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培优课　二面角的平面角的常见解法
二面角是立体几何中最重要的知识点,是高考的热点和重点.
求二面角的常见方法有定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、补棱法.
1.定义法
(1)方法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)具体演示:如图所示,以二面角的棱a上的任意一点O为端点,
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB,则∠AOB为此二面角的平面角.
2.三垂线法
(1)方法:自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角,即为此二面角的平面角.
(2)具体演示:在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角.
3.垂面法
(1)方法:过空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角.
(2)具体演示:过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,
平面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角.
4.射影面积法
已知平面β内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S射影,平面α和平面β所成的二面角的大小为θ,则|cos θ|=.
这个方法对于无棱二面角的求解很简便.
5.补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当两平面没有明确的交线时,也可直接用射影面积法解题.
题型一　定义法
[例1] 在三棱锥V-ABC中,VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=,求二面角V-AB-C的大小.
因为在△VAB中,
VA=VB=AB=2,
所以△VAB为等边三角形,
所以VD⊥AB且VD=,
同理CD⊥AB,CD=,
所以∠VDC为二面角V-AB-C的平面角,
因为△VDC是等边三角形,∠VDC=60°,
所以二面角V-AB-C的大小为60°.
求解二面角大小这类问题时,关键思路是依据二面角定义找出其平面角,再在相应三角形里依据三角形知识求解角度.
[变式训练] 在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是等边三角形,PC=PD=,则平面PAB与平面 ABCD 的夹角为　　　　　.
因为侧面PAB是等边三角形,PC=PD=,四边形ABCD是边长为2的正方形,
所以PF⊥AB,PG⊥DC,AB⊥FG,
PF=,PG=1,FG=2,
又PF⊥AB,AB⊥FG,平面PAB∩平面 ABCD=AB,所以∠PFG是平面PAB与平面ABCD的平面角,
又PF=,PG=1,FG=2,
所以cos∠PFG===,所以∠PFG=,
所以平面PAB与平面ABCD的夹角为.
题型二　三垂线法
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1为正方形,四边形AA1C1C为菱形,∠CAA1=60°,侧面AA1C1C⊥平面ABB1A1.
求二面角C-BB1-A的余弦值.
过H作HK⊥BB1于K,连接CK,
因为BB1 平面ABB1A1,所以CH⊥BB1,
又CH,HK 平面CHK,CH∩HK=H,
故BB1⊥平面CHK,
又CK 平面CHK,所以BB1⊥CK,
故∠CKH为二面角C-BB1-A的平面角,
在Rt△CHK中,设AC=a,AA1=AB=a,
∠CAA1=60°,
所以CH=,HK=AB=a,
CK==,
所以cos∠CKH==.
即二面角C-BB1-A的余弦值为.
用三垂线法解此类题,要精准把握面面垂直找垂线,巧妙利用定理定平面角,合理设参准确算长度.
[变式训练] 如图,边长为4的正方形 ABCD 所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直,Q为AD的中点.二面角 P-DB-A 的正切值为　.
易知PQ⊥AD,因此可得PQ⊥平面ABCD,
过点Q作QE⊥BD于点E,连接PE,如图所示.
又PQ⊥平面ABCD,BD,QE 平面ABCD,所以PQ⊥BD,PQ⊥QE.
又QE⊥BD,且PQ∩QE=Q,PQ,QE 平面PQE,
所以BD⊥平面PQE,PE 平面PQE,
所以PE⊥BD.
即∠PEQ为二面角P-DB-A的平面角,
显然∠ADB=45°,且AD=4,三角形PAD为正三角形,所以PQ=2,QE=QDsin 45°=.
在Rt△PEQ中,tan∠PEQ===,
即二面角P-DB-A的正切值为.
题型三　垂面法
[例3] 如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
所以BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,
所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE 平面BDE,
所以SC⊥平面BDE,所以SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC,BD 平面ABC,
所以SA⊥BD,而SC∩SA=S,SC,SA 平面SAC,
所以BD⊥平面SAC.
因为平面SAC∩平面BDE=DE,
平面SAC∩平面BDC=DC,
所以BD⊥DE,BD⊥DC,
所以∠EDC是所求二面角的平面角.
因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA=2,则AB=2,BC=SB=2.
因为AB⊥BC,所以AC=2,
所以∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,
即所求的二面角等于60°.
垂面法关键在于找到或构造一个与二面角的棱l垂直的平面γ.比如在一些立体图形中,若存在已知的垂直关系,要思考能否通过这些条件确定垂面.若存在现成平面与l垂直,可直接作为垂面γ;作垂面γ时,优先用已知垂线,如等腰三角形底边的高.
