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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第六章空间与图形
6.2 图形的相似
比例的性质与黄金分割 比 例 的 性 质 1.线段的比；两条线段长度的比叫做这两条线段的比(注意：求两条线段的比时必须统一单位). 2.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果 那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 3.黄金分割;若线段AB上一点 C 把线段 AB 分成两条线段AC 与BC(AC>BC),如果 这时称点C 是AB 的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为 4.比例的性质 若 ，则 ad= b c；若 ad= b c,且b d≠0,则 (基本性质)； (反比性质)； 或 (更比性质)； (合比性质)； (分比性质)； (合分比性质)； 0)(等比性质).
平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).如图(1),AB∥CD∥EF,则 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.如图(2)所示，
相似三角形的性质与判定(含相似多边形) 相似三角形的性质与判定 定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比
性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
判定 (1)三边成比例的两个三角形相似； (2)平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似； (5)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例的两个三角形相似.
位似 1.定义 两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. 2.性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比. 3.画位似图形的步骤 【注意】 1.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. 2.以原点为位似中心的两个位似图形，如果相似比为k,那么点(a,b)的对应点的坐标为(k a，k b)(位似图形与原图形在原点的同侧)或(-k a，-k b)(位似图形与原图形在原点的异侧).
■考点一　成比例线段
◇典例1：下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ）
A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15
【答案】C
【解析】【解答】解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项符合题意；
D．，故该选项不符合题意．
故选C．
【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可．
◆变式训练
1.下列结论中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若
【答案】C
【解析】【解答】解： 由，设，，
代入，，
∴等式成立，故A正确，不符合题意；
由，两边乘得，
整理得，
即，故B正确，不符合题意；
仅说明与的比为，
但，并非唯一解（如，也满足），
原结论错误，故C错误，符合题意；
∵，，，，
∴（因，即），故D正确，不符合题意；
故选：C
【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
2.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查比例性质，分式求值等．根据题意可得，再根据比例性质即可得到本题答案．
■考点二 平行线分线段成比例
◇典例2：如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵，，
∴，四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
故选项B正确，符合题意；
∵，
∴，
故选项C错误，不符合题意；
∵
∴，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
◆变式训练
1.如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在四边形中，，，
∴，
∴即，
解得．
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例解答．本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
2.如图，在中，于点，是边上的中线，过点作交于点，交于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理得，，
是边上的中点，，
、分别是、的中点，
，
故选：．
【分析】根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理计算即可．
■考点三 相似三角形的性质
◇典例3：将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】设，
是等腰直角三角形，且，
，
在中，，
，
，
，
即，
，
，
与的周长比为：．
故选：D．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于利用相似三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系，确定相似比，进而求出周长比．先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比即可．
◆变式训练
1.如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，则，然后代入求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2.如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，的周长为，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解．
■考点四 相似三角形的判定
◇典例1：如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在和中，，
A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确；
B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确；
C、当时，其夹角不相等，则不能判断，故C不正确；
D、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故D正确；
故选：C．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
◆变式训练
1.如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使．
【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可．
2.在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图，
，
∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或，
∵，，，
∴或，
解得：或；
故答案为或．
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可．
■考点五 相似三角形的性质与判定
◇典例1：如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【解答】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识．
（1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明；
（2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案．
◆变式训练
1.如图，在中，，是边上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【解答】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可；
（2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
2.如图，在四边形中，平分，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是．
【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识．
（1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；
（2）由相似三角形的性质得，则，所以
