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5.2 概率及其运算
湘教版数学必修第二册
第5章 概 率
5.2.1 古典概型
学 习 目 标
1.通过对一个大家熟知的例子的分析，引出古典概型的概念，古典概型中基本事件的特点，以及古典概型的计算公式。
2.对典型例题进行分析，以巩固概念，掌握解题方法.
问题引入
口袋内装有2红2白除颜色外完全相同的4个球, 4人按顺序摸球,摸到红球为中奖, 如何计算各人中奖的概率
我们通过大量的重复试验发现：先抓的人和后抓的人的中奖率是一样，即摸奖的顺序不影响中奖率，先抓还是后抓对每个人来说是公平的。
大量的重复试验
费时，费力。
对于一些特殊的随机试验，我们可以根据试验结果的对称性来确定随机事件发生的概率。
1、投掷一枚均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上” 的机会相等吗？
2、抛掷一枚均匀的骰子,出现数字 “1”、 “2”、“3”、“4”、“5”、“6” 的机会均等吗？
3、转动一个十等分(分别标上数字0、1、…、9)的转盘,箭头指向每个数字的机会一样吗？
这些试验有什么共同特点
(1).试验的所有可能结果只有有限个,且每次试验只出现其中的一个结果；
(2).每一个试验结果出现的可能性相同。
思考
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
每个基本事件出现的可能性相等
简称古典概型
有限性
等可能性
把具有上述两个特征的随机试验的数学模型称为（古典的概率模型）
每个可能的结果称为基本事件。
例题：从字母a,b,c,d中任意取出两个字母的试验中，有哪些基本事件？
a
b
c
d
b
c
d
c
d
树状图
解：所求基本事件有6个：A={a,b},B={a,c},C={a,d},
D={b,c},E={b,d},F={c,d}。
列举法
练一练：请判断下列三个事件是否属于古典概型
考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？
(1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；
　　对于问题(1)班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．
显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为 ．
思考
(2)抛掷一枚硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”；
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则试验的样本空间
Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)， (0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}．
共8个样本点，每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量．
因为B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性大小为
古典概型的概率计算公式：
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
例1.单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
【解析】试验有选A、选B、选C、选D共四种可能结果，试验的样本空间
可以表示为Ω={A，B，C，D}．考生随机选择一个答案，表明每个样本点
发生的可能性相等，所以这是一个古典概型．
设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，则n(M)=1，
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
如果是多选呢？
在多选题中有15个可能结果，试验的样本空间可以表示为
Ω={A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD}．
你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
例2.抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和5”; B=“两个点数相等”;
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
该试验的样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36
个样本点．由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
因为A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)=4，
因为B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，
所以n(B)=6，
因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，
(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，所以n(C)=15，
例3.袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：
(1)A=“第一次摸到红球”；
(2)B=“第二次摸到红球”；
(3)AB=“两次都摸到红球”．
【解析】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第
二次摸球时都有4种等可能结果，将两次摸球的结果配对，组成20种等可
能结果．
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 × (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) × (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) × (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) × (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ×
列表法
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，
即A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，
(2)第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2列)，
即B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，
(3)事件AB包含2个可能结果，即B={(1，2)，(2，1)}，
求古典概型概率的步骤
判断所给概率模型是否为古典概型。
算出样本点的总数 n。
算出事件 A 包含的样本点个数 m。
算出事件 A 的概率，即 P(A)= 。
在运用公式计算时，关键在于求出 m，n。在求 n 时，应注意这 n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错。
从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，
巩固练习
2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
A
B
C
D
O
如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．
选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．
设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只共有10种取法，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，
其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)
因为方程2x2＋ax＋b＝0有两个不相等实数根，所以Δ＝a2－8b>0，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，该事件共包含36个样本点，
满足a2－8b>0的有：
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，
课堂小结：
古典概型
古典概型的特性
有限性
等可能性
基本事件的求法
列举法
树状图
列表法
古典概型概率公式
下 课
Thanks!
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