[变式训练] 已知P是二面角α-l-β内的一点(P α,P β),PA垂直于α于A,PB垂直于β于B,AB=8,PA=PB=8,则二面角α-l-β的大小为　　　　　.
故PA⊥l,PB⊥l,又PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
故l⊥平面PAB,又OA,OB 平面PAB,
故l⊥OA,l⊥OB,
所以∠AOB为二面角α-l-β的平面角,
由于PA⊥α,PB⊥β,OA α,OB β,
故PA⊥OA,PB⊥OB,
故在四边形PAOB中,
∠APB与∠AOB互补,
又AB=8,PA=PB=8,
在△APB中由余弦定理AB2=AP2+BP2-2AP·BPcos∠APB,
即(8)2=82+82-2×8×8cos∠APB,
解得 cos∠APB=-,
又0<∠APB<π,
所以∠APB=,
故∠AOB=π-=,则二面角α-l-β的大小为.
题型四　射影面积法
[例4] 如图,△ABC与△BCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°,则二面角A-BD-C的余弦值为　　　　.
因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面 BCD=BC,
所以AE⊥平面BCD,
所以点E即为点A在平面BCD内的射影,
所以△BDE为△ABD在平面BCD内的射影.
设AB=a,则AE=DE=AB·sin 60°=a,
所以AD=a,由余弦定理可得cos∠ABD=,所以sin∠ABD=,
所以S△ABD=a2×=a2.
又BE=a,所以S△BDE=×a×a=a2,
设二面角A-BD-E为θ,
所以cos θ==.
又二面角A-BD-C与A-BD-E互补,
所以二面角A-BD-C的余弦值为-.
射影面积法适用于能够较容易地找到一个平面图形及其在另一个平面上的射影的情况.如果图形比较复杂,难以确定射影,那么使用该方法可能会导致错误.
[变式训练] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,则平面A1EC截该正方体所得截面面积为　　　　;平面A1EC与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为　　　　.
因为平面A1D1DA∥平面B1C1CB,平面 A1EC∩平面A1D1DA=A1E,
平面A1EC∩平面B1C1CB=CF,所以A1E∥CF,同理可证A1F∥CE,
所以四边形A1ECF是平行四边形.
因为BC∥A1D1,所以∠BCF=∠D1A1E.
又BC=A1D1=2,∠CBF=∠A1D1E=90°,
所以△A1D1E≌△CBF,所以BF=D1E=1,则F为BB1的中点,所以CF==,
同理CE=,
所以截面A1ECF是边长为的菱形,其对角线EF=BD=2,A1C=2,
故截面面积S=A1C×EF=×2×2=2.
设平面A1EC与底面ABCD所成锐二面角为θ,
因为截面在底面的射影为正方形ABCD,
所以cos θ===.
题型五　补棱法
[例5] 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD.若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.
因为CD 平面PCD,平面 PAB∩平面PCD=l,
所以l∥CD,
因为PA⊥平面ABCD,
CD 平面ABCD,
所以PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,
所以l⊥PD,l⊥PA.
又PD 平面PCD,PA 平面PAB,
所以∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角.
因为PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PA⊥AD,又PA=AD,
所以∠DPA=45°.
补棱的关键在于依据已知条件,合理地将原几何体进行扩展或补充,使二面角的棱清晰呈现.比如在一个三棱锥中,若已知各面的一些边和角的关系,但棱不明确,可通过补全为棱柱等方式来明确棱.
[变式训练] 如图,在多面体PABCDE中,PA⊥平面ABCD,DE∥PA,PA=2DE=2AD=4,四边形ABCD是正方形.求平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角的大小.
所以四边形ADEF为平行四边形,所以EF∥DA.
又BC∥DA,
所以EF∥BC,所以B,C,E,F四点共面,又AD⊥DC,AD⊥DE,DC∩DE=D,DC,DE 平面DCE,
所以AD⊥平面DCE,则EF⊥平面DCE,EC,ED 平面DCE,
所以EF⊥EC,EF⊥DE,
所以∠CED为平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角,
又DE⊥DC,DE=DC,即△DCE为等腰直角三角形,所以∠CED=,
所以平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角的大小为.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,则二面角A-BB1-C的大小是(　　)
[A] 30° 　　　　[B] 45°
[C] 60° 　　　　[D] 90°
且 B1C1⊥BB1,
则BC⊥BB1,又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,
所以B1B⊥平面ABC,
所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角,
因为△ABC为等边三角形,
所以∠ABC=60°.故选C.