■考点六 相似三角形的实际应用
◇典例1：小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，，，
∴，
米，米，米，
米，
该古城墙的高度是15米．
故选C．
【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度．
◆变式训练
1.如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作，，则四边形是矩形，
，，
，
，
由题意得∽，
，即，
，
，
故选：．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可．
2.如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：

(1)小明的影长
(2)旗杆的高度．
【解答】（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为．
∴小明的影长为；
（2）解：由题意可得：，，
∴，
∴，即，
∴米，
即旗杆的高度为米．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解；
（2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解．
■考点七 位似
◇典例1：如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点，
∴，，，
不能证明，
故选：D．
【分析】此题考查了位似图形的性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵与是以为位似中心的位似图形，，
∴与的相似比，
∴位似和的对应点的坐标的比等于，
∵，
∴对应点，即，
故选：B．
【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此计算即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ．
【答案】
【详解】解： ，，
，
与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键．
根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以．
■考点八 相似三角形的综合题
◇典例1：（2025·东莞模拟）综合与实践
【问题提出】
小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题．
下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？
【探究发现】
（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点．
①求的长．
②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示)
【拓展延伸】
（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点．
①已知，，求的值．
②求证：．
【答案】（1）①解：如图2，过作，交延长线于，过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
又于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；②；
（2）如图3，连接，
①平分，
，
，
，
，
；
②证明：，，
，
，
，
由①知：，
，
【解析】【解答】解：（1）②由①知：，，
F平分，
，
，由①知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：； ．
【分析】（1）①过作，交延长线于，过作于，则是底角为30°的等腰三角形，从而求出，再证明，得到，即，将，，代入解方程即可得解；
②利用角平分线的概念可表示出∠BAH，利用解直角三角形表示出AH、AG的长；再证明△GFB∽△AFC，利用相似三角形的性质，可表示出AF的长.
（2）①连接，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等分别得到，
，从而得到，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
②利用同弧所对的圆周角相等可证∠B=∠Q，∠BAP=∠PCQ，可证得，利用相似三角形的性质及（2）①的结论，可证得结论.
◆变式训练
1.（2025·东莞模拟）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法．
【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务．
【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，现测得，求出该圆的半径．
【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得
①判断直线与的位置关系，并说明理由；
②直接写出的半径为______
【答案】解：任务一四边形为矩形，，
为经过A，B，G三点的圆的直径，
∵，，
∴，
该圆的半径为；
任务二、①直线与的位置关系为与相切，理由：
连接，如图，
四边形为矩形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的半径，
与相切；
②
【解析】【解答】
解：②，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，，
由①知：，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
，
，
，
的半径为，
故答案为：.
【分析】
任务一：利用矩形的性质得， 由圆周角定理得到为经过A，B，G三点的圆的直径，再利用勾股定理，解答即可；
任务二：①连接，利用矩形的性质得到，从而得到，再结合已知条件判定得到， 再根据相似三角形的性质得到，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
②利用矩形的判定与性质得到，，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求得，，设的半径为，则，，利用勾股定理列出方程解答即可．
2.（2025·深圳三模）在数学活动课上，同学们探究利用正方形纸折出特殊角及利用特殊点折出对称图形，并进一步探究几何图形中线段的长度问题．如图1，在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点 B的对应点为点 E．
（1）【初步感知】当点E在的垂直平分线上时，求的度数；
（2）【探究应用】如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接．若，求的值．
【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵P 是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作于N，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
∴，
解得或（舍去），
∴．
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据折叠性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得，再根据折叠性质可得由折叠的性质可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点M作于N，连接，根据正方形性质可得，根据线段中点可得，再根据等边对等角可得，，再根据三角形中位线定理可得，根据等边对等角可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，化简可得，根据题意建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
■微专题七 相似三角形——模型1 正“A"字型
◇典例1：如图，在中，平分交于点D．
求证：．
【解答】证明：∵在中，，
．
平分，
．
，
．
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，结合平分，得，最后运用两组角分别相等的两个三角形是相似三角形，即可作答．
◆变式训练
1.如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【详解】【解答】解：∵，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据题意可得：，，求得进而得到，求得，即可求解．
2.在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接， ；
【答案】
【详解】【解答】解： 是等边三角形，，
，，
，，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】证明，利用相似三角形的面积等于相似比的平方求解即可．
■微专题七 相似三角形——模型2 正“8"字型
◇典例1：如图，已知与相交于点A，，若，，，则 ．

【答案】4
【详解】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：4．
【分析】证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
