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章末复习提升
题型一　随机抽样
1.简单随机抽样
(1)特征:①逐个抽取;②每个个体被抽到的概率都相等.
(2)常用方法:①抽签法;②随机数法.
2.分层随机抽样
(1)定义:按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总
样本.
(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.在比例分配的分层随机抽样中,==.
(3)在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数.
[典例1] 已知某校有小学生3 600名,初中生2 400名,为了解该校学生的近视情况,用比例分配的分层随机抽样的方法,从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是(　　)
[A] 24 [B] 48
[C] 72 [D] 96
【答案】 A
【解析】 由题意可知小学生应抽取的人数是×120=72,
初中生应抽取的人数是120-72=48,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是 72-48=24.
故选A.
[跟踪训练] (多选题)某学生社团有男生32人、女生24人,从中随机抽取一个容量为7的样本.某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是(　　)
[A] 这次抽样可能采用的是抽签法
[B] 这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样
[C] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
[D] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
【答案】 AB
【解析】 根据抽样结果,此次抽样可能采用的是抽签法,故A正确;
若采用的是按性别进行分层的分层随机抽样的方法,则抽到的男、女生人数分别为4,3,所以这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样,故B正确;
若按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等,故C,D错误.故选AB.
题型二　总体取值规律与百分位数的估计
1.频率分布直方图
可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律.
2.百分位数与总体百分位数的估计
(1)第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数.
[典例2] 某家面包店以往每天制作120个三明治,为了解销售情况,店长统计了去年三明治的日销售量(单位:个),并绘制频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值,并计算该面包店去年(按360天算)三明治日销售量不少于100个的天数;
(2)由于三明治的保质期不到一天,为了避免浪费,店长决定今年减少每天三明治的制作量,但要求有70%的天数可以满足顾客的需求,估计每天应该制作多少个三明治.
【解】 (1)由(2×0.002 5+2a+0.035+0.04)×10=1,解得a=0.01.
日销售量不少于100个的频率为(0.01+0.002 5)×10=0.125,则该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为360×0.125=45.
(2)由题意,可知求三明治日销售量的70%分位数,设为m.
[60,90)对应的频率0.525<0.7,[60,100)对应的频率0.875>0.7,故m∈[90,100).
由0.7-0.525=0.175,得m=90+=95,
故估计每天应该制作95个三明治.
[跟踪训练] (1)某校举办了校园安全知识竞赛,把1 000名学生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成四组,并整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　)
[A] a的值为0.015
[B] 估计这组数据的众数为80
[C] 估计这组数据的第60百分位数为87
[D] 估计成绩低于80分的有350人
(2)(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　)
[A] 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
[B] 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
[C] 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
[D] 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】 (1)C　(2)C
【解析】 (1)易知10a+0.020×10+0.050×10+0.025×10=1,解得a=0.005,所以A错误;由频率分布直方图可知众数落在区间[80,90)内,用区间中点值表示众数即85,所以B错误;由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005×10+0.020×10=0.25,前三组频率之和为0.005×10+0.020×
10+0.050×10=0.75,故第60百分位数落在区间[80,90)内,设第60百分位数为x,则0.25+(x-80)×0.050=0.60,解得x=87,所以C正确;成绩低于80分的频率为0.005×10+0.020×
10=0.25,所以估计成绩低于80分的有 1 000×0.25=250(人),所以D错误.故选C.
(2)对于A,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1×100%=6%,故A正确;
对于B,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1×100%=10%,故B正确;
对于C,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02+4×0.04+5×0.10+
6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),故C不正确;
对于D,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)×1×100%=64%>50%,故D正确.故选C.
题型三　总体集中趋势与离散程度估计
1.反映数据集中趋势的量有平均数、中位数、众数.
2.反映离散程度的量有极差、方差、标准差.
[典例3] (多选题)在气象学上,进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于10 ℃.某人记录了甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均气温(日平均气温都是整数),根据以下数字特征,一定符合进入冬季标准的是(　　)
[A] 甲:中位数为7,众数为8
[B] 乙:平均数为6,极差为4
[C] 丙:中位数为7,极差为3
[D] 丁:平均数为7,方差为2
【答案】 ABD
【解析】 对于A,甲:中位数为7,众数为8,则8出现次数最多,又只有5个数据,7为中位数,所以8出现次数为2次,另外两个数据只能是小于7的两个不同的数,故甲地一定符合进入冬季标准,故A正确;对于B,乙:平均数为6,极差为4,因为极差是最大值与最小值的差,假设存在某日的气温大于等于10 ℃,又平均数为6,故一定存在某日的气温低于6 ℃,此时极差不为4,故假设不成立,即每日气温都低于10 ℃,所以乙一定符合进入冬季标准,故B正确;对于C,丙:中位数为7,极差为3,可以找到一组气温数据7,7,7,8,10,故丙不一定符合进入冬季标准,故C错误;对于D,丁:平均数为7,方差为2,故不可能每天都为7 ℃,日平均气温都是整数,所以最多三天7 ℃,若存在某日的气温高于10 ℃,方差大于2,不符合方差为2的条件,若存在某日的气温等于10 ℃,若三天7 ℃,则五天的气温4,7,7,7,10,计算方差,可知不符合方差为2的条件,若两天7 ℃,则五天的气温的方差一定大于2,若一天7 ℃,则五天的气温的方差一定大于2,综上可知,所以丁一定符合进入冬季标准,故D正确.故选ABD.
[跟踪训练] (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 频数
[900,950) 6
[950,1 000) 12
[1 000,1 050) 18
[1 050,1 100) 30
[1 100,1 150) 24
[1 150,1 200) 10
根据表中数据,下列结论中正确的是(　　)
[A] 100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
[B] 100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
[C] 100块稻田亩产量的极差在200 kg至300 kg之间
[D] 100块稻田亩产量的平均值在900 kg至1 000 kg之间
【答案】 C
【解析】 对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1 050 kg,故A错误;对于B,亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34,所以亩产量低于1 100 kg的稻田占比为=66%,故B错误;对于C,因为1 200-900=300,1 150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差在200 kg至300 kg之间,故C正确;对于D,由频数分布表可得,平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067,故D错误.
故选C.
题型四　统计的综合应用
在应对统计综合应用题时,要仔细研读题目,明确已知条件和所求问题,合理选择统计方法和公式进行计算分析,同时要确保数据处理的准确性和合理性,注意单位换算等细节问题.
[典例4] 滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一,如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源,成为摆在我们面前的世界级难题.对盐碱地的改良方法,研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大,且能降低滨海盐碱地30～60 cm土壤层可溶性盐含量的技术,为了对比这两种技术改良盐碱地的效果,科研人员在同一区域采集了12个土壤样本,平均分成A,B两组,测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 =0.82,方差=0.029 3,B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 =0.83,方差=0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验,用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验,分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下:
A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和,样本方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后,土壤可溶性盐含量是否有显著降低 (若->2,i=1,2,则认为应用技术有显著降低土壤可溶性盐含量,否则不认为有显著降低)
【解】 (1)=×(0.66+0.68+0.69+0.71+0.72+0.74)=0.70,
=×[(0.66-0.70)2+(0.68-0.70)2+(0.69-0.70)2+(0.71-0.70)2+(0.72-0.70)2+(0.74-0.70)2]=
0.000 7,
=×(0.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.54)=0.495,
=×[(0.46-0.495)2+(0.48-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.51-0.495)2+(0.54-0.495)2]=0.000 625.
(2)当i=1时,(-)2=0.014 4,
(2)2=0.02.
因为0.014 4<0.02,
所以-<2,
所以应用技术1后,土壤可溶性盐含量没有显著降低.
当i=2时,(-)2≈0.112 2,
(2)2≈0.113 6.
因为0.112 2<0.113 6,
所以-<2,
所以应用技术2后,土壤可溶性盐含量也没有显著降低.
故应用技术1和技术2后,土壤可溶性盐含量没有显著降低.
[跟踪训练] 某公司为了解用户对其产品的满意程度,从A地区随机抽取了400名用户,从B地区随机抽取了100名用户,请用户根据满意程度对该公司产品评分,该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制成评分频率分布直方图如图.
(1)估计A地区满意程度评分的第70百分位数;
(2)根据频率分布直方图,假设同一组中数据用该组区间中点值作代表,估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均数为μ1,B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均数为μ2,以及A,B两地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均数为μ0,试比较μ0和的大小.
【解】 (1)因为前2组的频率之和为20×(0.005+0.015)=0.4<0.7,
前3组的频率之和为20×(0.005+0.015+0.020)=0.8>0.7,
所以第70百分位数在第3组,设第70百分位数为m,
则20×(0.005+0.015)+0.020×(m-60)=0.7,解得m=75,
所以估计A地区满意程度评分的第70百分位数为75.
(2)由频率分布直方图可得
μ1=30×0.005×20+50×0.015×20+70×0.020×20+90×0.010×20=64,
μ2=30×0.015×20+50×0.010×20+70×0.020×20+90×0.005×20=56,
所以==60,
因为A地区和B地区所抽取的用户人数之比为 4∶1,
所以A地区抽取用户人数占总人数的,B地区抽取用户人数占总人数的,
所以A,B两地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均数μ0=μ1+μ2=×64+×56=62.4,所以μ0>.