2.如图所示,将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,使得∠B′AC=60°.那么这个二面角大小是(　　)
[A] 30° [B] 60° [C] 90° [D] 120°
3.(多选题)如图,在棱长为1的正方体中,下列结论正确的是(　　)
[A] 异面直线AC与BC1所成的角为60°
[B] 直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45°
[C] 二面角A-B1C-B的正切值为
[D] 四面体D1-AB1C的外接球的体积为π
对于A,平移直线BC1到直线AD1,则∠D1AC是异面直线AC与BC1所成的角,显然△AD1C为正三角形,所以∠D1AC=60°,故A正确;
对于B,因为B1O⊥BC1,B1O⊥AB,AB∩BC1=B,所以B1O⊥平面ABC1D1,所以∠B1AO为线面角,因为AO=,B1O=,所以tan∠B1AO=,故B错误;
对于C,在三角形AB1C中,AO⊥B1C,所以∠AOB为二面角的平面角,tan∠AOB==,故C正确;
对于D,由题意可知三棱锥的外接球为正方体的外接球,所以R=,所以V=R3=π,故D正确.故选ACD.
4.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(　　)
[A] 60° [B] 30° [C] 45° [D] 15°
又PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.
故选C.
5.如图,在棱长都相等的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°,则二面角A′-BD-A的余弦值为(　　)
[A] [B] - [C] [D] -
连接AC,AC∩BD=E,连接A′E,设四面体的棱长为2,
则AE=A′E=,
且AE⊥BD,A′E⊥BD,则∠AEA′为二面角A′-BD-A的平面角,
在△AA′E中,cos∠AEA′==,故二面角A′-BD-A的余弦值为.故选A.
6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
可得AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC为二面角 B-AD-C 的平面角,又因为BC⊥平面ACD,且CD 平面ACD,所以BC⊥CD,由△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,可得BD=2CD,
在直角△BCD中,因为BD=2CD,
可得cos∠BDC==,又∠BDC=60°,所以二面角B-AD-C的大小为60°.故选C.
7.(5分)已知二面角α-l-β的大小为130°,两条异面直线a,b满足a α,b β,且a⊥l,b⊥l,则a,b所成角的大小为　　　.
所以a,b所成角的大小为50°.
8.(5分)将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为　　　　.
则BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC=60°.因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.所以A1C=CE=A1E=a.
9.(13分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且 EF∥AB.若二面角 C1-EF-C 等于45°,求BF的值.
又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,
所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°,所以△FCC1是等腰直角三角形,
所以CF=CC1=AA1=1.
又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.
10.(14分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)求证:平面PBE⊥平面PAB.
(2)求二面角A-BE-P的大小.
连接BD,由四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD.
因为CD∥AB,所以 BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD,且BE 平面ABCD,
所以PA⊥BE.
因为PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
所以BE⊥平面PAB.
又因为BE 平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
在Rt△PAB中,AB=1,PA=,tan∠ABP=,所以∠ABP=60°,所以二面角A-BE-P的大小是60°.
11.把一个边长为10 cm的正方形铁片,按图中所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,则这个容器侧面与底面夹角的正切值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
12.成语“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,意思是在小小的军帐之内作出正确的部署,决定了千里之外战场上的胜利,说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷,又称“幄帐”,如图是一种幄帐示意图,帐顶采用“五脊四坡式”,四条斜脊的长度相等,一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为,底面矩形的长与宽之比为2∶1,则正脊与斜脊长度的比值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
作DE⊥底面ABNM于点E,则点E在CQ上,且DE⊥AM,DE⊥AB,作DH⊥AM于点H,连接EH,DE∩DH=D,则AM⊥平面DHE,
所以EH⊥AM,所以坡面与底面所成二面角为∠DHE,又DE∩EC=E,所以AB⊥平面DCE,所以DC⊥AB,坡面与底面所成二面角为∠DCE,
所以正切值tan∠DHE=tan∠DCE=,
不妨设DE=1,EH=AC=BC=CE=2,可得斜脊AD==3,因为矩形宽 AB=4,
所以长为8,这样正脊DF=8-2×2=4,所以正脊与斜脊长度的比值为4∶3即.故选B.
13.(17分)如图,在水平放置的直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=DC=AB=1,以AB所在直线为轴,将梯形ABCD向上旋转角θ得到梯形ABEF,其中θ∈(0,].
(1)求证:平面ADF⊥平面CDFE.
(2)若平面ADF与平面BCE所成的二面角的余弦值等于,求θ的值.
所以AB⊥平面ADF.
又AB∥CD,所以CD⊥平面ADF.
因为CD 平面CDFE,
所以平面ADF⊥平面CDFE.