◆变式训练
1.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
■微专题七 相似三角形——模型3 一线三等角模型
◇典例1：（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：．
【解答】证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义，先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键．
◆变式训练
1.如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（ ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】【解答】解：为等边三角形，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
2.如图，是上的一个动点．当时，求证：．
【解答】证明：，
，
，
又，
，
，
．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握其判定方法是关键．根据题意可得，，根据两个角分别对应相等的两个三角形相似即可求证．
■微专题七 相似三角形——模型4 双垂直模型模型
◇典例1：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝2，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D．
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝4，BD＝2，
∴，
∵∠BAD+∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∴CD＝6，
故选：D．
【分析】先利用勾股定理求出，再证明△ABD∽△CAD，利用三角形相似的性质即可求出CD的长．
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴，
∴CD．
【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；
（2）根据已知易证△ACD∽△CBD，然后进行解答即可．
■微专题七 相似三角形——模型5 手拉手模型
◇典例1：如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
◆变式训练
1.如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接．
(1)求证：；
(2)若与相交于点，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键．
（1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证明，，从而可得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1．（2025·深圳模拟）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
，即，
解得：．
故选B．
【分析】本题主要对平行线等分线段定理进行考查．根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可列出，解得.
2．（2025·深圳模拟）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：
故选：C．
【分析】本题主要对黄金分割进行考查。黄金分割比为，根据此计算AP长为．
3．（2025·惠城模拟）如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，
∴与的面积之比是，
故选：B．
【分析】本题主要对位似图形的性质" 位似图形的面积之比等于位似比的平方"进行考查．
4．（2025·花都模拟）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】作，，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得AS的值，然后根据线段的和差AB=AS+BS可求解．
5．（2025·东莞模拟）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(　　)
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】如图，过作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，，
在四边形中，，
，
，
，
又∵点是的中点，
∴，
在Rt中，，
故答案为：B．
【分析】过作于点，利用矩形的性质可证得DO=BO，同时可求出AD、CD的长；再证明EM∥BC，可证得，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理可求出EF的长.
6．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是　 　.
【答案】1：3
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
7．（2025·广州）如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴△ADE∽△ABC
∴
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．（2025·龙湖模拟）如图，，是平行四边形的边上的两点，连接，交于点，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接．
，
．
的面积为，的面积为，
．
，
的面积为．
的面积为．
又的面积为，的面积为，四边形的面积为，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】连接．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，结合已知可求得三角形的面积，由平行四边形的性质可得S ABCD=2S△BOE，然后根据阴影部分的面积的构成可求解．
9．（2025·雷州模拟）如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为　 　（用含m，n的代数式表示）
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长到E，使得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
延长到E，使得．推出，证明，再证明，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
10．（2025·花都模拟）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习．
（1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米；
（2）如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度．
【答案】（1）12
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴电线杆的高度为10。
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：。
【分析】（1）根据平行线的性质，可得，易证，根据三角形相似的性质，可得，然后代入数据即可求解。
（2）根据，，易证，然后再根据相似三角形的性质，可得，代入数据，可推出，进而可得，，代入数据，分别求出BO和EB的值，同理，易证，得到，然后数据即可求解。
（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴电线杆的高度为10米．
11．（2025·广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
（1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
（2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，
∵为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
②∵，，
∴在的外接圆上运动，设的外接圆为
如图，设与交于点，连接，
∴
∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
又，则，
∴
∴
∴当为的直径时，取得最大值为
∴的最大值为
【解析】【分析】（1）根据对称性质作图即可，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②由题意可得在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，由题意可得：，根据圆周角定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，则当为的直径时，取得最大值为，即可求出答案.
1．（2025·东莞模拟）如图，，若，，则与的相似比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
与的相似比为.