章末检测卷(九)
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量,有下面几个样本,统计该路口在学校放学时段的车流量,你认为合适的是(　　)
[A] 抽取两天作为一个样本
[B] 春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本
[C] 选取每周星期日作为样本
[D] 以全年每一天作为样本
【答案】 B
【解析】 依题意,春、夏、秋、冬每个季节该路口在学校放学时段的车流量可能会有差异.故选B.
2.某高校对中文系新生进行体测,利用随机数法对400名学生进行抽样,先将400名学生进行编号,001,002,…,399,400.从中抽取40个样本,用计算机生成如下随机数,则得到的第4个样本编号是(　　)
253　313　457　860　736　253　007　328　623 457　889　072　368
[A] 328 [B] 253 [C] 007 [D] 860
【答案】 A
【解析】 随机数分别为253(第1个),313(第2个),457(不在范围内,不符合要求),860(不在范围内,不符合要求),736(不在范围内,不符合要求),253(重复,不符合要求),007(第3个),328(第4个).故选A.
3.某社区为了探讨社区养老模式,在社区内对2 400名老年人、2 400名中年人、2 100名青年人用比例分配的分层随机抽样方法随机发放了调查问卷345份,则在老年人中发放的调查问卷份数是(　　)
[A] 110 [B] 115 [C] 120 [D] 125
【答案】 C
【解析】 设在老年人中发放的调查问卷份数为x,
则=,解得x=120.
所以在老年人中发放的调查问卷份数是120.故选C.
4.如图是某天8时至次日8时(次日的时间前加0表示)某市的气温走势,下列说法错误的是(　　)
[A] 8时至14时该市气温逐渐升高,14时到次日5时该市气温逐渐降低
[B] 8时至次日8时该市的最低气温为2 ℃,最高气温为12 ℃
[C] 根据图象,12时所对应的温度为10 ℃
[D] 根据图象,21时所对应的温度为6 ℃
【答案】 C
【解析】 由折线图知,8时至14时该市气温逐渐升高,14时到次日5时该市气温逐渐降低,故A正确;8时至次日8时该市的最低气温为2 ℃,最高气温为12 ℃,故B正确;根据图象,12时所对应的温度为8+≈9.33(℃),故C错误;21时所对应的温度为7-=6(℃),故D正确.故选C.
5.有一名同学参加投篮训练,一共进行了4组投篮,每组投篮10次,得到每组投篮的投中次数分别为5,6,8,9,则这些数据的75%分位数和方差分别为(　　)
[A] 8.5和2.5 [B] 8和2.5
[C] 8.5和1.5 [D] 8和1.5
【答案】 A
【解析】 因为4×75%=3,所以这些数据的75%分位数为=8.5.因为平均数为×(5+6+8+9)=7,所以方差为×[(-2)2+(-1)2+12+22]=2.5.故选A.
6.某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识.为了解讲座效果,随机抽取10名社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷,这10名社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则下列说法错误的是(　　)
[A] 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于75%
[B] 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于88.5%
[C] 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
[D] 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
【答案】 C
【解析】 对于A,讲座前问卷答题正确率的中位数为=72.5%<75%,所以A正确;
对于B,讲座后问卷答题的正确率的平均数为=89.5%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于88.5%,所以B正确;
对于C,讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,
讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以C错误;
对于D,由题图可知讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以D正确.故选C.
7.已知四个不同的实数x1,x2,x3,x4,其中x1,x2,x3的方差为,x1,x3,x4的方差为,若=,则(　　)
[A] x1+x2=x3+x4
[B] x1+x3=x2+x4
[C] x1-x2=x3-x4
[D] x1+x3=x2-x4
【答案】 B
【解析】 =[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2]
={[2x1-(x2+x3)]2+[2x2-(x1+x3)]2+[2x3-(x2+x1)]2}
=(6+6+6-6x1x2-6x2x3-6x3x1)
=(++-x1x2-x2x3-x3x1),
同理=(++-x1x3-x3x4-x4x1),
由题意得++-x1x2-x2x3-x3x1=++-x1x3-x3x4-x4x1,
即-x1x2-x2x3=-x3x4-x4x1,整理可得(x2-x4)[(x2+x4)-(x1+x3)]=0,
因为x2≠x4,所以x1+x3=x2+x4.故选B.
8.某校从全校随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛,并根据这n名学生的竞赛成绩(总分为100分)绘制成频率分布直方图(如图所示),其中分数在[50,60)内的学生有3名,则下列说法错误的是(　　)
[A] a=0.006
[B] n=50
[C] 样本中分数在[40,50)内的学生有2名
[D] 用比例分配的分层随机抽样方法从分数在[50,60),[90,100]内的学生中抽取4名,则分数在[50,60)内的有3名
【答案】 D
【解析】 对于A,由(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得a=0.006,故A正确;对于B,
n==50,故B正确;对于C,样本中分数在[40,50)内的学生有10×0.004×50=2(名),故C正确;对于D,分数在[50,60)内的学生有×4=1(名),故D错误.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某校为了更好地支持学生个性发展,开设了学科拓展类、科技创新类、体艺特长类三种类型的校本课程,每名同学从中选择一门课程学习.现对该校5 000名学生的选课情况进行了统计,如图①,并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查,如图②,则下列说法正确的是(　　)
[A] 满意率调查中抽取的样本容量为5 000
[B] 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1 250
[C] 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875
[D] 若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,则a=70
【答案】 BC
【解析】 满意率调查中抽取的样本容量为5 000×2%=100,故A错误;由扇形统计图知1-35%-40%=25%,则5 000×25%=1 250(人),故B正确;该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为5 000×35%×50%=875,故C正确;若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,则100×40%×a%=30,则a=75,故D错误.故选BC.
10.高一上学期高一某班进行了6次数学测验,甲、乙两名同学6次测验成绩情况如下表:
场次 1 2 3 4 5 6
甲 90 106 80 115 120 109
乙 90 88 98 101 95 93
则下列说法正确的是(　　)
[A] 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
[B] 甲、乙成绩的中位数分别为107.5和94
[C] 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
[D] 甲的成绩比乙的成绩稳定
【答案】 BC
【解析】 甲成绩的极差是120-80=40,乙成绩的极差是101-88=13,故A错误;甲成绩按照由小到大顺序排列为80,90,106,109,115,120,中位数是=107.5,乙成绩按照由小到大顺序排列为88,90,93,95,98,101,中位数是=94,故B正确;甲成绩的平均数是≈103.3,乙成绩的平均数是≈94.17,故C正确;分别对比数据可知,甲的成绩极差比较大,并且成绩比较分散,乙的成绩极差较小,而且成绩比较集中,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,故D错误.故选BC.
11.某市举行中学生诗词大赛,分初赛和复赛两个阶段进行,比赛规则:初赛成绩不小于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在[30,150]内,其频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A] 初赛成绩在[90,110)内的频率为0.015
[B] 初赛成绩在110分以下的频率为0.65
[C] 初赛成绩在130分以下的频率为0.9
[D] 初赛成绩的第80百分位数的估计值是122
【答案】 BCD
【解析】 对于A,初赛成绩在[90,110)内的频率为1-(0.002 5+0.007 5+0.007 5+0.012 5+
0.005 0)×20=0.3,故A不正确;
对于B,初赛成绩在110分以下的频率为1-(0.012 5+0.005 0)×20=0.65,故B正确;
对于C,初赛成绩在130分以下的频率为1-0.005 0×20=0.9,故C正确;
对于D,假设初赛成绩的第80百分位数为x,所以(130-x)×0.012 5+20×0.005 0=1-0.8,解得x=122,故D正确.故选BCD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知样本数据x1,x2,x3,x4的平均数是4,方差为2,现样本加入新数据3,4,5,则加入数据后新样本的方差是　　　　.
【答案】 　
【解析】 由题意知=4,s2=2,
所以(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2=8,加入新数据3,4,5后,显然新样本数据的平均数=4=,
则=×[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=.
13.已知一组数据丢失了其中一个,剩下的六个数据分别是4,4,6,4,8,11.若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则丢失数据的所有可能值构成的集合为　　　　　　.
【答案】 {-9,5,19}　
【解析】 设丢失的数据为x,则这七个数的平均数为,众数为4,
因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,分以下几种情况讨论:
若x≤4,则中位数为4,此时+4=2×4,解得x=-9;
若4若x≥6,则中位数为6,此时+4=2×6,解得x=19.
综上可知,丢失数据的所有可能值构成的集合为{-9,5,19}.
14.为科普航天知识,某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8名同学成绩如下:7,6,8,9,8,
7,10,m,若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不变,则整数m(1≤m≤10)的值可以是　　　　(写出一个满足条件的m值即可).
【答案】 7(8,9,10均可)　
【解析】 7名同学成绩按由小到大顺序为6,7,7,8,8,9,10,其第25百分位数为第二个数据,为7;8个数据的第25百分位数是第二、第三个数的平均数,要使第25百分位数保持不变,即为7,只要m不小于7就可以.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机选取了 10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm) 记录下来并绘制出折线图.
