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(共49张PPT)
模块三　电场和磁场
专题九　电场和带电粒子(体)
在电场中的运动
命题点1　电场力的性质
01
　考向1　电场力和电场的叠加
　　　(多选)(2025·河北卷，T8)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
AD
AD
特殊电场强度的求解方法
常用方法 解题技巧 示例
对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化
常用方法 解题技巧 示例
补偿法
微元法
将有缺口的带电圆环补为完整圆环，或将半球面补为完整球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据点电荷场强公式求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强
常用方法 解题技巧 示例
等效法
利用等效思维方法处理问题时，关键是确定等效电荷的电荷量及其位置
　考向2　电场中的平衡问题
　　　(2025·湖南卷，T5)如图所示，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为60°，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．A球静止时，轻绳上拉力为2mg
B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为2mg
C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g
D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小
C
剪断轻绳前，小球A所受合力为零，库仑力与重力的合力与轻绳拉力等大反向，即库仑力与重力的合力大小为mg，剪断轻绳后瞬间，绳子拉力消失，库仑力与重力均不变，则小球A所受合力大小为mg，由牛顿第二定律得小球A的瞬时加速度大小a＝g，C正确；
由于剪断轻绳前后瞬间，B球的受力不变，且状态不变，因此轻杆对B球的作用力不变，D错误。
命题点2　电场能的性质
02
　考向1　电场能的性质的理解
　　　(2025·甘肃卷，T5)如图，两极板不平行的电容器与
直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，
虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同
一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的低
B．M点的电场强度比N点的小
C．负电荷从M点运动到P点，速度增大
D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
D
[解析]　M、N两点电势相等，电场线由上到下，NP在同一电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，则M点电势高于P点，A错误；
M点电场线分布比N点密集，可知M点的电场强度比N点的大，B错误；
负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，C错误，D正确。
　　　(2025·河南卷，T4)如图所示，在与纸面平行的匀强电场
中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别
位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电
场的方向，则正确的是(　　)
C
C
　考向2　电场中的功能关系
　　　(2025·云南卷，T4)某介电电泳实验使用非匀强电场，
该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于
电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
[解析]　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等，则题图中的等势线为等差等势线，由题图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误；
一个电子从b点移动到c点的过程，电场力做功Wbc＝qUbc，又q＝－e、Ubc＝φb－φc，代入数据解得Wbc＝2 eV，C正确；
同理，一个电子从a点移动到d点的过程，电场力做功Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。
D
根据电场线的疏密程度可判断P点场强小于C点场强，B错误；
电子b由P到Q过程，仅电场力对电子做负功，电子电势能增大，动能减小，C错误；
由题意知，|CQ|＝2|BP|，且离圆心O越远，场强越小，由U＝Ed，可得CQ之间的电势差小于2U，电子从A经P到Q全程克服电场力做的功小于2eU，D正确。
判断电场中“三线”综合问题的思维程序
命题点3　
电容和带电粒子在电场中的运动
03
　考向1　电容器的分析
　　　(2025·黑吉辽蒙卷，T4)如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
D
　考向2　带电粒子在电场中的运动
