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22.1 函数的概念
22.1.1 变量与函数(第2课时)
人教版 数学 八年级 下册
你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗？站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的？铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化.这就是我们今天要继续学习的内容.
导入新知
2. 确定函数中自变量的取值范围，注意问题的实际意义.
1. 理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数 .
学习目标
3. 能根据实际问题确定函数的解析式
问题1 全运会火炬手以3米／秒的速度跑步前进传递火炬，传递路程为s米，传递时间为t秒，填写下表：
怎样用含t的式子表示 s？
________ 随着 的变化而变化，当 确定一个值时， 就随之确定一个值.
s=3t
传递路程s
传递时间t
传递时间t
传递路程s
t(秒) 1 2 3 4
s(米)
【思考】1.每个问题中有几个变量？
2.同一个问题中的变量之间有什么联系？
探究新知
知识点 1
函数的有关概念
3
6
9
12
问题2 用10 m 长的绳子围成长方形，若改变长方形的长度，长方形的面积会怎样变化.
一边长为x( m ) 4 3 2.5 2 …
另一边长为 ( )（m） …
长方形面积(m2) …
设长方形的面积为S(m2),一边长为x,怎样用含x的式子表示长方形的面积S？
4
1
2
2.5
3
6
6.25
6
5-x
S=x(5-x)
探究新知
【讨论】上面的两个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间 t 、传递路程 s ；
②边长x 、面积S.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
探究新知
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；
③y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
①
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
探究新知
考点 1
利用函数的定义判断函数
②
③
（1） ;
（2） ;
（3） .
下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数.
巩固练习
变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 …
y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 …
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.
巩固练习
已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时， ;
探究新知
考点 2
求函数的值
当x=3时， ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得 ，即当 时，y=0.
解:(1)当x=3时, .
(2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16,
解得x=±4.
巩固练习
已知函数 .
(1)当x=3时,求函数y的值;
(2)当y=2时,求自变量x的值.
　 请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以70 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
知识点 2
探究新知
确定自变量的取值范围
【思考】
问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
s=70t
y=180° (n-2)．
　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
探究新知
根据刚才的思考问题，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子;
解:函数关系式为: y = 50－0.1x.
0.1x表示的意义是什么？
叫作函数的解析式
探究新知
考点1 1
确定自变量的取值范围
（2）指出自变量x的取值范围；
由x≥0及50－0.1x ≥0得　
　0 ≤ x ≤ 500.
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500.
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义.
探究新知
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
解:
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
探究新知
解:
y=2x+15
x≥1且为整数
x ≠ －1
函数 中，自变量x的取值范围是_____________.
某中学的校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，年产值y（万元）与年数x的函数关系式是________,其中自变量的取值范围是_______________.
巩固练习
1. 函数 的自变量x的取值范围是（　 ）
A．x ≠ 4 B．x ≠ 3
C．x ≠ 2 D．x ≠ 1
D
链接中考
2.设直角三角形中一个锐角为x度（0＜x＜90），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝180+x B．y＝180-x
C．y＝90+x D．y＝90-x
D
链接中考
1.下列说法中，不正确的是（ ）
A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
C
C
基础巩固题
课堂检测
3.下列函数中自变量x的取值范围是什么？
课堂检测
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
解:
x取全体实数;
（1）
（4）
（2）
由x+2≠0得
x≠-2;
（3）
由x-5≥0得
所以x≥-2且x≠-1.
4.填表并回答问题：
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答： .
（2）y是x的函数吗？为什么？
x 1 4 9 16
y=+2x
2和－2
8和－8
18和－18
32和－32
不是
答：不是，因为y的值不是唯一的.
课堂检测
判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系,如果是，请指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
（1）水箱中原有水10L，漏水速度为0.05L/h，水箱中剩余的水量V（单位：L）随时间t（单位：h）的变化而变化；
（2）绿水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
解：
（1）S 是x的函数，其中x是自变量，函数解析式为V=10-0.05t.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量，函数解析式为y=.
能力提升题
课堂检测
我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解： 当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
拓广探索题
课堂检测
当x=2时，y=8；
x=6时，y=1.8×3＋8=13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
课堂检测
函数和函数值
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
课堂小结
函数的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数的解析式
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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