(1)分别计算甲、 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数;
(2)轮胎的宽度在[193,195]内,则称这个轮胎是标准轮胎,试求甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小.
【解】 (1)由题知甲厂轮胎宽度的平均数为
×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195;
乙厂轮胎宽度的平均数为
×(196+197+194+193+196+195+196+193+196+194)=195.
所以甲、 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数均为195.
(2)由题知甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为195,194,193,194,195,193,其平均数为×(195+194+193+194+195+193)=194,
其方差为×(1+0+1+0+1+1)=;
乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为194,193,195,193,194,其平均数为×(194+193+195+193+194)=193.8,
其方差为×(0.04+0.64+1.44+0.64+0.04)=0.56.
16.(本小题满分15分)
某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度,人力部门随机抽取了200名员工,根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分(评分均在[50,100]内),将所得数据分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求m的值,并估计这200名员工评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表);
(2)为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因,人力部门从评分落在[50,60),[60,70),[70,80)的员工中用分层随机抽样的方法随机抽取54人进行沟通,求抽取的评分落在[70,80)内的人数.
【解】 (1)由题意知(0.010+0.015+m+0.030+0.025)×10=1,解得m=0.020.
估计这200名员工评分的平均数=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5.
(2)评分落在[50,60)内的人数为0.010×10×200=20,评分落在[60,70)内的人数为0.015×
10×200=30,评分落在[70,80)内的人数为0.020×10×200=40,
所以评分落在区间[50,60),[60,70),[70,80)的员工的人数比例为20∶30∶40=2∶3∶4,
所以应抽取的评分落在[70,80)内的人数为54×=24,
即应抽取的评分落在[70,80)内的人数为24.
17.(本小题满分15分)
甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩(单位:分)如图所示.
(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差.
(2)请你对两人的成绩进行多角度的评价.
【解】 (1)由折线图得,甲近期五次测试成绩分别为10,13,12,14,16,
乙近期五次测试成绩分别为13,14,12,12,14,
所以甲成绩的平均数为
==13,
甲成绩的方差为=×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4.
乙成绩的平均数为==13,
乙成绩的方差为=×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)结合成绩的图象分布及趋势以及=,>,我们得到以下评价:
①甲、乙两人的平均成绩相等,但乙比甲的成绩更稳定;
②甲的成绩基本呈上升趋势,而乙的成绩上下波动.
18.(本小题满分17分)
某地区有小学生9 000人,初中生8 600人,高中生4 400人,教育局组织“防溺水”网络知识问答,现用分层随机抽样的方法从中抽取220名学生,对其成绩进行统计分析,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)成绩位列前10%的学生,平台会生成“防溺水达人”优秀证书,试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分;
(2)已知落在[60,70)内的平均成绩为67,方差是9,落在[60,80)内的平均成绩是73,方差是29,求落在[70,80)内的平均成绩和方差.
【解】 (1)前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,
前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,
90%分位数落在第5组,设为x,
则0.70+(x-80)×0.025=0.90,解得x=88.
“防溺水达人”的成绩至少为88分.
(2)[60,70)的频率为0.15,[70,80)的频率为0.30,
所以[60,70)的频率与[60,80)的频率比值为=,[70,80)的频率与[60,80)的频率比值为=,设落在[70,80)内的平均成绩和方差分别为,s2,依题意有73=×67+×,解得=76,29=×[9+(67-73)2]+×[s2+(76-73)2],解得s2=12,所以落在[70,80)内的平均成绩为76,方差为12.
19.(本小题满分17分)
对于居民生活用水,某市实行阶梯水价.具体来说,季度用水量在40 m3及以下的部分,收费标准为3元/m3;季度用水量超过40 m3但不超过80 m3的部分,收费标准为4元/m3;季度用水量超过80 m3的部分,收费标准为6元/m3.
(1)求某户居民用水费用y(单位:元)关于季度用水量x(单位:m3)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用水情况,通过抽样获得了2025年第二季度本市1 000户居民每户的季度用水量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这1 000户居民中,季度用水费用不低于200元的有400户,求直方图中a,b的值,并估计季度用水量的第75百分位数.
【解】 (1)当0≤x≤40时,y=3x;
当40当x>80时,y=3×40+4×40+6(x-80)=6x-200,
所以y与x的函数解析式为
y=
(2)当y=200时,x=60,即季度用水量不低于60 m3的占40%,结合频率分布直方图知
解得a=0.007 5,b=0.010 0.
设第75百分位数为t,
因为季度用水量低于60 m3的所占比例为60%,低于80 m3的占0.6+20×0.010 0=80%,
所以第75百分位数t在[60,80)内,故0.6+(t-60)×0.010 0=0.75,解得t=75,
即季度用水量的第75百分位数的估计值为75 m3.
阶段检测卷三(第六章～第九章)
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若z=,则z+等于(　　)
[A] -2i [B] 2i [C] -2 [D] 2
【答案】 D
【解析】 因为i3=-i,i5=i,所以z====1-i,则=1+i,z+=1-i+1+i=2.故选D.
2.在△ABC中,已知AB=AC,B=30°,则C等于(　　)
[A] 60° [B] 30°
[C] 30°或150° [D] 60°或120°
【答案】 D
【解析】 由正弦定理可得=,即=,解得sin C=,则C=60°或120°.故选D.
3.在△ABC中,D在BC上且DC=3BD,设=a,=b,则等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a+b [D] a+b
【答案】 B
【解析】 如图,在△ABC中,D在BC上且DC=3BD,所以=.
则=+=+=+(-)=+-=+.
又因为=a,=b,所以=a+b.
故选B.
4.若一组数据为1.88,2.25,2.21,2.35,2.74,2.24,2.59,5.53,4.39,4.22,3.55,2.74,3.64,2.88,2.03,
1.62,0.08,则这组数据的第25百分位数为(　　)
[A] 2.03 [B] 2.21 [C] 2.12 [D] 3.55
【答案】 B
【解析】 将数据从小到大排序为0.08,1.62,1.88,2.03,2.21,2.24,2.25,2.35,2.59,2.74,2.74,2.88,
3.55,3.64,4.22,4.39,5.53,17×25%=4.25,则这组数据的第25百分位数为第五个数据2.21.
故选B.
5.如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若AD=DB,∠ABC=120°,且圆台的表面积为42π,则该圆台的高为(　　)
[A] 2 [B] 2
[C] 3 [D] 2
【答案】 D
【解析】 设AD=DB=r,圆台高为h,上、下底面半径分别为r1,r2.
则2πr1=r×,2πr2=2r×,解得r1=,r2=,所以圆台的表面积为S=πr(r1+r2)+π+π=
πr2+π×+π×=πr2=42π,
解得r=3,故圆台的高为h==2.故选D.
6.某商场开通三种平台销售商品,五一期间这三种平台的数据如图①所示.该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,用比例分配的分层随机抽样方法抽取了6%的顾客进行满意率调查,得到的数据如图②所示,下列说法正确的是(　　)
[A] 样本中对平台一满意的消费者人数为700
[B] 总体中对平台二满意的消费者人数约为18
[C] 样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60
[D] 若样本中对平台三满意的消费者人数为120,则m=90%
【答案】 C
【解析】 样本中对平台一满意的消费者人数为2 000×6%×35%=42,故A错误;总体中对平台二满意的消费者人数约为1 500×20%=300,故B错误;样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为2 000×6%×35%+1 500×6%×20%=60,故C正确;样本中对平台三的满意率为=80%,所以m=80%,故D错误.故选C.
7.已知三棱锥PABC的四个面均为直角三角形,PA⊥平面ABC,PA=AB=4,AC=6,则三棱锥
PABC外接球的表面积为(　　)
[A] 12π [B] 24π [C] 32π [D] 52π
【答案】 D
【解析】 根据题意,构造如图所示的长方体,设其外接球的半径为R,易知三棱锥PABC的外接球就是此长方体的外接球,
则2R=PC====2,所以三棱锥PABC外接球的表面积为4πR2=52π.故选D.
8.在直角三角形ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则·的取值范围为(　　)
[A] [4,6] [B] [2,]
[C] [2,4] [D] [4,]
【答案】 A
【解析】 如图,在Rt△ABC中,CA=CB=3,
则AB=3,∠CAB=45°,
根据对称性,不妨设点M始终在线段AN上.
令MA=t(0≤t≤2),则NA=t+,
于是得·=(+)·(+)=·+(+)·+=t(t+)+(2t+)·
3cos 135°+9=t2-2t+6=(t-)2+4.
当t=时,(·)min=4,
当t=0或t=2时,=6,
所以·的取值范围为[4,6].故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共 18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知数据x1,x2,…,xn(x1[A] 新数据的平均数为2+1
[B] 新数据的方差为2s2
[C] 新数据的中位数一定比原数据的中位数大
[D] 新数据的极差一定比原数据的极差大
【答案】 AD
【解析】 新数据的平均数为=yi=(2xi+1)=2xi+1=2+1,故A正确;
新数据的方差为
[(y1-)2+(y2-)2+…+(yn-)2]
={[2x1+1-(2+1)]2+[2x2+1-(2+1)]2+…+[2xn+1-(2+1)]2}
=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
=4s2,故B错误;
设原数据的中位数为m,则新数据的中位数为2m+1,当m<-1时,2m+1-1时,2m+1>m,故C错误;
原数据的极差为xn-x1,新数据的极差2xn+1-(2x1+1)=2(xn-x1)>xn-x1,故D正确.故选AD.