　　　(2025·河南卷，T13)流式细胞仪可对不同类型的细
胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或
B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液
滴质量均为m＝2.0×10－10 kg。当液滴穿过激光束、充电
环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负
电荷，电荷量均为q＝1.0×10－13 C。随后，液滴以v＝
2.0 m/s的速度竖直进入长度为l＝2.0×10－2 m的电极板
间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E＝2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h＝0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
[答案]　5.0×10－3 m　
(2)A、B细胞收集管的间距。
液滴在水平方向上匀速运动的距离
x2＝vxt2＝5.0×10－2 m
则A、B细胞收集管之间的距离
d＝2x1＋2x2＝0.11 m。
[答案]　0.11 m
命题点4　电场中的力电综合问题
04
　　　(2025·江苏卷，T13)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
　　　(2025·四川成都市二诊)如图所示，竖直面内的光滑绝缘圆弧轨道AB与足够长的粗糙水平地面BC平滑连接，B点在圆心O点正下方，轨道半径R＝2.5m，∠AOB＝53°，整个空间存在竖直向上、大小E＝400 V/m的匀强电场。一个质量m＝1 kg、电荷量q＝2.0×10－2 C的带正电小滑块P，从轨道A点静止释放，经过B点后立即与另一个质量M＝0.25 kg、不带电的静止小滑块Q发生弹性碰撞(碰撞过程不发生电荷转移，且碰撞时间极短)。已知P、Q与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，P、Q均可视为质点。求：
(1)P到达圆轨道B点(与Q碰前)的速度大小vB；
[答案]　2 m/s　
(2)P到达圆轨道B点(与Q碰前)对轨道的压力大小FB；
[答案]　3.6 N　
(3)P、Q碰后的最大距离dm。
[答案]　0.5 m
模型分类 模型示例 模型分析
电场力 方向与 重力方 向相反
小球带正电，qE＝mg，小球在竖直面内做匀速圆周运动
小球带正电，qE>mg，小球在竖直面内做圆周运动的等效最低点为C点
小球带正电，qE模型分类 模型示例 模型分析
电场力方向与重力方向垂直
小球带正电，qE＝mg，小球在竖直面内做圆周运动的等效最低点为F点(共25张PPT)
复习效果自测
1.(2025·海南卷，T2)带正电的金属球靠近不带电验电器金属
小球a，则关于验电器金属小球a和金属箔b，下列说法正确的
是(　　)
A．a、b都带正电 B．a、b都带负电
C．a带负电、b带正电 D．a带正电、b带负电
解析：由题图可知，验电器本来不带电，正金属球靠近不带电验电器金属小球a，使得金属球a带负电荷，从而导致金属箔b带上正电荷。
C
D
3.(2025·广西卷，T4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻
璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图所示。图中a、b、
c、d四点电场强度最强的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：带电玻璃棒与金属球接触后，金属球带电，金属箔与金属球通过导体棒连接，金属箔与金属球带同种电荷；净电荷在尖锐的地方聚集，因此d点的电荷聚集最多，电场强度最强，A、B、C错误，D正确。
D
4．(多选)(2025·广州市普通高中检测)如图，无限长均匀带正电的绝缘细杆穿过立方体区域中心O，且与其上下表面垂直。M、N、P、Q为立方体区域的顶点，则(　　)

A．M点电场强度沿OM方向
B．P、Q两点电场强度大小相等
C．P、Q两点的电势相等
D．将电子从P点移动至N点，电场力做负功
BC
解析：无限长均匀带正电的细杆产生的电场方向垂直于细杆，并沿径向向外辐射，即垂直于细杆的方向，故M点电场强度不沿OM方向，A错误；
P和Q是立方体区域的顶点，且相对于细杆对称分布，由于细杆无限长且均匀带电，在距离细杆相同距离的点上的电场强度大小相等，电势相等，因此，P和Q两点的电场强度大小相等，电势相等，B、C正确；
由上述分可知，P、N两点到细杆距离相等，电势相等，故将电子从P点移动至N点，电场力不做功，D错误。
5．(2025·天河区综合测试)在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示，A、B两个带电球之间产生非匀强电场，茶叶、茶梗都带正电荷，且茶叶的比荷小于茶梗的比荷，两者通过静电场便可分离，并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗P从A球表面O点离开，最后落入桶底。不计空气阻力，则(　　)
A．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶
B．M处的电场强度大于N处的电场强度
C．M处的电势低于N处的电势
D．茶梗P下落过程中电势能减小
D