所以EF⊥平面ADF,
从而△BCE在平面ADF内的投影为△ADF,所以平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值为,
由已知得∠FAD=θ,AF=AD=1,BE=BC=,FD=EC=2sin ,
所以S△ADF=sin θ=sin cos ,
S△BCE=·2sin ·=sin ·,
从而===,
即cos2=,因为θ∈(0,],
所以cos >0,所以cos =,
所以=,故θ=.(共40张PPT)
培优课　二面角的
平面角的常见解法
必备知识·归纳落实
二面角是立体几何中最重要的知识点,是高考的热点和重点.
求二面角的常见方法有定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、补棱法.
1.定义法
(1)方法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)具体演示:如图所示,以二面角的棱a上的任意一点O为端点,在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB,则∠AOB为此二面角的平面角.
2.三垂线法
(1)方法:自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角,即为此二面角的平面角.
(2)具体演示:在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角.
3.垂面法
(1)方法:过空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角.
(2)具体演示:过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,
平面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角.
5.补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当两平面没有明确的交线时,也可直接用射影面积法解题.
关键能力·素养培优
题型一　定义法
·解题策略·
求解二面角大小这类问题时,关键思路是依据二面角定义找出其平面角,再在相应三角形里依据三角形知识求解角度.
题型二　三垂线法
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1为正方形,四边形AA1C1C为菱形,∠CAA1=60°,侧面AA1C1C⊥平面ABB1A1.
求二面角C-BB1-A的余弦值.
【解】 过C作 CH⊥AA1于H,则CH⊥平面ABB1A1.
过H作HK⊥BB1于K,连接CK,
因为BB1 平面ABB1A1,所以CH⊥BB1,
又CH,HK 平面CHK,CH∩HK=H,
故BB1⊥平面CHK,
又CK 平面CHK,所以BB1⊥CK,
故∠CKH为二面角C-BB1-A的平面角,
在Rt△CHK中,设AC=a,AA1=AB=a,
∠CAA1=60°,
·解题策略·
用三垂线法解此类题,要精准把握面面垂直找垂线,巧妙利用定理定平面角,合理设参准确算长度.
[变式训练] 如图,边长为4的正方形 ABCD 所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直,Q为AD的中点.二面角 P-DB-A 的正切值为　 .
【解析】 依题意平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,PQ 平面PAD,
易知PQ⊥AD,因此可得PQ⊥平面ABCD,
过点Q作QE⊥BD于点E,连接PE,如图所示.
又PQ⊥平面ABCD,BD,QE 平面ABCD,所以PQ⊥BD,PQ⊥QE.
又QE⊥BD,且PQ∩QE=Q,PQ,QE 平面PQE,
所以BD⊥平面PQE,PE 平面PQE,
所以PE⊥BD.
题型三　垂面法
[例3] 如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【解】 因为SB=BC且E是SC的中点,
所以BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,
所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE 平面BDE,
所以SC⊥平面BDE,所以SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC,BD 平面ABC,
所以SA⊥BD,而SC∩SA=S,SC,SA 平面SAC,
所以BD⊥平面SAC.
因为平面SAC∩平面BDE=DE,
·解题策略·
垂面法关键在于找到或构造一个与二面角的棱l垂直的平面γ.比如在一些立体图形中,若存在已知的垂直关系,要思考能否通过这些条件确定垂面.若存在现成平面与l垂直,可直接作为垂面γ;作垂面γ时,优先用已知垂线,如等腰三角形底边的高.
【解析】 设平面PAB交直线l于点O,连接OA,OB,由于PA⊥α,PB⊥β,l α,l β,
故PA⊥l,PB⊥l,又PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
故l⊥平面PAB,又OA,OB 平面PAB,
故l⊥OA,l⊥OB,
所以∠AOB为二面角α-l-β的平面角,
由于PA⊥α,PB⊥β,OA α,OB β,
题型四　射影面积法
[例4] 如图,△ABC与△BCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC
=120°,则二面角A-BD-C的余弦值为　　　　.
·解题策略·
射影面积法适用于能够较容易地找到一个平面图形及其在另一个平面上的射影的情况.如果图形比较复杂,难以确定射影,那么使用该方法可能会导致错误.
[变式训练] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,则平面A1EC截该正方体所得截面面积为　　　　;平面A1EC与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为　　　　.
【解析】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为平面A1D1DA∥平面B1C1CB,平面 A1EC∩平面A1D1DA=A1E,
平面A1EC∩平面B1C1CB=CF,所以A1E∥CF,同理可证A1F∥CE,
所以四边形A1ECF是平行四边形.
因为BC∥A1D1,所以∠BCF=∠D1A1E.