10.已知z1,z2都是复数,下列选项正确的是(　　)
[A] 若|z1+z2|=|z1-z2|,则z1z2=0
[B] 若z2≠0,则||=
[C] 若+=0,则z1=z2=0
[D] 若=,则|z1|=|z2|
【答案】 BD
【解析】 对于A,取z1=1+i,z2=1-i,
则z1+z2=2,z1-z2=-2i,满足|z1+z2|=|z1-z2|,但z1z2=2≠0,则A不正确;
对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
因为z2≠0,所以c,d不同时为0,||=||=||=||==,则B正确;
对于C,取z1=i,z2=1,满足+=0,但z1≠z2≠0,则C不正确;
对于D,因为=,所以(z1+z2)(z1-z2)=0,所以z1=z2或z1=-z2,则|z1|=|z2|,则D正确.故选BD.
11.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点P是棱CC1上的一个动点(包含端点),则下列说法不正确的是(　　)
[A] 存在点P,使DP∥平面AB1D1
[B] 二面角P-BB1-D的平面角为60°
[C] PB+PD1的最小值是
[D] P到平面AB1D1的距离最大值是
【答案】 BD
【解析】 当点P与点C1重合时,DP∥AB1,AB1 平面AB1D1,DP不在平面AB1D1内,故DP∥平面AB1D1,故A正确;
二面角P-BB1-D即二面角C-BB1-D,平面角为∠CBD=45°,故B错误;
如图所示,PB+PD1=PB′+PD1≥B′D1=,当D1,P,B′共线时等号成立,故C正确;
连接A1C1,A1C,D1B1⊥A1C1,D1B1⊥CC1,A1C1∩CC1=C1,得到D1B1⊥平面A1C1C,故D1B1⊥A1C,同理可得A1C⊥平面D1B1A,设A1C交平面D1B1A于点H,则CH=AC·cos∠ACA1=AC·=
×=,当P与点C重合时,P到平面AB1D1的距离为,故D错误.故选BD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知一个△ABC利用斜二测画法画出直观图如图所示,其中B′O′=2,O′C′=5,O′A′=3,则原△ABC的面积为　　　　　　.
【答案】 21　
【解析】 由直观图还原原图形△ABC,如图,OB=2,OC=5,OA=6,
则S△ABC=×7×6=21.
13.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=-+i,则|z1+z2|=　　　　.
【答案】 　
【解析】 由题设,|z1-z2|2=(z1-z2)(-)=z1-z2-z1+z2=1,又|z1|=|z2|=1,所以z2+z1=1,而=(z1+z2)(+)=z1+z2+z1+z2,所以|z1+z2|2=3,故|z1+z2|= .
14.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为16,侧棱AA1=2,E是棱BC的中点,P是侧棱AA1上的动点,直线C1P交平面EB1D1于点P′,则动点P′的轨迹长度为　　　　.
【答案】 　
【解析】 如图,连接BD,AC,取CD的中点M,连接EM交AC于点F,连接A1C1,B1D1交于O,连接OF,B1E,D1M,因为E是棱BC的中点,所以EM∥BD,则F是AC的四等分点,且AF=AC,由正四棱柱的性质可得BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形DD1B1B是平行四边形,所以
B1D1∥BD,所以B1D1∥ME,所以B1,D1,M,E四点共面,所以平面B1D1ME∩平面ACC1A1=OF,连接AC1交OF于点G,因为P是侧棱AA1上的动点,直线C1P交平面EB1D1于点P′,所以线段OG即为动点P′的轨迹,在平面ACC1A1中,过点F作HF⊥A1C1,交A1C1于点H,则HF=2,因为
A1C1∥AC,所以△AFG∽△C1OG,所以===,所以OG=OF,因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为16,侧棱AA1=2,所以AD=DC=2,则AC=4,所以CF=C1H=OH=AC=1,因为HF=2,所以OF=== ,所以OG=OF=.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知复数z1=a+(7-a)i,z2=5+(a2+6a-13)i(a∈R).
(1)若z2的实部与z1的模相等,求a的值;
(2)若复数z1+z2在复平面上的对应点在第四象限,求a的取值范围.
【解】 (1)因为z2的实部与z1的模相等,
所以5=,
化简得a2-7a+12=0,解得a=3或a=4.
(2)复数z1+z2=5+a+(a2+5a-6)i在复平面上的对应点为(5+a,a2+5a-6)在第四象限,
所以 -5故a的取值范围为(-5,1).
16.(本小题满分15分)
已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bsin(A+)=a+c.
(1)求B的大小;
(2)若a+c=6,b=a,求△ABC外接圆的半径.
【解】 (1)在△ABC中,由2bsin(A+)=a+c及正弦定理,得2sin Bsin(A+)=sin A+sin C,
则sin Bsin A+sin Bcos A=sin A+sin(A+B)=sin A+sin Acos B+cos Asin B,
整理得 sin Bsin A=sin A+sin Acos B.
又sin A>0,所以1+cos B=sin B,
两边平方得(1+cos B)2=3sin2B=3(1-cos B)·(1+cos B).
又0-1,
于是1+cos B=3(1-cos B),
解得cos B=,
所以B=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2ac·=a2+c2-ac,
而a+c=6,b=a,
则3a2=(a+c)2-3ac=36-3a(6-a),
解得a=2,b=2,所以△ABC外接圆的半径为r==2.
17.(本小题满分15分)
某小区物业公司为进一步提升服务质量,随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按[40,50),[50,60),…,[90,100]依次分为第一至第六组(所有评分x满足40≤x≤100).统计各组频数并计算相应频率,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)求业主评分平均数的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访,则第一组、第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少
【解】 (1)由题意可得
(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)×10=1,
解得a=0.030.
(2)由题意可知,=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74,
所以业主评分平均数的估计值为74.
(3)评分低于70分的三组频率之比为1∶2∶4,
故第一组被抽到的人数为14×=2,第二组被抽到的人数为14×=4,第三组被抽到的人数为14×=8,
即第一组、第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2,4,8.
18.(本小题满分17分)如图,四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,PB=PD.
(1)证明:平面PBD⊥平面PAC.
(2)若PA=1,且PA与平面ABCD的夹角为.
①证明:∠PAC=.
②求二面角P-BC-A的正弦值.
(1)【证明】 如图①所示,设AC∩BD=O,连接OP,
因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD.
又因为O为BD的中点,且PB=PD,
所以OP⊥BD.
又AC∩OP=O,AC,OP 平面PAC.
所以BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD,
所以平面PBD⊥平面PAC.
(2)①【证明】 如图②所示,在平面PAC中过点P作PH⊥AC交AC于点H,
因为BD⊥平面PAC,PH 平面PAC,
所以BD⊥PH.
又AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,
所以PH⊥平面ABCD.
所以∠PAH即为PA与平面ABCD所成的角,即∠PAH=,所以∠PAC=.
②【解】 因为PA=1,且∠PAH=,
所以AH=PH=.
如图②所示,过点H作HE⊥BC交BC于点E,连接PE.
又PH⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,
所以PH⊥BC.
又PH∩HE=H,PH,HE 平面PHE,
所以BC⊥平面PHE.
又PE 平面PHE,
所以BC⊥PE.
所以∠PEH即为二面角P-BC-A的平面角.
又AC==2.
所以CH=AC-AH=2-=.
因为四边形ABCD为正方形,
所以AB⊥BC.
又因为HE⊥BC,
所以AB∥HE.
所以=,即=,解得EH=.
又PH⊥平面ABCD,EH 平面ABCD,
所以PH⊥EH.
所以PE===.
所以sin∠PEH==.
所以二面角P-BC-A的正弦值为.
19.(本小题满分17分)
在一个文艺比赛中,由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组,给参赛选手打分.打分均采用100分制,下表是三组评委对选手小明的打分:
小组A 85 91 87 93 88 84 97 94 95 86
小组B 84 87 92 96 89 95 92 91 94 90
小组C 95 89 95 96 97 93 92 90 89 94
(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值;
(2)你能依据(1)的度量值判断小组A,B与C中哪一个更像是由专业评审组成的吗
(3)已知某选手专业评审得分的平均数和方差分别为=95,=8,媒体评审得分的平均数和方差分别为=93,=12,大众评审得分的平均数和方差分别为=91,=20,将这30名评审的平均分作为最终得分,求该选手最终的得分和方差.
【解】 (1)可以用方差来度量每一组评委打分的相似性,方差越小,相似程度越高.
