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2025-2026学年陕西省西安市新城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2+3x=0的根是（　　）
A. x1=x2=3 B. x1=x2=-3 C. x1=3，x2=0 D. x1=-3，x2=0
2.下面图中所示几何体的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形ABCD中，E在边CD上，CE=3ED，AE与BD交于点O，若OE=2，则OA的长为（　　）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.如图，在 ABCD中，AC=BD，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）
A. AB=BC
B. AC⊥BD
C. AB=AC
D. ∠ABD=∠CBD
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，BC=6，AD=5，则∠CAD的正弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.已知反比例函数与一次函数y=-x+b（b为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则b的值为（　　）
A. -5 B. 5 C. 2.5 D. 3
7.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=4，CE=2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.当-2≤x≤3时，二次函数y=mx2-2mx+1（m为常数，且m≠0）有最小值-3，则m的值为（　　）
A. B. C. 4 D. 4或
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于 .（填写“中心投影”或“平行投影”）
10.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关.如图所示的哪吒造型中，点B为AC的黄金分割点，即，若AC=80cm,则AB= cm.
11.关于x的方程x2-6x+2m-1=0有两个相等的实数根，则m的值是 .
12.如图，在6×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠BAC的值为 .
13.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，k≠0，x＞0）的图象经过 OABC的顶点C，顶点A在y轴的负半轴上，若顶点B的坐标为（6，2），S OABC=12，则k的值为 .
14.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P作PH⊥AB于点H，且DP=BH，连接CP，若∠ABC=120°，BC=3，则CP的长为 .
三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题9分)
计算：.
16.(本小题9分)
化简：（x-）÷.
17.(本小题6分)
解方程：2x2-4x=3（x-2）.
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，请用尺规作图法，在边BC上求作点D，连接AD，使得sin∠CAD=sinB.（保留作图痕迹，不写作法）
19.(本小题6分)
如图，点E、F分别在 ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF，AE∥CF，连接AC、EF，请你从以下三个选项：①AC⊥EF；②AE⊥BC；③AC=EF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是矩形.
（1）你选择的补充条件是______（填序号）；
（2）根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是矩形的证明过程.
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，-2），C（0，-1）.△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为原点O，△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2.（点A′、B′、C′分别与点A、B、C对应，且点A′在第四象限）
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）△ABC与△A′B′C′的周长比为______.
21.(本小题6分)
陕西作为文化大省，“周秦汉唐”千年文脉博大精深，历史文化和文物遗存丰厚，无数历史名胜数不胜数，以独特魅力吸引着四方来客.为了丰富学生的课余生活，宣传陕西的旅游景点，某校将举行“人文陕西，大赞美丽三秦”的主题活动，活动中有一个转盘游戏的环节.如图所示是一个可自由转动的转盘，被分为四等份，每个扇形区域中都标有一个景点名称，转动转盘，当转盘停止时，转盘指针（若指针指在分界线上，重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）指向哪个景点名称时，则由参加游戏者为大家介绍该景点.
（1）随机转动转盘一次，转盘停止时，指针恰好指向B.华山的概率为______；
（2）圆圆和萌萌参加该活动，他们各转动转盘一次，请利用画树状图或列表的方法求两人中至少有一人介绍A.兵马俑的概率.
22.(本小题6分)
紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范.小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度.如图2，小云选取与底端B在同一水平地面上的点C，放置一个平面镜，然后沿着BC方向后退，当退到点D时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端A的像，已知小云的眼睛到地面的距离ED为1.5米，CD=2米；接着，小强在地面上的点F处测得紫云楼的顶端A的仰角∠AFB=71.5°，CF=39米，已知AB⊥BD，ED⊥BD，点B、F、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度AB.（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00）.
23.(本小题6分)
2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象.某商场销售该吉祥物玩具，平均每天可销售30件，每件盈利50元.为尽可能让利于顾客，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：每件吉祥物玩具每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件吉祥物玩具降价x元，商场销售这种吉祥物玩具日盈利为y元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件吉祥物玩具降价多少元时，商场销售这种吉祥物玩具日盈利可达到2100元？
24.(本小题6分)
如图，点F在 ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AC=12，AD=8，，求 ABCD的面积.
25.(本小题6分)
某数学课题学习小组，为了研究某隧道（图1）的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该隧道口的横截面是抛物线型，隧道底部宽AB为，抛物线的最高点C与路面AB的距离为6m,点C在y轴上.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的摄像头M、N进行升级，现已知这两个摄像头的水平距离MN为4m,且M、N关于y轴对称，求这两个摄像头距地面AB的高度是多少米？
26.(本小题6分)
【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC于点E，则△OEC与△ABC的面积之比为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的点，连接BE，过点B作BF⊥BE，连接EF、CF，∠EFB=∠ACB=60°，请分别求出的值及∠ACF的度数；
【问题解决】
（3）如图3，矩形ABCD是一个工厂的平面示意图，BC=2AB=800m,在边BC上规划一个水房E，O为对角线AC的中点，O为员工餐厅，连接OE，计划在OE的左侧修建一个员工宿舍△OME，且满足∠OME=∠ABC，∠MOE=∠BAC，连接BM，现在需要沿BM铺设小路，为了节约成本，需使小路BM的长尽可能的短，求小路BM的最短长度.（水房、餐厅的大小及小路的宽度均忽略不计）
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】中心投影
10.【答案】
11.【答案】5
12.【答案】4
13.【答案】24
14.【答案】
15.【答案】．
16.【答案】．
17.【答案】．
18.【答案】
19.【答案】②或③ 选择②或③，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EC∥AF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形；选择③，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EC∥AF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴四边形AECF是矩形
20.【答案】△A′B′C′如图所示：
1：2
21.【答案】
22.【答案】紫云楼的高度AB为39米．
23.【答案】y=-2x2+70x+1500 20元
24.【答案】∵BE∥AF，EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠AFB=∠FBC+∠FCB，∠ABF=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形 48
25.【答案】 高度为5.5m
26.【答案】1：4 ，90° BM的最短长度为
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