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第十九章　二次根式
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各式中,是二次根式的是 (　　)
A. B. C. D.
2.当x=-3时,下列各式无意义的是 (　　)
A. B. C. D.
3.若·,则x的取值范围是 (　　)
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
4.在二次根式,,,,中,最简二次根式有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.按如图所示的运算程序,若输入数字“9”,则输出的结果是 (　　)
A.7 B.11-6 C.1 D.11-3
6.下列各式中,不能与合并的是 (　　)
A. B. C. D.
7.下列各式计算正确的是 (　　)
A.6-2=4 B.5+2=5
C.2×3=6 D.6÷3=2
8.设=a,=b,用含a,b的式子表示,则下列表示正确的是(　　)
A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b
9.把x根号外的因式移到根号内,得 (　　)
A. B. C.- D.-
10.已知≈1.414,则计算结果的近似值为 (　　)
A.7.070 B.5.656 C.4.242 D.2.828
11.已知一等腰三角形的周长为12,其中一边长为2,则这个等腰三角形的腰长为 (　　)
A.2 B.5 C.2或5 D.无法确定
12.如图,将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为π、宽为π的长方形,若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆,则该圆的面积是 (　　)
A.12π B.18π C.24π D.36π
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　　　.
14.规定一种新运算:a b=a2-b,如3 2=32-×2=9-2,则(2-1) =　　　　.
15.已知y=,则x2 026y2 026=　　　　.
16.如图,在一个长方形中放入面积分别为48 cm2和3 cm2的两张正方形纸片,两张正方形纸片不重叠、无缝隙,则图中阴影部分的面积为　　　　cm2.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)计算:
(1)2-6+3.
(2).
18.(8分)有一个填数游戏:在“□×2”中的“□”内填入数,然后计算结果.
(1)淇淇填入的数是,下面是她的计算过程:
×2
=2 ………… ①
=2-8 ……………………… ②
=6-8. ……………………… ③
老师认为淇淇的解法有错,请你指出:淇淇是从第　　　　步开始出错的,正确的结果应该是　　　　.
(2)若原式的计算结果为0,求“□”里填入的数.
19.(8分)已知x=+3,y=-3.
(1)求x2-6x+5的值.
(2)求的值.
20.(8分)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠、无缝隙),如图2和图3所示,其面积分别为S1,S2.
图1　　 图2
图3
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2;当a=时,求S1+S2的值.
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
21.(9分)如图,某校有一块形状为正方形的绿地,其边长为(+2)m,现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛,每个花坛的长为(+1)m,宽为(-1)m,除去修建花坛的地方,其他地方全部修建成通道.
(1)求通道的总面积.
(2)若要在通道上铺设造价为8元/m2的地砖,如果要铺完整个通道,那么购买地砖需要花费多少元 (参考数据:≈1.41)
22.(9分)阅读理解:∵1<2<4,∴1<<2.∴的整数部分是1.将这个数减去其整数部分,差就是小数部分,即-1.类似地,∵2<<3,∴-2.
解决问题:
(1)初步运用:的整数部分是　　　　,小数部分是　　　　.
(2)综合拓展:如果的小数部分为a,的整数部分为b,求a+2b-的值.
23.(11分)观察下列等式:
第1个等式:=2;
第2个等式:=2;
第3个等式:=4;
……
请根据上述规律,解答下列问题:
(1)直接写出第5个等式.
(2)猜想第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
(3)若,求的值.
24.(12分)阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:3+2=(1+)2,善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有
a+b=m2+2n2+2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.
这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=　　　　,
b=　　　　.
(2)利用所探索的结论,找一组正整数填空:　　　　+　　　 =(　　　　+　　　 )2.
(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
【详解答案】
1.C　解析:A.被开方数是负数,无意义;B.是3次根式;D.没有a的取值范围,不能保证被开方数是非负数.故选C.
2.C　解析:当x=-3时,x+2=-3+2=-1,故无意义.故选C.
3.A　解析:根据题意,得x≥0且x-6≥0.解得x≥6.故选A.
4.A　解析:∵,=4,
是最简二次根式,,|x|,∴最简二次根式有1个.故选A.