小组A的平均数 =×(85+91+87+93+88+84+97+94+95+86)=90,
小组A的方差=×[(85-90)2+(91-90)2+(87-90)2+(93-90)2+(88-90)2+(84-90)2+(97-90)2+
(94-90)2+(95-90)2+(86-90)2]=19;
小组B的平均数 =×(84+87+92+96+89+95+92+91+94+90)=91,
小组B的方差=×[(84-91)2+(87-91)2+(92-91)2+(96-91)2+(89-91)2+(95-91)2+(92-91)2+
(91-91)2+(94-91)2+(90-91)2]=12.2;
小组C的平均数 =×(95+89+95+96+97+93+92+90+89+94)=93,
小组C的方差=×[(95-93)2+(89-93)2+(95-93)2+(96-93)2+(97-93)2+(93-93)2+(92-93)2+
(90-93)2+(89-93)2+(94-93)2]=7.6.
(2)由于专业评委给分更符合专业规则,相似程度应该高,即方差小,因而小组C更像是由专业评审组成的.
(3)该选手的得分为=++=×95+×93+×91=93.
方差s2=×{10×[+(-)2]+10×[+(-)2]+10×[+(-)2]}=×{10×[8+(95-93)2]+
10×[12+(93-93)2]+10×[20+(91-93)2]}=16.
所以该选手最终的得分和方差分别为93,16.(共36张PPT)
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主干知识回顾
核心题型突破
1.简单随机抽样
(1)特征:①逐个抽取;②每个个体被抽到的概率都相等.
(2)常用方法:①抽签法;②随机数法.
2.分层随机抽样
(1)定义:按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.
题型一　随机抽样
[典例1] 已知某校有小学生3 600名,初中生2 400名,为了解该校学生的近视情况,用比例分配的分层随机抽样的方法,从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是(　　)
[A] 24 [B] 48
[C] 72 [D] 96
A
初中生应抽取的人数是120-72=48,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是 72-48=24.
故选A.
[跟踪训练] (多选题)某学生社团有男生32人、女生24人,从中随机抽取一个容量为7的样本.某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是(　 　)
[A] 这次抽样可能采用的是抽签法
[B] 这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样
[C] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
[D] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
AB
【解析】 根据抽样结果,此次抽样可能采用的是抽签法,故A正确;
若采用的是按性别进行分层的分层随机抽样的方法,则抽到的男、女生人数分别为4,3,所以这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样,故B正确;
若按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等,故C,D错误.故选AB.
题型二　总体取值规律与百分位数的估计
1.频率分布直方图
可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律.
2.百分位数与总体百分位数的估计
(1)第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数.
[典例2] 某家面包店以往每天制作120个三明治,为了解销售情况,店长统计了去年三明治的日销售量(单位:个),并绘制频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值,并计算该面包店去年(按360天算)三明治日销售量不少于100个的天数;
【解】 (1)由(2×0.002 5+2a+0.035+0.04)×10=1,解得a=0.01.
日销售量不少于100个的频率为(0.01+0.002 5)×10=0.125,则该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为360×0.125=45.
(2)由于三明治的保质期不到一天,为了避免浪费,店长决定今年减少每天三明治的制作量,但要求有70%的天数可以满足顾客的需求,估计每天应该制作多少个三明治.
[跟踪训练] (1)某校举办了校园安全知识竞赛,把1 000名学生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成四组,并整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　)
[A] a的值为0.015
[B] 估计这组数据的众数为80
[C] 估计这组数据的第60百分位数为87
[D] 估计成绩低于80分的有350人
C
【解析】 (1)易知10a+0.020×10+0.050×10+0.025×10=1,解得a=0.005,所以A错误;由频率分布直方图可知众数落在区间[80,90)内,用区间中点值表示众数即85,所以B错误;由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005×10+
0.020×10=0.25,前三组频率之和为0.005×10+0.020×10+0.050×10=0.75,故第60百分位数落在区间[80,90)内,设第60百分位数为x,则0.25+(x-80)×0.050=
0.60,解得x=87,所以C正确;成绩低于80分的频率为0.005×10+0.020×10=
0.25,所以估计成绩低于80分的有 1 000×0.25=250(人),所以D错误.故选C.
(2)(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　)
[A] 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
[B] 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
[C] 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
[D] 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C
【解析】 (2)对于A,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1×100%=6%,故A正确;
对于B,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1×100%=10%,故B正确;
对于C,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+
11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),故C不正确;
对于D,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)×1×100%=64%>50%,故D正确.故选C.
题型三　总体集中趋势与离散程度估计
1.反映数据集中趋势的量有平均数、中位数、众数.
2.反映离散程度的量有极差、方差、标准差.
[典例3] (多选题)在气象学上,进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于10 ℃.某人记录了甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均气温(日平均气温都是整数),根据以下数字特征,一定符合进入冬季标准的是(　 　)
[A] 甲:中位数为7,众数为8
[B] 乙:平均数为6,极差为4
[C] 丙:中位数为7,极差为3
[D] 丁:平均数为7,方差为2
ABD
【解析】 对于A,甲:中位数为7,众数为8,则8出现次数最多,又只有5个数据,7为中位数,所以8出现次数为2次,另外两个数据只能是小于7的两个不同的数,故甲地一定符合进入冬季标准,故A正确;对于B,乙:平均数为6,极差为4,因为极差是最大值与最小值的差,假设存在某日的气温大于等于10 ℃,又平均数为6,故一定存在某日的气温低于6 ℃,此时极差不为4,故假设不成立,即每日气温都低于10 ℃,所以乙一定符合进入冬季标准,故B正确;对于C,丙:中位数为7,极差为3,可以找到一组气温数据7,7,7,8,10,故丙不一定符合进入冬季标准,故C错误;
对于D,丁:平均数为7,方差为2,故不可能每天都为7 ℃,日平均气温都是整数,所以最多三天7 ℃,若存在某日的气温高于10 ℃,方差大于2,不符合方差为2的条件,若存在某日的气温等于10 ℃,若三天7 ℃,则五天的气温4,7,7,7,10,计算方差,可知不符合方差为2的条件,若两天7 ℃,则五天的气温的方差一定大于2,若一天7 ℃,则五天的气温的方差一定大于2,综上可知,所以丁一定符合进入冬季标准,故D正确.故选ABD.
[跟踪训练] (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 频数
[900,950) 6
[950,1 000) 12
[1 000,1 050) 18
[1 050,1 100) 30
[1 100,1 150) 24
[1 150,1 200) 10
根据表中数据,下列结论中正确的是(　　)
[A] 100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
[B] 100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
[C] 100块稻田亩产量的极差在200 kg至300 kg之间
[D] 100块稻田亩产量的平均值在900 kg至1 000 kg之间
C
在应对统计综合应用题时,要仔细研读题目,明确已知条件和所求问题,合理选择统计方法和公式进行计算分析,同时要确保数据处理的准确性和合理性,注意单位换算等细节问题.
题型四　统计的综合应用
A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54
[跟踪训练] 某公司为了解用户对其产品的满意程度,从A地区随机抽取了400名用户,从B地区随机抽取了100名用户,请用户根据满意程度对该公司产品评分,该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制成评分频率分布直方图如图.
(1)估计A地区满意程度评分的第70百分位数;
【解】 (1)因为前2组的频率之和为20×(0.005+0.015)=0.4<0.7,
前3组的频率之和为20×(0.005+0.015+0.020)=0.8>0.7,
所以第70百分位数在第3组,设第70百分位数为m,
则20×(0.005+0.015)+0.020×(m-60)=0.7,解得m=75,
所以估计A地区满意程度评分的第70百分位数为75.
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题型一　随机抽样
1.简单随机抽样
(1)特征:①逐个抽取;②每个个体被抽到的概率都相等.
(2)常用方法:①抽签法;②随机数法.
2.分层随机抽样
(1)定义:按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总
样本.
(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.在比例分配的分层随机抽样中,==.
(3)在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数.
[典例1] 已知某校有小学生3 600名,初中生2 400名,为了解该校学生的近视情况,用比例分配的分层随机抽样的方法,从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是(　　)
[A] 24 [B] 48
[C] 72 [D] 96
初中生应抽取的人数是120-72=48,则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是 72-48=24.
故选A.
[跟踪训练] (多选题)某学生社团有男生32人、女生24人,从中随机抽取一个容量为7的样本.某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是(　　)
[A] 这次抽样可能采用的是抽签法
[B] 这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样
[C] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
[D] 这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
若采用的是按性别进行分层的分层随机抽样的方法,则抽到的男、女生人数分别为4,3,所以这次抽样不可能是按性别进行分层的分层随机抽样,故B正确;
若按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等,故C,D错误.故选AB.
题型二　总体取值规律与百分位数的估计
1.频率分布直方图
可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律.
2.百分位数与总体百分位数的估计
(1)第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数.
[典例2] 某家面包店以往每天制作120个三明治,为了解销售情况,店长统计了去年三明治的日销售量(单位:个),并绘制频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值,并计算该面包店去年(按360天算)三明治日销售量不少于100个的天数;
(2)由于三明治的保质期不到一天,为了避免浪费,店长决定今年减少每天三明治的制作量,但要求有70%的天数可以满足顾客的需求,估计每天应该制作多少个三明治.
日销售量不少于100个的频率为(0.01+0.002 5)×10=0.125,则该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为360×0.125=45.
