可以不等可能抽样
[C] 所有层按同一抽样比等可能抽样
[D] 所有层抽取个体数量相同
C
【解析】 保证每个个体等可能地被抽取是两种基本抽样方式的共同特征,为了保证这一点,分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样.故选C.
[例2] (北师大版必修第一册P158例5)某公司有1 000名员工,其中50名属于高收入者,150名属于中等收入者,800名属于低收入者.要对该公司员工的具体收入情况进行调查,欲抽取100名员工,应当怎样抽样比较合理
题型二　分层随机抽样的应用
·解题策略·
比例分配的分层随机抽样的步骤
[变式训练] 有以下两个案例.
案例一:从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测蛋白质的含量;
案例二:某公司有员工800人,其中具有高级职称的有160人,具有中级职称的有320人,具有初级职称的有200人,其他人员120人,从中抽取容量为40的样本,了解他们的收入情况.
(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适
【解】 (1)案例一用简单随机抽样,案例二用分层随机抽样.
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程.
【解】 (2)①分层,将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层;
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6;
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;
⑤汇总构成一个容量为40的样本.
[例3] 某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为175,女生样本的均值为165.
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配,请计算总样本的均值为多少
题型三　用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
(2)如果已知男、女的样本量都是25,请计算总样本均值为多少
·解题策略·
(1)比例分配的分层随机抽样中的计算方法
总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的样本量之比.对于比例分配的分层随机抽样中求某层个体数或某层抽取的样本量,都可以通过上面两个等量关系求解.
(2)比例分配的分层随机抽样平均数计算相当于加权平均数的计算.
[变式训练] 某校的男生、女生人数之比为2∶3,通过比例分配的分层随机抽样方法抽到一个样本,样本中男生和女生每天运动时长的平均数分别为
100 min和80 min,估计该校全体学生每天运动时长的平均数为(　　)
[A] 98 min [B] 90 min
[C] 88 min [D] 85 min
C
[例4] 接受就业技能训练是否能够提高受训者的收入水平 下面是两种获得数据的方案,你认为哪种更有效 并说明理由.
方案1:分别在受过技能训练和未受过技能训练的人群中抽取样本,统计他们的收入水平.
方案2:从未受过技能训练的人员中抽取两组,两个组的组成成员的年龄、性别、文化程度及社会经历大体相当,其中一组进行专门的技能训练,另一组只作为考察对象,不进行任何培训.
5年后,分别统计两个组的收入水平.
题型四　获取数据的途径
【解】 抽样时要注意样本的代表性和广泛性.
方案1和方案2比较,方案2更具有代表性.
方案1的抽样的人群中,除就业技能训练的其他方面也很有可能影响到他们的收入水平.
方案2的抽样人员年龄、性别、文化程度及社会经历大体相当,两组人员不同的只是是否参加过技能训练,更能代表就业技能训练对受训者的收入水平的影响.
·解题策略·
在统计活动中,尤其是大型的统计活动,为避免一些外界因素的干扰,通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略,需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法,然后对数据进行分析,得出统计推断.
[变式训练] 在一次数学课堂上,郭老师请四名同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.
小凉:某市今年“五一”前后的气温;
小爽:判断某种新药是否有效;
小夏:“中央电视台新闻联播”的收视率;
小天:近年来某市普通高中入学人数.
其中,通过调查获取数据的是(　　)
[A] 小凉 [B] 小爽 [C] 小夏 [D] 小天
C
【解析】 某市今年“五一”前后的气温,通过观察获取数据;
判断某种新药是否有效,通过试验获取数据;
“中央电视台新闻联播”的收视率,通过调查获取数据;
近年来某市普通高中入学人数,通过查询获得数据.故选C.
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