故答案为：B．
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 即可由，得到相似比；解答即可．
2．（2025·东莞模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，米，
∴，
∴，
即两梯杆跨度、之间距离为米，
故选：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
3．（2025·衡东模拟）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（　　）
A．4 B． C．16 D．32
【答案】C
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且，
∴，且相似比为，
∴与的周长比为：，
∵的周长为8，
∴的周长为16．
故答案为：C．
【分析】根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可．
4．（2025·濠江模拟）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（　　）
A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4
【答案】D
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】
由于平行四边形对边平行且相等，则可证明，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
5．（2025·深圳模拟）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（　　）
A． B． C． D．6m
【答案】B
【解析】【解答】解：，
由题意得：，，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由线段的和差CP=BC+PB求出CP的值，再根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，然后由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合比例式即可求解．
6．（2025·顺德模拟）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：延长FG交AB于点H，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长FG交AB于点H，由正方形的性质得，，，，由二直线平行，同位角相等得∠AHF=∠ABC=90°，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形的对边相等得，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似，进而根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，求解可得答案.
7．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作OGCD交BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故选：D．
【分析】作OGCD交BC于点G，根据菱形性质可得BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，再根据平行线分线段定理可得 ，则BG＝CG＝ ，再根据三角形中位线定理可得GO＝CD＝，GOCD，再根据边之间的关系可得GE，根据直线平行性质可得∠ECF=∠EGO，再根据相似三角形判定定理可得△ECF∽△EGO，则 ，代值计算即可求出答案.
8．（2025·潮阳模拟）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的周长之比为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，，
∴与的位似比是．
∴与的相似比为，
∴与的周长比为，
故答案为：
【分析】根据位似比与相似比的关系，求出与的相似比，然后结合相似三角形周长比等于相似比进行求解．
9．（2025·宁明模拟）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴，
∵四边形ABCD是矩形
∴CD∥AB
∴∠DCE=∠CEB
∴∠DCE=∠DEC
∴CD=DE
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△CDF
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查矩形的性质，翻折的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟知翻折的性质与平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据折叠的性质可知：BE=EF，∠BEC=∠ECF，根据矩形的性质：对边平行可知：CD∥AB，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DCE=∠CEB，等量代换得：∠DCE=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CD=DE，设，则，结合CD∥AB可知：△AEF∽△CDF，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，代入数据，列出关于x的方程，解得x的值即可得出答案．
10．（2025·中山模拟）如图，在中，点D在边上，，的角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先求出的值，从而求出，的值，进而即可得证结论；
（2）由（1）的结论得，根据相似三角形的判定可证，得，然后由角平分线的定义得，最后由相似三角形的判定得证结论；
（3）由（2）得，根据相似三角形的性质可得的值，即可求出的长度.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
11．（2025·清新模拟）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可得，，结合和三角形内角和可得，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）结合（1）的结论，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由勾股定理可求得OE的值，于是可得关于DF的方程，解方程即可求解．
（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第六章空间与图形
6.2 图形的相似
比例的性质与黄金分割 比 例 的 性 质 1.线段的比；两条线段 的比叫做这两条线段的比(注意：求两条线段的比时必须统一 ). 2.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果 那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 3.黄金分割;若线段AB上一点 C 把线段 AB 分成两条线段AC 与BC(AC>BC),如果 这时称点C 是AB 的 ，这个比值称为 ，它的值为 4.比例的性质 若 ，则 ad= b c；若 ad= b c,且b d≠0,则 (基本性质)； (反比性质)； 或 (更比性质)； (合比性质)； (分比性质)； (合分比性质)； 0)(等比性质).
平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 (基本事实).如图(1),AB∥CD∥EF,则 2.推论： 于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.如图(2)所示，
相似三角形的性质与判定(含相似多边形) 相似三角形的性质与判定 定义 对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做
性质 (1)相似三角形的对应角 ，对应边 ； (2)相似三角形对应 的比、对应中线的比与对应 的比都等于相似比； (3)相似三角形的周长的比等于 ，面积的比等于 .
判定 (1)三边成比例的两个三角形相似； (2)平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； (3)两边成比例且 相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似； (5)直角三角形中， 和一条直角边对应成比例的两个三角形相似.