(2)由题意,可知求三明治日销售量的70%分位数,设为m.
[60,90)对应的频率0.525<0.7,[60,100)对应的频率0.875>0.7,故m∈[90,100).
由0.7-0.525=0.175,得m=90+=95,
故估计每天应该制作95个三明治.
[跟踪训练] (1)某校举办了校园安全知识竞赛,把1 000名学生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成四组,并整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　)
[A] a的值为0.015
[B] 估计这组数据的众数为80
[C] 估计这组数据的第60百分位数为87
[D] 估计成绩低于80分的有350人
(2)(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　)
[A] 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
[B] 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
[C] 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
[D] 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
10+0.050×10=0.75,故第60百分位数落在区间[80,90)内,设第60百分位数为x,则0.25+(x-80)×0.050=0.60,解得x=87,所以C正确;成绩低于80分的频率为0.005×10+0.020×
10=0.25,所以估计成绩低于80分的有 1 000×0.25=250(人),所以D错误.故选C.
(2)对于A,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)×1×100%=6%,故A正确;
对于B,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)×1×100%=10%,故B正确;
对于C,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02+4×0.04+5×0.10+
6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),故C不正确;
对于D,根据频率分布直方图知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)×1×100%=64%>50%,故D正确.故选C.
题型三　总体集中趋势与离散程度估计
1.反映数据集中趋势的量有平均数、中位数、众数.
2.反映离散程度的量有极差、方差、标准差.
[典例3] (多选题)在气象学上,进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于10 ℃.某人记录了甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均气温(日平均气温都是整数),根据以下数字特征,一定符合进入冬季标准的是(　　)
[A] 甲:中位数为7,众数为8
[B] 乙:平均数为6,极差为4
[C] 丙:中位数为7,极差为3
[D] 丁:平均数为7,方差为2
[跟踪训练] (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 频数
[900,950) 6
[950,1 000) 12
[1 000,1 050) 18
[1 050,1 100) 30
[1 100,1 150) 24
[1 150,1 200) 10
根据表中数据,下列结论中正确的是(　　)
[A] 100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
[B] 100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
[C] 100块稻田亩产量的极差在200 kg至300 kg之间
[D] 100块稻田亩产量的平均值在900 kg至1 000 kg之间
故选C.
题型四　统计的综合应用
在应对统计综合应用题时,要仔细研读题目,明确已知条件和所求问题,合理选择统计方法和公式进行计算分析,同时要确保数据处理的准确性和合理性,注意单位换算等细节问题.
[典例4] 滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一,如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源,成为摆在我们面前的世界级难题.对盐碱地的改良方法,研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大,且能降低滨海盐碱地30～60 cm土壤层可溶性盐含量的技术,为了对比这两种技术改良盐碱地的效果,科研人员在同一区域采集了12个土壤样本,平均分成A,B两组,测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 =0.82,方差=0.029 3,B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 =0.83,方差=0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验,用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验,分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下:
A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和,样本方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后,土壤可溶性盐含量是否有显著降低 (若->2,i=1,2,则认为应用技术有显著降低土壤可溶性盐含量,否则不认为有显著降低)
=×[(0.66-0.70)2+(0.68-0.70)2+(0.69-0.70)2+(0.71-0.70)2+(0.72-0.70)2+(0.74-0.70)2]=
0.000 7,
=×(0.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.54)=0.495,
=×[(0.46-0.495)2+(0.48-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.51-0.495)2+(0.54-0.495)2]=0.000 625.
(2)当i=1时,(-)2=0.014 4,
(2)2=0.02.
因为0.014 4<0.02,
所以-<2,
所以应用技术1后,土壤可溶性盐含量没有显著降低.
当i=2时,(-)2≈0.112 2,
(2)2≈0.113 6.
因为0.112 2<0.113 6,
所以-<2,
所以应用技术2后,土壤可溶性盐含量也没有显著降低.
故应用技术1和技术2后,土壤可溶性盐含量没有显著降低.
[跟踪训练] 某公司为了解用户对其产品的满意程度,从A地区随机抽取了400名用户,从B地区随机抽取了100名用户,请用户根据满意程度对该公司产品评分,该公司将收集到的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘制成评分频率分布直方图如图.
(1)估计A地区满意程度评分的第70百分位数;
(2)根据频率分布直方图,假设同一组中数据用该组区间中点值作代表,估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均数为μ1,B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均数为μ2,以及A,B两地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均数为μ0,试比较μ0和的大小.
前3组的频率之和为20×(0.005+0.015+0.020)=0.8>0.7,
所以第70百分位数在第3组,设第70百分位数为m,
则20×(0.005+0.015)+0.020×(m-60)=0.7,解得m=75,
所以估计A地区满意程度评分的第70百分位数为75.
(2)由频率分布直方图可得
μ1=30×0.005×20+50×0.015×20+70×0.020×20+90×0.010×20=64,
μ2=30×0.015×20+50×0.010×20+70×0.020×20+90×0.005×20=56,
所以==60,
因为A地区和B地区所抽取的用户人数之比为 4∶1,
所以A地区抽取用户人数占总人数的,B地区抽取用户人数占总人数的,
所以A,B两地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均数μ0=μ1+μ2=×64+×56=62.4,所以μ0>.
章末检测卷(九)
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量,有下面几个样本,统计该路口在学校放学时段的车流量,你认为合适的是(　　)
[A] 抽取两天作为一个样本
[B] 春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本
[C] 选取每周星期日作为样本
[D] 以全年每一天作为样本
2.某高校对中文系新生进行体测,利用随机数法对400名学生进行抽样,先将400名学生进行编号,001,002,…,399,400.从中抽取40个样本,用计算机生成如下随机数,则得到的第4个样本编号是(　　)
253　313　457　860　736　253　007　328　623 457　889　072　368
[A] 328 [B] 253 [C] 007 [D] 860
3.某社区为了探讨社区养老模式,在社区内对2 400名老年人、2 400名中年人、2 100名青年人用比例分配的分层随机抽样方法随机发放了调查问卷345份,则在老年人中发放的调查问卷份数是(　　)
[A] 110 [B] 115 [C] 120 [D] 125
则=,解得x=120.
所以在老年人中发放的调查问卷份数是120.故选C.
4.如图是某天8时至次日8时(次日的时间前加0表示)某市的气温走势,下列说法错误的是(　　)
[A] 8时至14时该市气温逐渐升高,14时到次日5时该市气温逐渐降低
[B] 8时至次日8时该市的最低气温为2 ℃,最高气温为12 ℃
[C] 根据图象,12时所对应的温度为10 ℃
[D] 根据图象,21时所对应的温度为6 ℃
5.有一名同学参加投篮训练,一共进行了4组投篮,每组投篮10次,得到每组投篮的投中次数分别为5,6,8,9,则这些数据的75%分位数和方差分别为(　　)
[A] 8.5和2.5 [B] 8和2.5
[C] 8.5和1.5 [D] 8和1.5
6.某社区通过公益讲座以普及社区居民的普法知识.为了解讲座效果,随机抽取10名社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份普法知识问卷,这10名社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则下列说法错误的是(　　)
[A] 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于75%
[B] 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于88.5%
[C] 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
[D] 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
对于B,讲座后问卷答题的正确率的平均数为=89.5%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于88.5%,所以B正确;
对于C,讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,
讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以C错误;
对于D,由题图可知讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以D正确.故选C.
7.已知四个不同的实数x1,x2,x3,x4,其中x1,x2,x3的方差为,x1,x3,x4的方差为,若=,则(　　)
[A] x1+x2=x3+x4
[B] x1+x3=x2+x4
[C] x1-x2=x3-x4
[D] x1+x3=x2-x4
={[2x1-(x2+x3)]2+[2x2-(x1+x3)]2+[2x3-(x2+x1)]2}
=(6+6+6-6x1x2-6x2x3-6x3x1)
=(++-x1x2-x2x3-x3x1),
同理=(++-x1x3-x3x4-x4x1),
由题意得++-x1x2-x2x3-x3x1=++-x1x3-x3x4-x4x1,
即-x1x2-x2x3=-x3x4-x4x1,整理可得(x2-x4)[(x2+x4)-(x1+x3)]=0,
因为x2≠x4,所以x1+x3=x2+x4.故选B.