电场线分布的密集程度表示电场强弱，M处电场线分布比N处电场线稀疏一些，则M处电场强度小于N处电场强度，且沿着电场线方向电势降低，则M处的电势高于N处的电势，故B、C错误；
茶梗P下落过程中电场力做正功，则其电势能减小，故D正确。
6.(2025·北京卷，T8)某小山坡的等高线如图，M表示山
顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、
右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考
虑阻力，则(　　)
A．小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B．小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
D
解析：等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得a＝g sin θ(θ为坡面与水平面的夹角)，MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时的加速度比沿着MA运动时的加速度大，A错误；
A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒定律，可知小球分别运动到A、B点时速度大小相同，B错误；
等势线越密集，电场强度越大，B点等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误；
等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。
A
8．(2025·佛山市质检)电鳗可以通过放电来捕食和自我保护，如图所示，静息时电鳗细胞不带电，捕食时电鳗通过神经元控制细胞膜消耗ATP中的能量来交换细胞内外的钠离子和钾离子(平均每3个钠离子运出细胞，就会有2个钾离子运进细胞)，使得细胞内带负电。每个细胞内外产生150 mV的电压，大量带电细胞串联后电鳗头尾间电势差可以达到几百伏，并通过体外海水放电形成的强电流来击杀猎物。在电鳗放电过程中，以下说法正确的是(　　)
A．电鳗周围的海水中的正离子电势能减小，
负离子电势能增加
B．电鳗周围的海水中的正离子电势能增加，
负离子电势能减小
C．从带电细胞内运出的钠离子，其电势能增加
D．从带电细胞外运进的钾离子，其电势能增加
C
解析：在电鳗放电过程中，电鳗带负电，海水中的正离子向电鳗处移动，电场力做正功，电势能减小，而负离子向相反方向移动，电场力仍然做正功，电势能减小，故A、B错误；
从带电细胞内运出的钠离子，电场力做负功，其电势能增加，故C正确；
从带电细胞外运进的钾离子，电场力做正功，其电势能减小，故D错误。
9.(2025·重庆卷，T5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在
电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于
OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子
a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为1∶2
D
带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误；
沿电场方向，由公式vy＝at可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为2∶1，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误；
带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1，则所用时间之比为1∶2，故D正确。
10．(2025·黑吉辽蒙卷，T7)如图，光滑绝缘水平面AB与
竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径
为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘
弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A．EkAC．EkAC
11.(2025·广西南宁市第二次适应考试)如图所示，光滑绝缘细杆
竖直固定在M、N两点连线的中垂线上，A、B是细杆上的两个
点，在M、N两点分别固定一负点电荷，电荷量均为Q，且
AB＝MB＝NB＝MN＝L。质量为m、电荷量为q(q Q)的带正
电小球套在杆上，小球从A点无初速度下滑到B点时的速度大小为v。静电力常量为k，重力加速度大小为g。求：
(1)B点电场强度的大小；
(2)A、B两点的电势差。1.(2025·海南卷，T2)带正电的金属球靠近不带电验电器金属小球a，则关于验电器金属小球a和金属箔b，下列说法正确的是(　　)
A．a、b都带正电
B．a、b都带负电
C．a带负电、b带正电
D．a带正电、b带负电
解析：选C。由题图可知，验电器本来不带电，正金属球靠近不带电验电器金属小球a，使得金属球a带负电荷，从而导致金属箔b带上正电荷。
2.(2025·辽宁辽阳市一模)如图所示，A、B、C为真空中边长为L的正三角形的三个顶点，D为AB中点，在A、B两点各固定一个电荷量为＋q的点电荷，在C点固定一个电荷量为＋3q的点电荷，静电力常量为k，则D点的电场强度大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D。A、B两点的点电荷在D点的电场强度大小相等，方向相反，即A、B两点的点电荷在D点的合电场强度为零，则D点的电场强度大小E＝k eq \f(3q,r) ，根据几何关系可得rCD＝L sin 60°，联立可得D点的电场强度大小E＝。