又BC=A1D1=2,∠CBF=∠A1D1E=90°,
题型五　补棱法
[例5] 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD.若PA=AD,
求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.
【解】 因为CD∥AB,CD不在平面PAB内,AB 平面PAB,
所以CD∥平面PAB.
因为CD 平面PCD,平面 PAB∩平面PCD=l,
所以l∥CD,
因为PA⊥平面ABCD,
CD 平面ABCD,
所以PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,
所以l⊥PD,l⊥PA.
又PD 平面PCD,PA 平面PAB,
所以∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角.
因为PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PA⊥AD,又PA=AD,
所以∠DPA=45°.
·解题策略·
补棱的关键在于依据已知条件,合理地将原几何体进行扩展或补充,使二面角的棱清晰呈现.比如在一个三棱锥中,若已知各面的一些边和角的关系,但棱不明确,可通过补全为棱柱等方式来明确棱.
[变式训练] 如图,在多面体PABCDE中,PA⊥平面ABCD,DE∥PA,PA=2DE
=2AD=4,四边形ABCD是正方形.求平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角的大小.
【解】 取PA的中点F,连接EF,BF,则 DE∥AF且DE=AF,
所以四边形ADEF为平行四边形,所以EF∥DA.
又BC∥DA,
所以EF∥BC,所以B,C,E,F四点共面,又AD⊥DC,AD⊥DE,DC∩DE=D,DC,DE 平面DCE,
所以AD⊥平面DCE,则EF⊥平面DCE,EC,ED 平面DCE,
所以EF⊥EC,EF⊥DE,
所以∠CED为平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角,
感谢观看培优课　二面角的平面角的常见解法
二面角是立体几何中最重要的知识点,是高考的热点和重点.
求二面角的常见方法有定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、补棱法.
1.定义法
(1)方法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)具体演示:如图所示,以二面角的棱a上的任意一点O为端点,
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB,则∠AOB为此二面角的平面角.
2.三垂线法
(1)方法:自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角,即为此二面角的平面角.
(2)具体演示:在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角.
3.垂面法
(1)方法:过空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角.
(2)具体演示:过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,
平面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角.
4.射影面积法
已知平面β内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S射影,平面α和平面β所成的二面角的大小为θ,则|cos θ|=.
这个方法对于无棱二面角的求解很简便.
5.补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当两平面没有明确的交线时,也可直接用射影面积法解题.
题型一　定义法
[例1] 在三棱锥V-ABC中,VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=,求二面角V-AB-C的大小.
【解】 取AB的中点D,连接VD,CD.
因为在△VAB中,
VA=VB=AB=2,
所以△VAB为等边三角形,
所以VD⊥AB且VD=,
同理CD⊥AB,CD=,
所以∠VDC为二面角V-AB-C的平面角,
因为△VDC是等边三角形,∠VDC=60°,
所以二面角V-AB-C的大小为60°.
求解二面角大小这类问题时,关键思路是依据二面角定义找出其平面角,再在相应三角形里依据三角形知识求解角度.
[变式训练] 在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是等边三角形,PC=PD=,则平面PAB与平面 ABCD 的夹角为　　　　　.
【答案】
【解析】 分别取AB,CD的中点F,G,连接PF,PG,FG,
因为侧面PAB是等边三角形,PC=PD=,四边形ABCD是边长为2的正方形,
所以PF⊥AB,PG⊥DC,AB⊥FG,
PF=,PG=1,FG=2,
又PF⊥AB,AB⊥FG,平面PAB∩平面 ABCD=AB,所以∠PFG是平面PAB与平面ABCD的平面角,
又PF=,PG=1,FG=2,
所以cos∠PFG===,所以∠PFG=,
所以平面PAB与平面ABCD的夹角为.
题型二　三垂线法
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1为正方形,四边形AA1C1C为菱形,∠CAA1=60°,侧面AA1C1C⊥平面ABB1A1.
求二面角C-BB1-A的余弦值.
【解】 过C作 CH⊥AA1于H,则CH⊥平面ABB1A1.
过H作HK⊥BB1于K,连接CK,
因为BB1 平面ABB1A1,所以CH⊥BB1,
又CH,HK 平面CHK,CH∩HK=H,
故BB1⊥平面CHK,
又CK 平面CHK,所以BB1⊥CK,
故∠CKH为二面角C-BB1-A的平面角,
在Rt△CHK中,设AC=a,AA1=AB=a,
∠CAA1=60°,
所以CH=,HK=AB=a,
CK==,
所以cos∠CKH==.
即二面角C-BB1-A的余弦值为.