5.A　解析:9÷3-=3->1,(3-)×(3+)=9-2=7.故选A.
6.D　解析:,A.=2,能与合并,故A不符合题意;B.,能与合并,故B不符合题意;C.=5,能与合并,故C不符合题意;D.,不能与合并,故D符合题意.故选D.
7.C　解析:A.6-2=4,原计算错误,不符合题意;B.5与2不能合并,原计算错误,不符合题意;C.2×3=6,原计算正确,符合题意;D.6÷3=2,原计算错误,不符合题意.故选C.
8.A　解析:∵a=,b=,∴ab=,∴=0.3×=0.3ab.故选A.
9.D　解析:∵有意义,∴-x≥0,∴x≤0,∴原式=-=-.故选D.
10.B　解析:=2+3=4,∵≈1.414,∴原式=4≈5.656.故选B.
11.B　解析:由题意知,有以下两种情况:①当腰长为2时,则底边长为12-2×2=8,∵2+2=4<8,∴此时不能构成三角形,舍去.②当底边长为2时,则腰长为=5,∵2+5=7>5,∴此时能构成三角形.∴这个等腰三角形的腰长为5.故选B.
12.B　解析:∵这根铁丝的周长为2(π+π)=6π,∴若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆,则该圆的半径为=3.∴该圆的面积为(3)2π=18π.故选B.
13.x≥3　解析:根据题意,得x-3≥0,且x+2≠0.解得x≥3.
14.21-6　解析:∵a b=a2-b,
∴(2-1) =(2-1)2-=20-4+1-2=21-6.
15.1　解析:由题意,得解得x=2.∴y==-.
∴x2 026y2 026=(xy)2 026=-×22 026=(-1)2 026=1.
16.9　解析:依题意,得两个正方形纸片的边长分别为=4 cm和 cm,则阴影部分的面积为(4)×=3=9(cm2).
17.解:(1)原式=4-2+12=14.
(2)原式==-=-4.
18.解:(1)②　4
(2)设“□”里填入的数为x,
则2x-=0,
解得x=,
即“□”里填入的数为.
19.解:(1)由条件可知x2-6x+5=(x-3)2-4=(+3-3)2-4=7-4=3.
(2)由条件可知x+y=+3+-3=2,xy=(+3)(-3)=7-9=-2,
∴=-.
20.解:(1)依题意,得S甲=a2,S乙=a,S丙=1.
∴S1=S甲+3S乙+2S丙=a2+3a+2,S2=5S乙+S丙=5a+1.
∴S1+S2=(a2+3a+2)+(5a+1)=a2+8a+3.
当a=时,S1+S2=()2+8×+3=5+8.
(2)S1>S2.理由如下:
∵S1=a2+3a+2,S2=5a+1,
∴S1-S2=(a2+3a+2)-(5a+1)=a2-2a+1=(a-1)2.
∵a>1,∴S1-S2=(a-1)2>0.
∴S1>S2.
21.解:(1)由题意,得通道的总面积为
(+2)2-4(+1)(-1)=50+4+4-4×6=(30+20)(m2).
(2)由(1)可知,通道的总面积为(30+20)m2,
∴购买地砖需要花费8×(30+20)=240+160≈240+160×1.41=465.6(元).
答:购买地砖需要花费465.6元.
22.解:(1)5　-5
(2)∵121<143<144,
∴11<<12.
∴的整数部分是11,小数部分是-11,即a=-11.
∵36<43<49,
∴6<<7.
∴的整数部分是6,即b=6.
∴a+2b--11+2×6-=1.
23.解:(1)第5个等式为=2.
(2)猜想第n个等式为=2.
证明:∵等式左边=
=
2=等式右边,
∴=2.
(3)∵=2,
∴=2,
∴a=507,b=505,
∴=2.
24.解:(1)m2+3n2　2mn
(2)(答案不唯一)16　8　2　2
(3)由(1)得4=2mn,∴mn=2,
∵m,n均为正整数,
∴m=1,n=2或m=2,n=1.
当m=1,n=2时,
a=m2+3n2=12+3×22=13;
当m=2,n=1时,
a=m2+3n2=22+3×12=7.
综上,a的值为13或7.

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