3.(2025·广西卷，T4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图所示。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：选D。带电玻璃棒与金属球接触后，金属球带电，金属箔与金属球通过导体棒连接，金属箔与金属球带同种电荷；净电荷在尖锐的地方聚集，因此d点的电荷聚集最多，电场强度最强，A、B、C错误，D正确。
4．(多选)(2025·广州市普通高中检测)如图，无限长均匀带正电的绝缘细杆穿过立方体区域中心O，且与其上下表面垂直。M、N、P、Q为立方体区域的顶点，则(　　)
A．M点电场强度沿OM方向
B．P、Q两点电场强度大小相等
C．P、Q两点的电势相等
D．将电子从P点移动至N点，电场力做负功
解析：选BC。无限长均匀带正电的细杆产生的电场方向垂直于细杆，并沿径向向外辐射，即垂直于细杆的方向，故M点电场强度不沿OM方向，A错误；P和Q是立方体区域的顶点，且相对于细杆对称分布，由于细杆无限长且均匀带电，在距离细杆相同距离的点上的电场强度大小相等，电势相等，因此，P和Q两点的电场强度大小相等，电势相等，B、C正确；由上述分可知，P、N两点到细杆距离相等，电势相等，故将电子从P点移动至N点，电场力不做功，D错误。
5．(2025·天河区综合测试)在茶叶生产过程中有道茶叶、茶梗分离的工序。如图所示，A、B两个带电球之间产生非匀强电场，茶叶、茶梗都带正电荷，且茶叶的比荷小于茶梗的比荷，两者通过静电场便可分离，并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗P从A球表面O点离开，最后落入桶底。不计空气阻力，则(　　)
A．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶
B．M处的电场强度大于N处的电场强度
C．M处的电势低于N处的电势
D．茶梗P下落过程中电势能减小
解析：选D。根据牛顿第二定律可得a＝，由于茶叶、茶梗均带正电，则电场力产生的加速度方向整体向右，由于茶叶的比荷小于茶梗的比荷，则茶叶所受电场力产生的加速度小于茶梗所受电场力产生的加速度，即在相等时间内，茶叶的水平分位移小于茶梗的水平分位移，所以茶叶落入左桶，茶梗落入右桶，故A错误；电场线分布的密集程度表示电场强弱，M处电场线分布比N处电场线稀疏一些，则M处电场强度小于N处电场强度，且沿着电场线方向电势降低，则M处的电势高于N处的电势，故B、C错误；茶梗P下落过程中电场力做正功，则其电势能减小，故D正确。
6.(2025·北京卷，T8)某小山坡的等高线如图，M表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则(　　)
A．小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B．小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
解析：选D。等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得a＝g sin θ(θ为坡面与水平面的夹角)，MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时的加速度比沿着MA运动时的加速度大，A错误；A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒定律，可知小球分别运动到A、B点时速度大小相同，B错误；等势线越密集，电场强度越大，B点等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误；等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。
7.(2025·江苏卷，T9)如图所示，平行金属板与电源连接。一点电荷由a点移动到b点的过程中，电场力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动，使两板间距离增大为原来的2倍，再将该电荷由a移动到b的过程中，电场力做功为(　　)
A． B．W
C．2W D．4W
解析：选A。两金属板与电源相连，则两板间电势差U不变，设两板间距离为d，a、b两点沿电场方向的距离为x，两板移动前将点电荷从a移动到b，电场力做功W＝q·U，当两板间距离增大到原来的2倍时，再将该电荷从a移动到b，电场力做功W′＝q·U＝W，A正确。
8．(2025·佛山市质检)电鳗可以通过放电来捕食和自我保护，如图所示，静息时电鳗细胞不带电，捕食时电鳗通过神经元控制细胞膜消耗ATP中的能量来交换细胞内外的钠离子和钾离子(平均每3个钠离子运出细胞，就会有2个钾离子运进细胞)，使得细胞内带负电。每个细胞内外产生150 mV的电压，大量带电细胞串联后电鳗头尾间电势差可以达到几百伏，并通过体外海水放电形成的强电流来击杀猎物。在电鳗放电过程中，以下说法正确的是(　　)
A．电鳗周围的海水中的正离子电势能减小，负离子电势能增加
B．电鳗周围的海水中的正离子电势能增加，负离子电势能减小
C．从带电细胞内运出的钠离子，其电势能增加
D．从带电细胞外运进的钾离子，其电势能增加