用三垂线法解此类题,要精准把握面面垂直找垂线,巧妙利用定理定平面角,合理设参准确算长度.
[变式训练] 如图,边长为4的正方形 ABCD 所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直,Q为AD的中点.二面角 P-DB-A 的正切值为　.
【答案】
【解析】 依题意平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,PQ 平面PAD,
易知PQ⊥AD,因此可得PQ⊥平面ABCD,
过点Q作QE⊥BD于点E,连接PE,如图所示.
又PQ⊥平面ABCD,BD,QE 平面ABCD,所以PQ⊥BD,PQ⊥QE.
又QE⊥BD,且PQ∩QE=Q,PQ,QE 平面PQE,
所以BD⊥平面PQE,PE 平面PQE,
所以PE⊥BD.
即∠PEQ为二面角P-DB-A的平面角,
显然∠ADB=45°,且AD=4,三角形PAD为正三角形,所以PQ=2,QE=QDsin 45°=.
在Rt△PEQ中,tan∠PEQ===,
即二面角P-DB-A的正切值为.
题型三　垂面法
[例3] 如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【解】 因为SB=BC且E是SC的中点,
所以BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,
所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE 平面BDE,
所以SC⊥平面BDE,所以SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC,BD 平面ABC,
所以SA⊥BD,而SC∩SA=S,SC,SA 平面SAC,
所以BD⊥平面SAC.
因为平面SAC∩平面BDE=DE,
平面SAC∩平面BDC=DC,
所以BD⊥DE,BD⊥DC,
所以∠EDC是所求二面角的平面角.
因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA=2,则AB=2,BC=SB=2.
因为AB⊥BC,所以AC=2,
所以∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,
即所求的二面角等于60°.
垂面法关键在于找到或构造一个与二面角的棱l垂直的平面γ.比如在一些立体图形中,若存在已知的垂直关系,要思考能否通过这些条件确定垂面.若存在现成平面与l垂直,可直接作为垂面γ;作垂面γ时,优先用已知垂线,如等腰三角形底边的高.
[变式训练] 已知P是二面角α-l-β内的一点(P α,P β),PA垂直于α于A,PB垂直于β于B,AB=8,PA=PB=8,则二面角α-l-β的大小为　　　　　.
【答案】
【解析】 设平面PAB交直线l于点O,连接OA,OB,由于PA⊥α,PB⊥β,l α,l β,
故PA⊥l,PB⊥l,又PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
故l⊥平面PAB,又OA,OB 平面PAB,
故l⊥OA,l⊥OB,
所以∠AOB为二面角α-l-β的平面角,
由于PA⊥α,PB⊥β,OA α,OB β,
故PA⊥OA,PB⊥OB,
故在四边形PAOB中,
∠APB与∠AOB互补,
又AB=8,PA=PB=8,
在△APB中由余弦定理AB2=AP2+BP2-2AP·BPcos∠APB,
即(8)2=82+82-2×8×8cos∠APB,
解得 cos∠APB=-,
又0<∠APB<π,
所以∠APB=,
故∠AOB=π-=,则二面角α-l-β的大小为.
题型四　射影面积法
[例4] 如图,△ABC与△BCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°,则二面角A-BD-C的余弦值为　　　　.
【答案】 -
【解析】 过A作AE⊥CB的延长线于E,连接DE.
因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面 BCD=BC,
所以AE⊥平面BCD,
所以点E即为点A在平面BCD内的射影,
所以△BDE为△ABD在平面BCD内的射影.
设AB=a,则AE=DE=AB·sin 60°=a,
所以AD=a,由余弦定理可得cos∠ABD=,所以sin∠ABD=,
所以S△ABD=a2×=a2.
又BE=a,所以S△BDE=×a×a=a2,
设二面角A-BD-E为θ,
所以cos θ==.
又二面角A-BD-C与A-BD-E互补,
所以二面角A-BD-C的余弦值为-.
射影面积法适用于能够较容易地找到一个平面图形及其在另一个平面上的射影的情况.如果图形比较复杂,难以确定射影,那么使用该方法可能会导致错误.
[变式训练] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,则平面A1EC截该正方体所得截面面积为　　　　;平面A1EC与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为　　　　.
【答案】 2　
【解析】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为平面A1D1DA∥平面B1C1CB,平面 A1EC∩平面A1D1DA=A1E,
平面A1EC∩平面B1C1CB=CF,所以A1E∥CF,同理可证A1F∥CE,
所以四边形A1ECF是平行四边形.
因为BC∥A1D1,所以∠BCF=∠D1A1E.