位似 1.定义 两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边 或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 2.性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于 . 3.画位似图形的步骤 【注意】 1.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. 2.以原点为位似中心的两个位似图形，如果相似比为k,那么点(a,b)的对应点的坐标为(k a，k b)(位似图形与原图形在原点的同侧)或(-k a，-k b)(位似图形与原图形在原点的异侧).
■考点一　成比例线段
◇典例1：下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ）
A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15
◆变式训练
1.下列结论中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若
2.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
■考点二 平行线分线段成比例
◇典例2：如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
2.如图，在中，于点，是边上的中线，过点作交于点，交于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
■考点三 相似三角形的性质
◇典例3：将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
■考点四 相似三角形的判定
◇典例1：如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使．
2.在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似．
■考点五 相似三角形的性质与判定
◇典例1：如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
◆变式训练
1.如图，在中，，是边上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
2.如图，在四边形中，平分，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
■考点六 相似三角形的实际应用
◇典例1：小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米
◆变式训练
1.如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：

(1)小明的影长
(2)旗杆的高度．
■考点七 位似
◇典例1：如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ．
■考点八 相似三角形的综合题
◇典例1：（2025·东莞模拟）综合与实践
【问题提出】
小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题．
下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？
【探究发现】
（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点．
①求的长．
②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示)
【拓展延伸】
（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点．
①已知，，求的值．
②求证：．
◆变式训练
1.（2025·东莞模拟）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法．
【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务．
【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，现测得，求出该圆的半径．
【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得
①判断直线与的位置关系，并说明理由；
②直接写出的半径为______
2.（2025·深圳三模）在数学活动课上，同学们探究利用正方形纸折出特殊角及利用特殊点折出对称图形，并进一步探究几何图形中线段的长度问题．如图1，在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点 B的对应点为点 E．
（1）【初步感知】当点E在的垂直平分线上时，求的度数；
（2）【探究应用】如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接．若，求的值．
■微专题七 相似三角形——模型1 正“A"字型
◇典例1：如图，在中，平分交于点D．
求证：．
◆变式训练
1.如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为 ．

2.在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接， ；
■微专题七 相似三角形——模型2 正“8"字型
◇典例1：如图，已知与相交于点A，，若，，，则 ．

◆变式训练
1.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
■微专题七 相似三角形——模型3 一线三等角模型
◇典例1：（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：．
◆变式训练
1.如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（ ）

A．1 B． C．2 D．
2.如图，是上的一个动点．当时，求证：．
■微专题七 相似三角形——模型4 双垂直模型模型
◇典例1：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝2，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
■微专题七 相似三角形——模型5 手拉手模型
◇典例1：如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：．
◆变式训练
1.如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接．
(1)求证：；
(2)若与相交于点，求证：．
1．（2025·深圳模拟）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·深圳模拟）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）．
A． B． C． D．
3．（2025·惠城模拟）如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·花都模拟）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(　　)
A．6 B． C． D．
6．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是　 　.
7．（2025·广州）如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
8．（2025·龙湖模拟）如图，，是平行四边形的边上的两点，连接，交于点，的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　 　．
9．（2025·雷州模拟）如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为　 　（用含m，n的代数式表示）
10．（2025·花都模拟）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习．
（1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米；
（2）如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度．
11．（2025·广州）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
（1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
（2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
1．（2025·东莞模拟）如图，，若，，则与的相似比是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·东莞模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
3．（2025·衡东模拟）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（　　）
A．4 B． C．16 D．32
4．（2025·濠江模拟）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（　　）
A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4
5．（2025·深圳模拟）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（　　）
A． B． C． D．6m
6．（2025·顺德模拟）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（　　）
A． B． C．1 D．
7．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·潮阳模拟）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的周长之比为　 　．
9．（2025·宁明模拟）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则　 　．
10．（2025·中山模拟）如图，在中，点D在边上，，的角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长度．
11．（2025·清新模拟）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
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