解析：选C。在电鳗放电过程中，电鳗带负电，海水中的正离子向电鳗处移动，电场力做正功，电势能减小，而负离子向相反方向移动，电场力仍然做正功，电势能减小，故A、B错误；从带电细胞内运出的钠离子，电场力做负功，其电势能增加，故C正确；从带电细胞外运进的钾离子，电场力做正功，其电势能减小，故D错误。
9.(2025·重庆卷，T5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A．具有不同比荷
B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N的速度大小相等
D．到达K所用时间之比为1∶2
解析：选D。根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿题图中所示轨迹同时到达M、N点可知，运动时间相等，沿初速度方向位移之比为2∶1，则初速度之比为2∶1，沿电场方向的位移大小相等，由y＝at2可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有qE＝ma，可得＝，可知带电粒子具有相同比荷，故A错误；带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误；沿电场方向，由公式vy＝at可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为2∶1，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误；带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1，则所用时间之比为1∶2，故D正确。
10．(2025·黑吉辽蒙卷，T7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A．EkAC．EkA解析：选C。根据题意可知物块在A、B、C三点时弹簧的弹性势能相等，从A点到B点的过程，电场力做正功，重力不做功，根据动能定理可知EkB－EkA＝qE＝2mgr，从B点到C点的过程，电场力不做功，重力做负功，根据动能定理可知EkC－EkB＝－2mgr，则EkC－EkA＝(2－2)mgr，所以有EkA11.(2025·广西南宁市第二次适应考试)如图所示，光滑绝缘细杆竖直固定在M、N两点连线的中垂线上，A、B是细杆上的两个点，在M、N两点分别固定一负点电荷，电荷量均为Q，且AB＝MB＝NB＝MN＝L。质量为m、电荷量为q(q Q)的带正电小球套在杆上，小球从A点无初速度下滑到B点时的速度大小为v。静电力常量为k，重力加速度大小为g。求：
(1)B点电场强度的大小；
(2)A、B两点的电势差。
解析：(1)电荷M、N在B点产生的电场强度大小相等，根据点电荷电场强度的表达式有
E1＝E2＝k
根据矢量合成有E＝2E1cos 30°
解得E＝。
(2)小球从A到B，根据动能定理有
mgL＋W＝mv2
所示过程电场力做功W＝qUAB
解得UAB＝－。
答案：(1)　(2)－专题九　电场和带电粒子(体)在电场中的运动
[考情分析]
高考命题点 高考广东卷 其他高考卷(供参考)
1.电场力的性质 广西卷 T4，海南卷 T2，河北卷 T8，湖南卷 T5、8，山东卷 T11，湖北卷 T10，陕晋青宁卷 T1　 河北卷T7，河北卷T2，新课标卷T18，江西卷T1，江苏卷T1　 海南卷T8，湖南卷T5，重庆卷T3
2.电场能的性质 广东卷T8， 广东卷T9 北京卷 T8，福建卷 T4，甘肃卷 T5，河北卷 T1，河南卷 T4，山东卷 T11，四川卷 T3，云南卷 T4　 湖北卷T8，甘肃卷T9，福建卷T11　 北京卷T8，福建卷T10，海南卷T12，河北卷T9，山东卷T11，辽宁卷T9，湖北卷T3，天津卷T8
3.电容和带电粒子在电场中运动 广东卷T6 甘肃卷 T7，河南卷 T13，江苏卷 T9，湖南卷 T14，重庆卷 T5，四川卷 T13，黑吉辽蒙卷 T4　 黑吉辽卷T5，海南卷T12，甘肃卷T7　 北京卷T19，湖北卷T10
4.电场中的力电综合问题 广东卷T15 江苏卷 T13，安徽卷 T10，黑吉辽蒙卷 T7，广西卷 T14，陕晋青宁卷 T15　 河北卷T13，黑吉辽卷T6，山东卷T10，江西卷T10　 福建卷T16，新课标卷T25
命题点1　电场力的性质
考向1　电场力和电场的叠加
　(多选)(2025·河北卷，T8)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
[解析]　C先跟A接触后，两者电荷量均变为q1＝，C再跟B接触后，两者电荷量均变为q2＝＝，此时A、B之间静电力大小仍为F＝，则有F＝＝，解得＝1或Q＝－5q，则Q∶q的绝对值可能是1或者5，故A、D正确。
[答案]　AD
　(多选)(2025·湖北卷，T10)如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R，在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　)
A．方向沿x轴负方向
B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C．大小为(cos 54°＋cos 18°)
D．大小为(2cos 54°＋cos 18°)