又BC=A1D1=2,∠CBF=∠A1D1E=90°,
所以△A1D1E≌△CBF,所以BF=D1E=1,则F为BB1的中点,所以CF==,
同理CE=,
所以截面A1ECF是边长为的菱形,其对角线EF=BD=2,A1C=2,
故截面面积S=A1C×EF=×2×2=2.
设平面A1EC与底面ABCD所成锐二面角为θ,
因为截面在底面的射影为正方形ABCD,
所以cos θ===.
题型五　补棱法
[例5] 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD.若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.
【解】 因为CD∥AB,CD不在平面PAB内,AB 平面PAB,所以CD∥平面PAB.
因为CD 平面PCD,平面 PAB∩平面PCD=l,
所以l∥CD,
因为PA⊥平面ABCD,
CD 平面ABCD,
所以PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,
所以l⊥PD,l⊥PA.
又PD 平面PCD,PA 平面PAB,
所以∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角.
因为PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PA⊥AD,又PA=AD,
所以∠DPA=45°.
补棱的关键在于依据已知条件,合理地将原几何体进行扩展或补充,使二面角的棱清晰呈现.比如在一个三棱锥中,若已知各面的一些边和角的关系,但棱不明确,可通过补全为棱柱等方式来明确棱.
[变式训练] 如图,在多面体PABCDE中,PA⊥平面ABCD,DE∥PA,PA=2DE=2AD=4,四边形ABCD是正方形.求平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角的大小.
【解】 取PA的中点F,连接EF,BF,则 DE∥AF且DE=AF,
所以四边形ADEF为平行四边形,所以EF∥DA.
又BC∥DA,
所以EF∥BC,所以B,C,E,F四点共面,又AD⊥DC,AD⊥DE,DC∩DE=D,DC,DE 平面DCE,
所以AD⊥平面DCE,则EF⊥平面DCE,EC,ED 平面DCE,
所以EF⊥EC,EF⊥DE,
所以∠CED为平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角,
又DE⊥DC,DE=DC,即△DCE为等腰直角三角形,所以∠CED=,
所以平面BCE与平面ADEP所成的二面角的平面角的大小为.
(分值:95分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,则二面角A-BB1-C的大小是(　　)
[A] 30° 　　　　[B] 45°
[C] 60° 　　　　[D] 90°
【答案】 C
【解析】 在三棱台ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,
且 B1C1⊥BB1,
则BC⊥BB1,又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,
所以B1B⊥平面ABC,
所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角,
因为△ABC为等边三角形,
所以∠ABC=60°.故选C.
2.如图所示,将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,使得∠B′AC=60°.那么这个二面角大小是(　　)
[A] 30° [B] 60° [C] 90° [D] 120°
【答案】 C
【解析】 因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高,所以BD=DC=AC,∠ADC=∠ADB=90°,因此∠B′DC是二面角的平面角,∠B′AC=60°.所以△B′AC是等边三角形,因此B′C=AB=AC,在△B′DC中,∠B′DC=90°.故选C.
3.(多选题)如图,在棱长为1的正方体中,下列结论正确的是(　　)
[A] 异面直线AC与BC1所成的角为60°
[B] 直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45°
[C] 二面角A-B1C-B的正切值为
[D] 四面体D1-AB1C的外接球的体积为π
【答案】 ACD
【解析】 如图所示,连接AD1,AO,CD1,
对于A,平移直线BC1到直线AD1,则∠D1AC是异面直线AC与BC1所成的角,显然△AD1C为正三角形,所以∠D1AC=60°,故A正确;
对于B,因为B1O⊥BC1,B1O⊥AB,AB∩BC1=B,所以B1O⊥平面ABC1D1,所以∠B1AO为线面角,因为AO=,B1O=,所以tan∠B1AO=,故B错误;
对于C,在三角形AB1C中,AO⊥B1C,所以∠AOB为二面角的平面角,tan∠AOB==,故C正确;
对于D,由题意可知三棱锥的外接球为正方体的外接球,所以R=,所以V=R3=π,故D正确.故选ACD.
4.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(　　)
[A] 60° [B] 30° [C] 45° [D] 15°
【答案】 C
【解析】 由条件得,PA⊥BC,AC⊥BC,
又PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.
故选C.
5.如图,在棱长都相等的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°,则二面角A′-BD-A的余弦值为(　　)
[A] [B] - [C] [D] -
【答案】 A
【解析】 在棱长都相等的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°,则四面体A′BDA为正四面体.
连接AC,AC∩BD=E,连接A′E,设四面体的棱长为2,
则AE=A′E=,
且AE⊥BD,A′E⊥BD,则∠AEA′为二面角A′-BD-A的平面角,
在△AA′E中,cos∠AEA′==,故二面角A′-BD-A的余弦值为.故选A.