8.某校从全校随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛,并根据这n名学生的竞赛成绩(总分为100分)绘制成频率分布直方图(如图所示),其中分数在[50,60)内的学生有3名,则下列说法错误的是(　　)
[A] a=0.006
[B] n=50
[C] 样本中分数在[40,50)内的学生有2名
[D] 用比例分配的分层随机抽样方法从分数在[50,60),[90,100]内的学生中抽取4名,则分数在[50,60)内的有3名
n==50,故B正确;对于C,样本中分数在[40,50)内的学生有10×0.004×50=2(名),故C正确;对于D,分数在[50,60)内的学生有×4=1(名),故D错误.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某校为了更好地支持学生个性发展,开设了学科拓展类、科技创新类、体艺特长类三种类型的校本课程,每名同学从中选择一门课程学习.现对该校5 000名学生的选课情况进行了统计,如图①,并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查,如图②,则下列说法正确的是(　　)
[A] 满意率调查中抽取的样本容量为5 000
[B] 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1 250
[C] 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875
[D] 若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,则a=70
10.高一上学期高一某班进行了6次数学测验,甲、乙两名同学6次测验成绩情况如下表:
场次 1 2 3 4 5 6
甲 90 106 80 115 120 109
乙 90 88 98 101 95 93
则下列说法正确的是(　　)
[A] 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
[B] 甲、乙成绩的中位数分别为107.5和94
[C] 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
[D] 甲的成绩比乙的成绩稳定
11.某市举行中学生诗词大赛,分初赛和复赛两个阶段进行,比赛规则:初赛成绩不小于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在[30,150]内,其频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A] 初赛成绩在[90,110)内的频率为0.015
[B] 初赛成绩在110分以下的频率为0.65
[C] 初赛成绩在130分以下的频率为0.9
[D] 初赛成绩的第80百分位数的估计值是122
0.005 0)×20=0.3,故A不正确;
对于B,初赛成绩在110分以下的频率为1-(0.012 5+0.005 0)×20=0.65,故B正确;
对于C,初赛成绩在130分以下的频率为1-0.005 0×20=0.9,故C正确;
对于D,假设初赛成绩的第80百分位数为x,所以(130-x)×0.012 5+20×0.005 0=1-0.8,解得x=122,故D正确.故选BCD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知样本数据x1,x2,x3,x4的平均数是4,方差为2,现样本加入新数据3,4,5,则加入数据后新样本的方差是　　　　.
所以(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2=8,加入新数据3,4,5后,显然新样本数据的平均数=4=,
则=×[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=.
13.已知一组数据丢失了其中一个,剩下的六个数据分别是4,4,6,4,8,11.若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则丢失数据的所有可能值构成的集合为　　　　　　.
因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,分以下几种情况讨论:
若x≤4,则中位数为4,此时+4=2×4,解得x=-9;
若4若x≥6,则中位数为6,此时+4=2×6,解得x=19.
综上可知,丢失数据的所有可能值构成的集合为{-9,5,19}.
14.为科普航天知识,某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8名同学成绩如下:7,6,8,9,8,
7,10,m,若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不变,则整数m(1≤m≤10)的值可以是　　　　(写出一个满足条件的m值即可).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机选取了 10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm) 记录下来并绘制出折线图.
(1)分别计算甲、 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数;
(2)轮胎的宽度在[193,195]内,则称这个轮胎是标准轮胎,试求甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小.
×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195;
乙厂轮胎宽度的平均数为
×(196+197+194+193+196+195+196+193+196+194)=195.
所以甲、 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数均为195.
(2)由题知甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为195,194,193,194,195,193,其平均数为×(195+194+193+194+195+193)=194,
其方差为×(1+0+1+0+1+1)=;
乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为194,193,195,193,194,其平均数为×(194+193+195+193+194)=193.8,
其方差为×(0.04+0.64+1.44+0.64+0.04)=0.56.
16.(本小题满分15分)
某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度,人力部门随机抽取了200名员工,根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分(评分均在[50,100]内),将所得数据分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求m的值,并估计这200名员工评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表);
(2)为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因,人力部门从评分落在[50,60),[60,70),[70,80)的员工中用分层随机抽样的方法随机抽取54人进行沟通,求抽取的评分落在[70,80)内的人数.
估计这200名员工评分的平均数=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5.
(2)评分落在[50,60)内的人数为0.010×10×200=20,评分落在[60,70)内的人数为0.015×
10×200=30,评分落在[70,80)内的人数为0.020×10×200=40,
所以评分落在区间[50,60),[60,70),[70,80)的员工的人数比例为20∶30∶40=2∶3∶4,
所以应抽取的评分落在[70,80)内的人数为54×=24,
即应抽取的评分落在[70,80)内的人数为24.
17.(本小题满分15分)
甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩(单位:分)如图所示.
(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差.
(2)请你对两人的成绩进行多角度的评价.
乙近期五次测试成绩分别为13,14,12,12,14,
所以甲成绩的平均数为
==13,
甲成绩的方差为=×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4.
乙成绩的平均数为==13,
乙成绩的方差为=×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)结合成绩的图象分布及趋势以及=,>,我们得到以下评价:
①甲、乙两人的平均成绩相等,但乙比甲的成绩更稳定;
②甲的成绩基本呈上升趋势,而乙的成绩上下波动.
18.(本小题满分17分)
某地区有小学生9 000人,初中生8 600人,高中生4 400人,教育局组织“防溺水”网络知识问答,现用分层随机抽样的方法从中抽取220名学生,对其成绩进行统计分析,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)成绩位列前10%的学生,平台会生成“防溺水达人”优秀证书,试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分;
(2)已知落在[60,70)内的平均成绩为67,方差是9,落在[60,80)内的平均成绩是73,方差是29,求落在[70,80)内的平均成绩和方差.
前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,
90%分位数落在第5组,设为x,
则0.70+(x-80)×0.025=0.90,解得x=88.
“防溺水达人”的成绩至少为88分.
(2)[60,70)的频率为0.15,[70,80)的频率为0.30,
所以[60,70)的频率与[60,80)的频率比值为=,[70,80)的频率与[60,80)的频率比值为=,设落在[70,80)内的平均成绩和方差分别为,s2,依题意有73=×67+×,解得=76,29=×[9+(67-73)2]+×[s2+(76-73)2],解得s2=12,所以落在[70,80)内的平均成绩为76,方差为12.
19.(本小题满分17分)
对于居民生活用水,某市实行阶梯水价.具体来说,季度用水量在40 m3及以下的部分,收费标准为3元/m3;季度用水量超过40 m3但不超过80 m3的部分,收费标准为4元/m3;季度用水量超过80 m3的部分,收费标准为6元/m3.
(2)为了了解居民的用水情况,通过抽样获得了2025年第二季度本市1 000户居民每户的季度用水量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这1 000户居民中,季度用水费用不低于200元的有400户,求直方图中a,b的值,并估计季度用水量的第75百分位数.
当40当x>80时,y=3×40+4×40+6(x-80)=6x-200,
y=
(2)当y=200时,x=60,即季度用水量不低于60 m3的占40%,结合频率分布直方图知
解得a=0.007 5,b=0.010 0.
设第75百分位数为t,
因为季度用水量低于60 m3的所占比例为60%,低于80 m3的占0.6+20×0.010 0=80%,
所以第75百分位数t在[60,80)内,故0.6+(t-60)×0.010 0=0.75,解得t=75,
即季度用水量的第75百分位数的估计值为75 m3.
阶段检测卷三(第六章～第九章)
(限时:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若z=,则z+等于(　　)
[A] -2i [B] 2i [C] -2 [D] 2
2.在△ABC中,已知AB=AC,B=30°,则C等于(　　)
[A] 60° [B] 30°
[C] 30°或150° [D] 60°或120°
3.在△ABC中,D在BC上且DC=3BD,设=a,=b,则等于(　　)
[A] a+b [B] a+b
[C] a+b [D] a+b
则=+=+=+(-)=+-=+.
又因为=a,=b,所以=a+b.
故选B.
4.若一组数据为1.88,2.25,2.21,2.35,2.74,2.24,2.59,5.53,4.39,4.22,3.55,2.74,3.64,2.88,2.03,
1.62,0.08,则这组数据的第25百分位数为(　　)
[A] 2.03 [B] 2.21 [C] 2.12 [D] 3.55
3.55,3.64,4.22,4.39,5.53,17×25%=4.25,则这组数据的第25百分位数为第五个数据2.21.
故选B.
5.如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若AD=DB,∠ABC=120°,且圆台的表面积为42π,则该圆台的高为(　　)
[A] 2 [B] 2
[C] 3 [D] 2
则2πr1=r×,2πr2=2r×,解得r1=,r2=,所以圆台的表面积为S=πr(r1+r2)+π+π=
πr2+π×+π×=πr2=42π,
解得r=3,故圆台的高为h==2.故选D.
6.某商场开通三种平台销售商品,五一期间这三种平台的数据如图①所示.该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,用比例分配的分层随机抽样方法抽取了6%的顾客进行满意率调查,得到的数据如图②所示,下列说法正确的是(　　)
[A] 样本中对平台一满意的消费者人数为700
[B] 总体中对平台二满意的消费者人数约为18
[C] 样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60
[D] 若样本中对平台三满意的消费者人数为120,则m=90%
7.已知三棱锥PABC的四个面均为直角三角形,PA⊥平面ABC,PA=AB=4,AC=6,则三棱锥
PABC外接球的表面积为(　　)
[A] 12π [B] 24π [C] 32π [D] 52π
则2R=PC====2,所以三棱锥PABC外接球的表面积为4πR2=52π.故选D.
8.在直角三角形ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则·的取值范围为(　　)
[A] [4,6] [B] [2,]
[C] [2,4] [D] [4,]
则AB=3,∠CAB=45°,
根据对称性,不妨设点M始终在线段AN上.
令MA=t(0≤t≤2),则NA=t+,
于是得·=(+)·(+)=·+(+)·+=t(t+)+(2t+)·
3cos 135°+9=t2-2t+6=(t-)2+4.