[解析]　5个点电荷分别在O点产生的场强方向如图所示，由几何关系可知θ1＝18°，θ2＝54°，将5个场强沿x、y轴分解可得Ex＝E1cos 54°＋E2cos 18°－E4cos 18°－E5cos 54°＝－(2cos 54°＋cos 18°)，Ey＝E1sin 54°＋E5sin 54°－E4sin 18°－E2sin 18°－E3＝＝0，根据场强叠加原理可知O点电场强度方向沿x轴负方向，大小为(2cos 54°＋cos 18°)，A、D正确。
[答案]　AD
特殊电场强度的求解方法
常用方法 解题技巧 示例
对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化
补偿法 将有缺口的带电圆环补为完整圆环，或将半球面补为完整球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想
微元法 将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据点电荷场强公式求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强
等效法 利用等效思维方法处理问题时，关键是确定等效电荷的电荷量及其位置
考向2　电场中的平衡问题
　(2025·湖南卷，T5)如图所示，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为60°，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．A球静止时，轻绳上拉力为2mg
B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为2mg
C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g
D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小
[解析]　对小球A受力分析，其受重力、轻绳的拉力以及B的库仑引力，如图所示，根据力的平衡条件得F库＝T cos 30°＋mg cos 30°，T sin 30°＝mg sin 30°，解得T＝mg，F库＝mg，A、B错误；剪断轻绳前，小球A所受合力为零，库仑力与重力的合力与轻绳拉力等大反向，即库仑力与重力的合力大小为mg，剪断轻绳后瞬间，绳子拉力消失，库仑力与重力均不变，则小球A所受合力大小为mg，由牛顿第二定律得小球A的瞬时加速度大小a＝g，C正确；由于剪断轻绳前后瞬间，B球的受力不变，且状态不变，因此轻杆对B球的作用力不变，D错误。
[答案]　C
命题点2　电场能的性质
考向1　电场能的性质的理解
　(2025·甘肃卷，T5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的低
B．M点的电场强度比N点的小
C．负电荷从M点运动到P点，速度增大
D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
[解析]　M、N两点电势相等，电场线由上到下，NP在同一电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，则M点电势高于P点，A错误；M点电场线分布比N点密集，可知M点的电场强度比N点的大，B错误；负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，C错误，D正确。
[答案]　D
　(2025·河南卷，T4)如图所示，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
[解析]　匀强电场中任一线段上电势均匀变化，设ac中点为d，d点处的电势φd＝＝4 V＝φb，连接bd即为等势线，如图所示，由几何关系可知ac垂直于bd，因电场线方向垂直于等势线且从高电势指向低电势，则a点电场的方向如图所示，C正确。
[答案]　C
考向2　电场中的功能关系
　(2025·云南卷，T4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
[解析]　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等，则题图中的等势线为等差等势线，由题图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误；一个电子从b点移动到c点的过程，电场力做功Wbc＝qUbc，又q＝－e、Ubc＝φb－φc，代入数据解得Wbc＝2 eV，C正确；同理，一个电子从a点移动到d点的过程，电场力做功Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。
[答案]　C
　(2025·福建卷，T4)某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，电子恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知B、P两点间的电势差为U，|CQ|＝2|BP|，电子a入射动能为Ek，电子所带的电荷量为－e，则(　　)
A．B点的电场强度E＝
B．P点场强大于C点场强
C．电子b在P点的动能小于在Q点的动能
D．电子b全程克服电场力做的功小于2eU
[解析]　由题意知，电子沿做圆周运动，由电场力提供向心力，有Ee＝m，又Ek＝，联立解得E＝，A错误；根据电场线的疏密程度可判断P点场强小于C点场强，B错误；电子b由P到Q过程，仅电场力对电子做负功，电子电势能增大，动能减小，C错误；由题意知，|CQ|＝2|BP|，且离圆心O越远，场强越小，由U＝Ed，可得CQ之间的电势差小于2U，电子从A经P到Q全程克服电场力做的功小于2eU，D正确。