6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为(　　)
[A] 30° [B] 45° [C] 60° [D] 90°
【答案】 C
【解析】 在△ABC中,因为AD⊥BC,沿AD将△ABC翻折,
可得AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC为二面角 B-AD-C 的平面角,又因为BC⊥平面ACD,且CD 平面ACD,所以BC⊥CD,由△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,可得BD=2CD,
在直角△BCD中,因为BD=2CD,
可得cos∠BDC==,又∠BDC=60°,所以二面角B-AD-C的大小为60°.故选C.
7.(5分)已知二面角α-l-β的大小为130°,两条异面直线a,b满足a α,b β,且a⊥l,b⊥l,则a,b所成角的大小为　　　.
【答案】 50°
【解析】 由题意知a,b所成角与二面角α-l-β的平面角互补,又二面角α-l-β的大小为130°,
所以a,b所成角的大小为50°.
8.(5分)将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为　　　　.
【答案】 a
【解析】 如图,设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE,
则BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC=60°.因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.所以A1C=CE=A1E=a.
9.(13分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且 EF∥AB.若二面角 C1-EF-C 等于45°,求BF的值.
【解】 因为AB⊥平面BCC1B1,C1F 平面BCC1B1,CF 平面BCC1B1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF.
又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,
所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°,所以△FCC1是等腰直角三角形,
所以CF=CC1=AA1=1.
又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.
10.(14分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)求证:平面PBE⊥平面PAB.
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)【证明】 如图所示,
连接BD,由四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD.
因为CD∥AB,所以 BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD,且BE 平面ABCD,
所以PA⊥BE.
因为PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
所以BE⊥平面PAB.
又因为BE 平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)【解】 因为BE⊥平面PAB,PB 平面PAB,所以BE⊥PB.又AB⊥BE,所以∠ABP是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,AB=1,PA=,tan∠ABP=,所以∠ABP=60°,所以二面角A-BE-P的大小是60°.
11.把一个边长为10 cm的正方形铁片,按图中所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,则这个容器侧面与底面夹角的正切值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 依题意,正四棱锥的底面正方形边长为6,斜高为h′=5,则底面正方形边心距为 r=3,于是正四棱锥的高为 h==4,所以这个容器侧面与底面夹角的正切值为 =.故选B.
12.成语“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,意思是在小小的军帐之内作出正确的部署,决定了千里之外战场上的胜利,说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷,又称“幄帐”,如图是一种幄帐示意图,帐顶采用“五脊四坡式”,四条斜脊的长度相等,一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为,底面矩形的长与宽之比为2∶1,则正脊与斜脊长度的比值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 如图,多面体FD-ABNM中,取AB的中点C,作CQ∥BN交MN于Q,
作DE⊥底面ABNM于点E,则点E在CQ上,且DE⊥AM,DE⊥AB,作DH⊥AM于点H,连接EH,DE∩DH=D,则AM⊥平面DHE,
所以EH⊥AM,所以坡面与底面所成二面角为∠DHE,又DE∩EC=E,所以AB⊥平面DCE,所以DC⊥AB,坡面与底面所成二面角为∠DCE,
所以正切值tan∠DHE=tan∠DCE=,
不妨设DE=1,EH=AC=BC=CE=2,可得斜脊AD==3,因为矩形宽 AB=4,
所以长为8,这样正脊DF=8-2×2=4,所以正脊与斜脊长度的比值为4∶3即.故选B.
13.(17分)如图,在水平放置的直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=DC=AB=1,以AB所在直线为轴,将梯形ABCD向上旋转角θ得到梯形ABEF,其中θ∈(0,].
(1)求证:平面ADF⊥平面CDFE.
(2)若平面ADF与平面BCE所成的二面角的余弦值等于,求θ的值.
(1)【证明】 由题意,知AB⊥AD,AB⊥AF,AD∩AF=A,且AD,AF 平面ADF,
所以AB⊥平面ADF.
又AB∥CD,所以CD⊥平面ADF.
因为CD 平面CDFE,
所以平面ADF⊥平面CDFE.
(2)【解】 因为EF∥AB∥CD,
所以EF⊥平面ADF,
从而△BCE在平面ADF内的投影为△ADF,所以平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值为,
由已知得∠FAD=θ,AF=AD=1,BE=BC=,FD=EC=2sin ,
所以S△ADF=sin θ=sin cos ,
S△BCE=·2sin ·=sin ·,
从而===,
即cos2=,因为θ∈(0,],
所以cos >0,所以cos =,
所以=,故θ=.

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