当t=时,(·)min=4,
当t=0或t=2时,=6,
所以·的取值范围为[4,6].故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共 18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知数据x1,x2,…,xn(x1[A] 新数据的平均数为2+1
[B] 新数据的方差为2s2
[C] 新数据的中位数一定比原数据的中位数大
[D] 新数据的极差一定比原数据的极差大
新数据的方差为
[(y1-)2+(y2-)2+…+(yn-)2]
={[2x1+1-(2+1)]2+[2x2+1-(2+1)]2+…+[2xn+1-(2+1)]2}
=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
=4s2,故B错误;
设原数据的中位数为m,则新数据的中位数为2m+1,当m<-1时,2m+1-1时,2m+1>m,故C错误;
原数据的极差为xn-x1,新数据的极差2xn+1-(2x1+1)=2(xn-x1)>xn-x1,故D正确.故选AD.
10.已知z1,z2都是复数,下列选项正确的是(　　)
[A] 若|z1+z2|=|z1-z2|,则z1z2=0
[B] 若z2≠0,则||=
[C] 若+=0,则z1=z2=0
[D] 若=,则|z1|=|z2|
则z1+z2=2,z1-z2=-2i,满足|z1+z2|=|z1-z2|,但z1z2=2≠0,则A不正确;
对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
因为z2≠0,所以c,d不同时为0,||=||=||=||==,则B正确;
对于C,取z1=i,z2=1,满足+=0,但z1≠z2≠0,则C不正确;
对于D,因为=,所以(z1+z2)(z1-z2)=0,所以z1=z2或z1=-z2,则|z1|=|z2|,则D正确.故选BD.
11.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点P是棱CC1上的一个动点(包含端点),则下列说法不正确的是(　　)
[A] 存在点P,使DP∥平面AB1D1
[B] 二面角P-BB1-D的平面角为60°
[C] PB+PD1的最小值是
[D] P到平面AB1D1的距离最大值是
二面角P-BB1-D即二面角C-BB1-D,平面角为∠CBD=45°,故B错误;
如图所示,PB+PD1=PB′+PD1≥B′D1=,当D1,P,B′共线时等号成立,故C正确;
连接A1C1,A1C,D1B1⊥A1C1,D1B1⊥CC1,A1C1∩CC1=C1,得到D1B1⊥平面A1C1C,故D1B1⊥A1C,同理可得A1C⊥平面D1B1A,设A1C交平面D1B1A于点H,则CH=AC·cos∠ACA1=AC·=
×=,当P与点C重合时,P到平面AB1D1的距离为,故D错误.故选BD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知一个△ABC利用斜二测画法画出直观图如图所示,其中B′O′=2,O′C′=5,O′A′=3,则原△ABC的面积为　　　　　　.
则S△ABC=×7×6=21.
13.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=-+i,则|z1+z2|=　　　　.
14.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为16,侧棱AA1=2,E是棱BC的中点,P是侧棱AA1上的动点,直线C1P交平面EB1D1于点P′,则动点P′的轨迹长度为　　　　.
B1D1∥BD,所以B1D1∥ME,所以B1,D1,M,E四点共面,所以平面B1D1ME∩平面ACC1A1=OF,连接AC1交OF于点G,因为P是侧棱AA1上的动点,直线C1P交平面EB1D1于点P′,所以线段OG即为动点P′的轨迹,在平面ACC1A1中,过点F作HF⊥A1C1,交A1C1于点H,则HF=2,因为
A1C1∥AC,所以△AFG∽△C1OG,所以===,所以OG=OF,因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为16,侧棱AA1=2,所以AD=DC=2,则AC=4,所以CF=C1H=OH=AC=1,因为HF=2,所以OF=== ,所以OG=OF=.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知复数z1=a+(7-a)i,z2=5+(a2+6a-13)i(a∈R).
(1)若z2的实部与z1的模相等,求a的值;
(2)若复数z1+z2在复平面上的对应点在第四象限,求a的取值范围.
所以5=,
化简得a2-7a+12=0,解得a=3或a=4.
(2)复数z1+z2=5+a+(a2+5a-6)i在复平面上的对应点为(5+a,a2+5a-6)在第四象限,
所以 -5故a的取值范围为(-5,1).
16.(本小题满分15分)
已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bsin(A+)=a+c.
(1)求B的大小;
(2)若a+c=6,b=a,求△ABC外接圆的半径.
则sin Bsin A+sin Bcos A=sin A+sin(A+B)=sin A+sin Acos B+cos Asin B,
整理得 sin Bsin A=sin A+sin Acos B.
又sin A>0,所以1+cos B=sin B,
两边平方得(1+cos B)2=3sin2B=3(1-cos B)·(1+cos B).
又0-1,
于是1+cos B=3(1-cos B),
解得cos B=,
所以B=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2ac·=a2+c2-ac,
而a+c=6,b=a,
则3a2=(a+c)2-3ac=36-3a(6-a),
解得a=2,b=2,所以△ABC外接圆的半径为r==2.
17.(本小题满分15分)
某小区物业公司为进一步提升服务质量,随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按[40,50),[50,60),…,[90,100]依次分为第一至第六组(所有评分x满足40≤x≤100).统计各组频数并计算相应频率,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)求业主评分平均数的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访,则第一组、第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少
(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)×10=1,
解得a=0.030.
(2)由题意可知,=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74,
所以业主评分平均数的估计值为74.
(3)评分低于70分的三组频率之比为1∶2∶4,
故第一组被抽到的人数为14×=2,第二组被抽到的人数为14×=4,第三组被抽到的人数为14×=8,
即第一组、第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2,4,8.
18.(本小题满分17分)如图,四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,PB=PD.
(1)证明:平面PBD⊥平面PAC.
(2)若PA=1,且PA与平面ABCD的夹角为.
①证明:∠PAC=.
②求二面角P-BC-A的正弦值.
因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD.
又因为O为BD的中点,且PB=PD,
所以OP⊥BD.
又AC∩OP=O,AC,OP 平面PAC.
所以BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD,
所以平面PBD⊥平面PAC.
因为BD⊥平面PAC,PH 平面PAC,
所以BD⊥PH.
又AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,
所以PH⊥平面ABCD.
所以∠PAH即为PA与平面ABCD所成的角,即∠PAH=,所以∠PAC=.
所以AH=PH=.
如图②所示,过点H作HE⊥BC交BC于点E,连接PE.
又PH⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,
所以PH⊥BC.
又PH∩HE=H,PH,HE 平面PHE,
所以BC⊥平面PHE.
又PE 平面PHE,
所以BC⊥PE.
所以∠PEH即为二面角P-BC-A的平面角.
又AC==2.
所以CH=AC-AH=2-=.
因为四边形ABCD为正方形,
所以AB⊥BC.
又因为HE⊥BC,
所以AB∥HE.
所以=,即=,解得EH=.
又PH⊥平面ABCD,EH 平面ABCD,
所以PH⊥EH.
所以PE===.
所以sin∠PEH==.
所以二面角P-BC-A的正弦值为.
19.(本小题满分17分)
在一个文艺比赛中,由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组,给参赛选手打分.打分均采用100分制,下表是三组评委对选手小明的打分:
小组A 85 91 87 93 88 84 97 94 95 86
小组B 84 87 92 96 89 95 92 91 94 90
小组C 95 89 95 96 97 93 92 90 89 94
(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值;
(2)你能依据(1)的度量值判断小组A,B与C中哪一个更像是由专业评审组成的吗
(3)已知某选手专业评审得分的平均数和方差分别为=95,=8,媒体评审得分的平均数和方差分别为=93,=12,大众评审得分的平均数和方差分别为=91,=20,将这30名评审的平均分作为最终得分,求该选手最终的得分和方差.
小组A的平均数 =×(85+91+87+93+88+84+97+94+95+86)=90,
小组A的方差=×[(85-90)2+(91-90)2+(87-90)2+(93-90)2+(88-90)2+(84-90)2+(97-90)2+
(94-90)2+(95-90)2+(86-90)2]=19;
小组B的平均数 =×(84+87+92+96+89+95+92+91+94+90)=91,
小组B的方差=×[(84-91)2+(87-91)2+(92-91)2+(96-91)2+(89-91)2+(95-91)2+(92-91)2+
(91-91)2+(94-91)2+(90-91)2]=12.2;
小组C的平均数 =×(95+89+95+96+97+93+92+90+89+94)=93,
小组C的方差=×[(95-93)2+(89-93)2+(95-93)2+(96-93)2+(97-93)2+(93-93)2+(92-93)2+
(90-93)2+(89-93)2+(94-93)2]=7.6.
(2)由于专业评委给分更符合专业规则,相似程度应该高,即方差小,因而小组C更像是由专业评审组成的.
(3)该选手的得分为=++=×95+×93+×91=93.
方差s2=×{10×[+(-)2]+10×[+(-)2]+10×[+(-)2]}=×{10×[8+(95-93)2]+
10×[12+(93-93)2]+10×[20+(91-93)2]}=16.
所以该选手最终的得分和方差分别为93,16.

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