[答案]　D
判断电场中“三线”综合问题的思维程序
命题点3　电容和带电粒子在电场中的运动
考向1　电容器的分析
　(2025·黑吉辽蒙卷，T4)如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
[解析]　电容C＝＝，解得极板间电势差U＝，电容器充电后断开电源，所带电荷量不变，则Q不变，F较小时，随F的增大，极板间距d减小，且减小得越来越慢，则U减小，且减小得越来越慢，F较大时，极板间距d难以减小，则U难以减小，D正确。
[答案]　D
考向2　带电粒子在电场中的运动
　(2025·河南卷，T13)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液滴质量均为m＝2.0×10－10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为q＝1.0×10－13 C。随后，液滴以v＝2.0 m/s的速度竖直进入长度为l＝2.0×10－2 m的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E＝2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h＝0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B细胞收集管的间距。
[解析]　(1)液滴在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律得，液滴在水平方向的加速度大小
a＝＝＝100 m/s2
液滴在竖直方向上做匀速直线运动，通过电场的时间
t1＝＝1.0×10－2 s
液滴离开电场时在水平方向加速偏转的距离
x1＝at＝5.0×10－3 m。
(2)液滴离开电场时水平方向上的速度大小
vx＝at1＝1.0 m/s
带正、负电荷的液滴离开电场后做匀速直线运动，分别到达A、B收集管，运动的时间
t2＝＝0.05 s
液滴在水平方向上匀速运动的距离
x2＝vxt2＝5.0×10－2 m
则A、B细胞收集管之间的距离
d＝2x1＋2x2＝0.11 m。
[答案]　(1)5.0×10－3 m　(2)0.11 m
命题点4　电场中的力电综合问题
[近3年12卷12考]
　(2025·江苏卷，T13)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
[解析]　(1)带电粒子在匀强电场中做类抛体运动，粒子a的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上加速度大小为a的匀变速直线运动，在竖直方向上有
qE＝ma
v0sin θ＝at
解得t＝。
(2)水平方向上，a、b均以v0cos θ做匀速直线运动，竖直方向上，规定向上为正方向，b以－v0sin θ为初速度，以－a为加速度做匀加速直线运动
竖直方向上，粒子a的位移ya＝v0sin θ·t－at2
粒子b的位移yb＝－v0sin θ·t－at2
H＝ya－yb
解得H＝ eq \f(2mvsin2θ,qE) 。
[答案]　(1)　(2) eq \f(2mvsin2θ,qE)
　(2025·四川成都市二诊)如图所示，竖直面内的光滑绝缘圆弧轨道AB与足够长的粗糙水平地面BC平滑连接，B点在圆心O点正下方，轨道半径R＝2.5m，∠AOB＝53°，整个空间存在竖直向上、大小E＝400 V/m的匀强电场。一个质量m＝1 kg、电荷量q＝2.0×10－2 C的带正电小滑块P，从轨道A点静止释放，经过B点后立即与另一个质量M＝0.25 kg、不带电的静止小滑块Q发生弹性碰撞(碰撞过程不发生电荷转移，且碰撞时间极短)。已知P、Q与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，P、Q均可视为质点。求：
(1)P到达圆轨道B点(与Q碰前)的速度大小vB；
(2)P到达圆轨道B点(与Q碰前)对轨道的压力大小FB；
(3)P、Q碰后的最大距离dm。
[解析]　(1)从A到B的过程由动能定理得
mgR(1－cos 53°)＋(－qE)R(1－cos 53°)＝mv－0
解得vB＝2 m/s。
(2)设小滑块P经过B时，其受到轨道的支持力为N，则
N＋qE－mg＝m eq \f(v,R)
由牛顿第三定律得FB＝N
解得FB＝3.6 N。
(3)设水平向右为正方向，P、Q碰撞后的速度分别为v1、v2，由弹性碰撞得mvB＝mv1＋Mv2
mv＝mv＋Mv
解得v1＝1.2 m/s　v2＝3.2 m/s
设P、Q碰撞后在水平地面上的加速度大小分别为a1、a2，则μ(mg－qE)＝ma1，μMg＝Ma2
假设碰后经过t时间达到共同速度v共，由运动学公式得
v共＝v1－a1t＝v2－a2t
由分析可得v共>0，说明共速时P、Q均未停止，假设成立，则P、Q碰后的最大距离dm＝t－t
解得dm＝0.5 m。
[答案]　(1)2 m/s　(2)3.6 N　(3)0.5 m
模型分类 模型示例 模型分析
电场力方向与重力方向相反 小球带正电，qE＝mg，小球在竖直面内做匀速圆周运动
小球带正电，qE>mg，小球在竖直面内做圆周运动的等效最低点为C点
小球带正电，qE电场力方向与重力方向垂直 小球带正电，qE＝mg，小球在竖直面内做圆周运动的等效最低点为F点

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